耶鲁大学《博弈论》课程——逆向归纳_逆向归纳法求解纳什均衡例题

逆向归纳 Backward Induction

Looking forward，thinking backward。

【帽子里的金币】案例：

该游戏有两个参与人，参与人1先往帽子里放金币，可以选择放0个、1个或3个，然后把帽子传给参与人2，参与人2可以看帽子里面有多少金币，然后选择全部取出、不放、放1或3个，他们的净利润如下博弈树图所示：（注意，这里有个关键点：参与人2在作出决定之前知道参与人1的决策，且参与人1知道这种情况，这叫做【序贯博弈(Sequential Games)】）

（如，A在投行工作，借钱给那些创业者们，而B作为创业者，拿到钱后，既可以选择按计划创业赚钱，也可以选择偷懒甚至卷钱跑路）

**这里问题的关键就在于预测(anticipation)：**沿着树形往下看，站在后行动参与者的立场上思考，看下级参与人会有什么动机，找到他们的BR，再根据树形图倒回来。

在这里，要站在参与人2的角度看，对于上分支，参与人2没有选择权，无需分析；对于中分支，1.5相对于1是优势；对于下分支，3相对于2是优势。逆向推进一层，站在参与人1的角度分析，可选择的3个策略分别对应的结果为：0、1、-3。找到参与人1的优势决策，如放1金币。

这里的方法叫做——【逆向归纳法(Backward induction)】，looking forward，thinking backward。

希望得到一个更好的结果(如2比1.5好)，某种动机却阻止我们作出这种选择，称之为道德风险(moral hazard)。（道德风险，典型的例子如保险行业，当你的车上了保险之后，你就不会像以前那么小心了，因为损失会有保险公司承担，所以保险公司会要求签署一定的免赔额，不会承担全部损失）

通过限制项目的规模，或者说贷款额度，来降低被骗的风险。

那么，参与人1如何才能获取比1更高的收益呢？ => 【激励设计(Incentive design)】，改变3金币分支的收益分配，由原本的(3,2)改为(1.9, 3.1)，此时3.1大于3，参与人2就更可能选择投资。 动机不是上天赋予人们的，它是由合同双方设计出来的。

“有时大蛋糕的一小块儿，可能比小蛋糕的一大块儿要大。”。(Sometimes, a smaller share of a larger pie, can be bigger than a large share of a small pie.)

但是这里仍然有优化的空间，对于参与人1来说，把这3美元分散去投3个1美元的小项目，仍然是100%的回报率，收益3美元，是大于这个大项目的1.9美元收益的。（那么，要怎么选择呢？ => 对于私募公司的经理人来说，你要考虑有多少个可行项目、每个项目的回报率、自己的可支配资金等）

或者使用 【担保(Collateral)】，担保的作用在于，它降低了你不偿还贷款的收益，但实际上使你过得更好了，因为它改变了其他人的行为，这对你是有益的（如，原本参与人1考虑到道德风险，可能只投资1美元，现在有了担保，就投资了3美元，参与人2的收益就从原本的1.5涨到了2）。

【诺曼底人侵略英国】案例：

参与人：诺曼底公爵Norman、英国防御者Saxon

策略：战斗Fighting、逃跑Running away

但是最开始，诺曼底人有两种选择：破釜沉舟Burn（把登陆的船烧了）、留条后路Not Burn。

这里有一个 【承诺(Commitment) 】概念，通过减少可选策略而改变其他人的行为，但如果改变不了其他人行为就毫无意义。

如在这里，诺曼底公爵就选择了破釜沉舟，烧了自己的船，并且让对方知道（不知道就没有意义），从而降低对方抵抗的积极性，更大的概率选择R，这对诺曼底人来说收益更大。

【饥饿的狮子】案例：

【斯塔克伯格模型】案例：

在前面，我们可以找到纳什均衡点下的古诺产量。

现在，我们以序贯动态博弈的角度重新去审视它。去想象，两家不是同时确定他们的产量，是有先后次序的，如厂家1先制定产量，然后开始观察厂家1的产量，然后再确定自己的产量。那么，是先下手为强呢？还是等对方采取完行动再进行针对性方案呢？这个问题的研究模型，就是斯塔克伯格模型。

首先，厂家2已经知道了厂家1的产量q1，需要选择产量q2，如下图：

厂家2针对q1，按照BR曲线，选择与之对应能最大化厂家2利润的产量q2；

厂家1知道了这个q2，又会根据它来调整自己的最优产量q1‘，然后厂家2再调整自己的最优产量q2‘…从而无休止的继续下去（直至达到前面古诺模型得到的均衡点 ）。

这里面有个【策略替换(Strategic Substitutes)】问题，厂家1增产，厂家2就要减产来回应，而这就会导致厂家2的BR2(q1)下降。在斯塔克伯格的模型中，厂家1不需要知道厂家2的产量也能有理由超过古诺产量继续生产，因为这可以迫使对手减产，对厂家1是有利的。所以厂家1的利润一定是上涨的(不然厂家1不会选择增产)，那么厂家2的利润怎么判断？

