常见算法——克鲁斯卡尔算法(Kruskal)、最小生成树

引出问题——公交站修建站点问题

1) 某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通

2) 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里

3) 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

该问题属于最小生成树问题，而克鲁斯卡尔算法可以解决这种问题。

克鲁斯卡尔算法介绍

简介

1) 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是求加权连通图的最小生成树的算法。

2) 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路

3) 具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

克鲁斯卡尔算法图解

基本思路

以公交站问题为例进行讲解。在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

对于如上图 G4 所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。下图中，第二个图为最小生成树 结果。

算法过程图解

以图 G4 为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组 R 保存最小生成树结果。

对上述图解进行文字说明如下：

第 1 步：将边<E,F>加入 R 中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 2 步：将边<C,D>加入 R 中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 3 步：将边<D,E>加入 R 中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 4 步：将边<B,F>加入 R 中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果 R 中。

第 5 步：将边<E,G>加入 R 中。 上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 6 步：将边<A,B>加入 R 中。 上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果 R 中。 此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F>  <C,D>  <D,E>  <B,F>  <E,G>  <A,B>。

算法核心过程

克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。采用排序算法进行排序即可。

问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

        处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。 然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

判断是否构成回路的过程

在将<E,F>  <C,D>  <D,E> 加入到最小生成树时，这几条边的顶点都有了终点：

终点：

1) 是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

2) 因此，虽然<C,E>是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将 <C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，加入的边的两个顶点不能都指向同一 个终点，否则将构成回路。

代码实现克鲁斯卡尔算法——公交站问题

代码细节

1.为了实现克鲁斯算法，需要做一些前置准备。

编写方法，获取图的边，以便于后续对边的权值进行遍历，排序；

编写方法，获取某个顶点对应的值，便于后续应用，如'A'-->0；

编写方法，对边的权值进行排序，从小到大升序排列，便于后续择优选取边；

编写获取某个顶点的终点的方法，以便于判断某两个顶点是否相同，从而得到是否会形成环路；

2.前置工作做好后，编写克鲁斯卡尔算法，首先获取图的边，并对边按照权值进行排序，对排序后的边进行遍历，在将边添加到最小生成树中时，根据前面编写的方法判断是否形成了回路，在没有形成回路的情况下保存对应的边，最终得到最小生成树，就得到了最优的公交站修建方案。

完整代码

package com.study.kruskal;
 
import java.util.Arrays;
 
/**
 * @author 漂亮小小
 * @version 1.0
 */
public class KruskalAlgorithm {
    private int edgeNum;//记录边的个数
    private char[] vertexs;//顶点数组
    private int[][] matrix;//邻接矩阵
 
    //使用INF表示两个顶点不能连通
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
 
    public static void main(String[] args) {
        char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
        //自己和自己0，
        int matrix[][] = {
                /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                /*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
                /*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
                /*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                /*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                /*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                /*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                /*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
        //创建 克鲁斯卡尔 对象实例
        KruskalAlgorithm kruskalAlgorithm = new KruskalAlgorithm(vertexs, matrix);
        //输出构建的是否正确
        kruskalAlgorithm.print();
 
        EData[] edges = kruskalAlgorithm.getEdges();
        //测试 构建的边
        System.out.println("未排序前 xx=" + Arrays.toString(edges));
        //边排序
        kruskalAlgorithm.sortEdges(edges);
        System.out.println("边排序后 xx=" + Arrays.toString(edges));
        ;
 
        kruskalAlgorithm.kruskal();
    }
 
    //构造器
    public KruskalAlgorithm(char[] vertexs, int[][] matrix) {
        int vlen = vertexs.length;//顶点个数
 
        //==========用复制拷贝的方式，可以避免函数对传入参数进行修改
        //初始化顶点,用复制拷贝的方式
        this.vertexs = new char[vlen];
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            this.vertexs[i] = vertexs[i];
        }
 
        //初始化边, 用复制拷贝的方式
        this.matrix = new int[vlen][vlen];
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            for (int j = 0; j < vlen; j++) {
                this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
            }
        }
 
