优化问题综述(四)有约束最优化算法_工序约束算法

最优化问题的三种情况

• 无约束条件：梯度下降法等（前面的文章已经有详细的描述）
• 等式约束条件：解决方法是消元法或者拉格朗日法。
• 不等式约束条件：一般用KKT（Karush Kuhn Tucker）条件对偶求解

等式约束条件下的优化算法

问题的数学描述：$min_x f(x),s.t.,h_i(x)=0,i=1,2,..,I$

消元法

根据约束条件消去一些未知数，使得问题变为无约束的优化问题，再用无约束条件的方法求解，但是有时候这样做很困难，甚至是做不到的。

拉格朗日法

拉格朗日函数为$F(x)=f(x)+\sum_i\lambda_ih_i(x)$，对其求解偏导方程$\frac{\partial F}{\partial x}=0,\frac{\partial F}{\partial \lambda_i}=0$,如果有$I$个约束条件，就应该有$I+1$个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值，将结果带回原方程验证，如果符合要求就可得到解。

拉格朗日乘子法的证明

从几何的角度看，如果找到了一个极值点，必然有极值点所在的等高面$f(x)=d$与约束曲面$h_i(x)=0$是相切的。否则，必然还可以沿着约束曲线继续走，找到一个更低的点，这意味着，在极值点：

$$\nabla f(x)=-\lambda\nabla h(x)$$

因为约束曲面的交线的法线在各个约束曲面法线所组成的超平面上

$$\nabla f(x)=-sum_i\lambda_i\nabla h_i(x)$$

因为拉格朗日函数为$F(x)=f(x)+\sum_i\lambda_ih_i(x)$，那么有