我们先看当前市场上的总产量q1+q2，如下图所示，当q1增加一个单位时，q2减少的量要小于1个单位，所以总产量是增加的。

而总产量增加，根据供求关系，价格时下降的，所以厂家2的利润肯定是下降的。

下面是 数学证明：

这是一个典型的【先行者得利】的范例，先行者一定占优。

但是，有时候，后行者更有优势，又或者两者都无优势。比如，在要接触一个对大家都很陌生的领域时，让别人先做，你就可以在后面学习经验教训；又比如，“我切水果你来选”，对于前后两人都没有优势。

【Nim拿子游戏】案例：

有两堆石子，数目可能相同也可能不同，让两个玩家去选择，每次都从某一堆里拿任意个石子，拿到最后一个石子的玩家获胜。

如A堆有5个，B堆有3个，玩家1先拿两个A堆的，此时为(3,3)，然后玩家2拿2个B堆的，(3,1)，然后玩家1再拿两个A堆的，(1,1)，然后无论玩家2拿哪一堆，都是玩家1赢。

该游戏有个技巧，那就是，如果最开始两堆石子数目不一样，先手者拿的石子数目只要一直保证两堆石子余数一样就能获胜（如上面的玩家1）；而如果两堆石子数目一样，那么后收者只要保证两堆石子余数一样就能获胜。所以，有时候先手有优势，有时候后手有优势。

【垄断市场竞争】案例：

市场中有一个垄断企业Inc，年利润为3，现在有一个企业Ent想要进入这个行业。Ent公司可以选择是否进入这个行业，Inc公司可以选择是否对Ent发起反击，如果发起反击，则Ent收益-1，Inc收益0，而如果不反击，两者共处，收益都是1。如下图所示：

纳什均衡点：(in, NF), (out, F)。 （(out, F)这个均衡建立在一个不足信的威胁基础上）

注意，当你想要进入一个行业时，可能有人威胁你，如果你进入，他会全力阻击你，但是你不要盲目相信，因为他阻击你可能对他并没有好处，相反，你们共处，虽然他的利润比他垄断时候低了，但是要比他阻击你要高，这是一种非可信威胁，你如果真的进入，他并不一定真的会攻击。

在这个案例中，加入一些条件，这个垄断企业，垄断了十个不同的市场，此时这十个市场来了十个尝试进入者，这十个进入者是有顺序性的，此时垄断者会对第一个进入者进行攻击，以威慑后面的进入者。但是，对于最后一个进入者，因为后面没有进入者了，他就不需要威慑了，为了更高的利益，他是会选择不攻击的。

使用逆向归纳法分析的话，垄断者为了更高的利益，是不会攻击最后一个进入者的，那么第九个进入者就成了最后一个进入者，垄断者也不会攻击第九个进入者了，以此类推，所有企业都可以进入市场。

但是显然垄断者是不会这样的做的，那么，他应该怎么做以提高自己的威慑力呢？ => 变得**疯狂。**

垄断者要对外表现出来自己有疯狂的可能，即便是只有1%的小概率变得疯狂（即便是假装出来的也行），他就可以用疯狂的名义来恐吓进入者，比如说，对于第一个进入者，他觉得垄断者绝大概率是正常的，所以他就会尝试进入，此时垄断者要选择进攻，然后第二个进入者一看垄断者前面直接就进攻了，就会怀疑自己评估的准确性，觉得垄断者可能有1/3的概率疯狂，但他还是冒险进入了，然后垄断者继续攻击，这样，后面的人就会觉得垄断者绝大概率是疯狂的，就不会进入了。

这种表现疯狂的策略，不仅在经济领域适用，在日常生活中其实也很常见。比如，当劫匪绑架人质的时候，美国或者某些国家有种理论是，决不谈判，不能因为他们有人质就向他们妥协，要以这种决绝的**【声望**】来阻止将来的潜在绑匪。

【决斗Duel】案例：

两个参与者扔海绵，最初两人相距一段距离，策略是选择扔向对方，或者前进一步，如果扔中了就赢了，如果扔了但是没扔中，后面的策略就只能选择前进（拿不到海绵了），基本上相当于失败了。

这种博弈在经济学中的例子，如：两个互联网企业想要推广一个类似的产品，市场的情况是，由于某种原因只能吸纳一款产品，而此时两个企业都还没完善好自己的产品，这个时候就有两种选择，一个是直接投入使用并推广，但是如果自己产品出现问题，就会永远丢掉客户的信任，而如果投入使用太晚，可能对手就已经占领市场了。

在这里，策略决定的是“我应该什么时候去做？”预先抢投是个关键点，但是也不完全是先下手为强。

以Pi(d)表示参与人i在d点能击中对方的概率，两人的概率如下图所示：（如d=0表示两个人距离为0，此时无论谁扔都一定能扔中）

优势定论 Dominance Argument：

• 假设还没有人投出，如果i选手在d点，知道在d-1点j选手不会投出，此时i选手就不会投出，选择更进一步；
• 如果i选手在d点，知道j选手会在d-1点投出，那么他应该投出海绵。

那么怎么判断要什么时候扔最好呢？=> 如果i选手在d点的命中率 >= j选手在d-1点的失误率(j选手失误了，那么如果i选手还没扔的话，i就一定获胜。所以，这是对i选手在这两轮的获胜率的比较，一旦发现前者大了，就要抓紧投)，那么i选手就应当投出。

设d *满足Pi(d *)+Pj(d *-1) = 1，那么第一次投掷就应该发生在d *处。

有时等待是一个好策略。不要过度自信，也不要迷信先下手为强。