用人话讲明白聚类算法kmeans_聚类 人话说明白

1.什么是聚类

先来回顾一下本系列第一篇就讲到的机器学习的种类。

监督式学习：训练集有明确答案，监督学习就是寻找问题（又称输入、特征、自变量）与答案（又称输出、目标、因变量）之间关系的学习方式。监督学习模型有两类，分类和回归。

• 分类模型：目标变量是离散的分类型变量；
• 回归模型：目标变量是连续性数值型变量。

无监督学习：只有数据，无明确答案，即训练集没有标注目标变量。常见的无监督学习算法有聚类(clustering)，由计算机自己找出规律，把有相似属性的样本放在一组，每个小组也称为簇（cluster）。

最早的聚类分析是在考古分类、昆虫分类研究中发展起来的，目的是找到隐藏于数据中客观存在的“自然小类”，“自然小类”具有类内结构相似、类间结构差异显著的特点，通过刻画“自然小类”可以发现数据中的规律、揭示数据的内在结构。

之前一起学了回归算法中超级典型的线性回归，分类算法中非常难懂的SVM，这两都是有监督学习中的模型，那今天就来看看无监督学习中最最基础的聚类算法——K-Means Cluster吧。

2.K-Means步骤

K-Means聚类步骤是一个循环迭代的算法，非常简单易懂：

1. 假定我们要对N个样本观测做聚类，要求聚为K类，首先选择K个点作为初始中心点；
2. 接下来，按照距离初始中心点最小的原则，把所有观测分到各中心点所在的类中；
3. 每类中有若干个观测，计算K个类中所有样本点的均值，作为第二次迭代的K个中心点；
4. 然后根据这个中心重复第2、3步，直到收敛（中心点不再改变或达到指定的迭代次数），聚类过程结束。

以二维平面中的点$X_i=(x_{i1},x_{i2}),i=1,...,n$为例，用图片展示K=2时的迭代过程：

1. 现在我们要将(a)图中的n个绿色点聚为2类，先随机选择蓝叉和红叉分别作为初始中心点；
2. 分别计算所有点到初始蓝叉和初始红叉的距离，$X_i=(x_{i1},x_{i2})$距离蓝叉更近就涂为蓝色，距离红叉更近就涂为红色，遍历所有点，直到全部都染色完成，如图(b)；
3. 现在我们不管初始蓝叉和初始红叉了，对于已染色的红色点计算其红色中心，蓝色点亦然，得到第二次迭代的中心，如图(c )；
4. 重复第2、3步，直到收敛，聚类过程结束。

怎么样，很简单吧？看完K-Means算法步骤的文字描述，我们可能会有以下疑问：

1. 第一步中的初始中心点怎么确定？随便选吗？不同的初始点得到的最终聚类结果也不同吗？
2. 第二步中点之间的距离用什么来定义？
3. 第三步中的所有点的均值（新的中心点）怎么算？
4. K怎么选择？

3.K-Means的数学描述

我们先解答第2个和第3个问题，其他两个问题放到后面小节中再说。

聚类是把相似的物体聚在一起，这个相似度（或称距离）是用什么来度量的呢？这又得提到我们的老朋友——欧氏距离。

给定两个样本$X=(x_1,x_2,...,x_n)$与$Y=(y_1,y_2,...,y_n)$，其中n表示特征数 ，X和Y两个向量间的欧氏距离(Euclidean Distance)表示为：
d i s t e d ( X , Y ) =