        //统计边
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {//不统计自己与自己
                if (this.matrix[i][j] != INF) {
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
    }
 
    //打印邻接矩阵
    public void print() {
        System.out.println("邻接矩阵为: \n");
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
                System.out.printf("%12d\t", matrix[i][j]);//20代表占位
            }
            System.out.println();//换行处理
        }
    }
 
    //对边排序 冒泡排序
 
    /**
     * @param edges 边的集合
     */
    private void sortEdges(EData[] edges) {
        for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < edges.length - i - 1; j++) {
                if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
                    EData tmp = edges[j];
                    edges[j] = edges[j + 1];
                    edges[j + 1] = tmp;
                }
            }
        }
    }
 
    //求顶点的下标
 
    /**
     * @param ch 顶点的值，如 'A','B'...
     * @return 返回顶点的下标， 如'A'->0   如果找不到，返回-1
     */
    private int getPosition(char ch) {
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            if (vertexs[i] == ch) {
                return i;
            }
        }
        return -1;//找不到
    }
 
    //
 
    /**
     * 获取图中的边，放到 EData[]数组中，后面需要遍历该数组
     * 通过 matrix邻接矩阵获取
     * EData[] 形式 ['A','B',12]  ['B','F',7]......
     *
     * @return
     */
    private EData[] getEdges() {
        int index = 0;
        EData[] edges = new EData[edgeNum];
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {//i+1表示自己跟自己不比较
                if (matrix[i][j] != INF) {
                    edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        return edges;
    }
 
    //获取下标为 i 的 顶点的终点
 
    /**
     * 获取下标为 i 的 顶点的终点，用于后面判断两个顶点的终点是否相同
     *
     * @param ends 数组，记录了各个顶点对应的终点是哪个，ends是在遍历的过程中逐步扫描完成的
     * @param i    表示传入的顶点 对应的下标
     * @return 返回 下标为 i 的顶点 对应 的 终点 的下标
     */
    private int getEnd(int[] ends, int i) {
        while (ends[i] != 0) {
            i = ends[i];
        }
        return i;
    }
 
    //
    public void kruskal() {
        int index = 0;//表示最后结果数组的索引
        int[] ends = new int[edgeNum];//保存已有最小生成树中 的 每个顶点在最小生成树中的终点
        //创建结果数组，保存最后的最小生成树
        EData[] rets = new EData[edgeNum];
        //获取原始图中 所有的边的集合，一共有12条边
        EData[] edges = getEdges();
        System.out.println("获取图的边的集合= " + Arrays.toString(edges) + " 共 " + edges.length + " 条边");
        //根据边的权值大小进行排序
        sortEdges(edges);
 
        //遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时
        // 判断准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入 rets,否则不能加入
        for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
            //获取到第i条边的第一个顶点 即 起点
            int p1 = getPosition(edges[i].start);
            //获取到第i条边的第2个顶点
            int p2 = getPosition(edges[i].end);
 
            //获取p1这个顶点在已有的最小生成树中的终点
            int m = getEnd(ends, p1);
            //获取p2这个顶点在已有的最小生成树中的终点
            int n = getEnd(ends, p2);
            //判断是否构成了回路
            if (m != n) {//没有构成回路，才能加
                ends[m] = n;//设置 m在已有最小生成树中的终点为n
//                ends[n]=n;//不用写 因为getEnd方法已经处理了
                rets[index++] = edges[i];//有一条边加入到rets数组
            }
        }
        //统计 并 打印 最小生成树，输出rets数组
        System.out.println("最小生成树为：");
        for (int i = 0; i < index; i++) {
            System.out.println(rets[i]);
        }
    }
 
}
 
//创建一个类 EData,它的对象实例表示一条边
class EData {
    char start;//边的一个点
    char end;//边的另一个点
    int weight;//边的权值
 
    //构造器
    public EData(char start, char end, int weight) {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }
 
    //重写toString 便于输出这条边的信息
    @Override
    public String toString() {
        return "EData{" +
                "<" + start +
                "," + end + ">="
                + weight +
                '}';
    }
}
 
 

运行结果：

可以看到，运行结果与理论分析一致。