数学建模boom的课程资料整理

数学建模boom的课程资料整理+自己整理的一些内容

一、优化类问题

• 有限的资源，最大的收益

• 三要素：决策变量+目标函数+约束条件

1-1线性规划-简介-适用赛题-原理与例题-代码求解LinearProgram.mlx

适用赛题：

• XXX有多少多少，怎样安排，分配，最多（少），利润最大
• 生产安排，总利润最大
• 投资收益：总收益最大
• 销售运输：总运费最省
• 车辆安排：车次安排最合理

总收益最大——一般是线性规划

总收益率最大——一般是非线性规划

建立留下的坑要在求解问题时填上！

1-2蒙特卡洛法MTKL.m

方法简介

注意不同问题有不同的概率分布：

如泊松分布、均匀分布

重点：

随机性、统计性、近似解

下面“非线性规划”会应用蒙特卡洛法求解典型例题的初始值

1-3非线性规划-简介-适用赛题-原理与例题-代码求解nolinear.mlx

求解方法：

利用matlab的fmincon函数

适用赛题

本质上和线性规划一样，适用于最优化

常见收益率、病毒传播率、经济增长率等涉及变量比值的规划问题

空间运动（如飞行管理、卫星轨道调整、还有和角度相关的电影院座位最佳视角问题）

选址问题（因为坐标点距离公式属于非线性）

注意

非线性规划每次求解的结果都不一样

1-4多目标规划-简介-适用赛题-模型原理与典型例题-代码求解 multiple_target.mlx

本质：

既要……又要……

模型简介

正偏差变量、负偏差变量

绝对约束（必须满足）、目标约束（允许有偏差）

优先因子

序贯算法

代码求解

注意多目标规划求得的叫做“满意解”而不是”最优解“

多目标规划没有最优的概念，因为在求解的过程中，三个目标的重要性的设定是具有主观性的

具体代码见multiple_target.mlx

二、最短路径和最小生成树

2-1图论的基本概念

好好反思一下自己数据结构和离散数学学得怎么样！

2-2单源最短路径-简介与适用赛题-原理-例题-代码求解shortestpath.mlx

适用赛题

货物运输类问题

设备更新问题：在一定年限内，如何安排购置新设备和使用旧设备，使总支付费用最小

典型特征

从某个起点到某个终点，始终围绕着起点到终点的总路径求最优

注意事项

图论解决的问题大部分都是求最优解，常常与规划类模型结合

2-3最小生成树-简介与适用赛题-原理-例题-代码求解minspantree.mlx

适用赛题

通信建设、管道铺设规划

对应图论，重点在于所有顶点两两之间都存在路径（连通），且总路径（权重之和）最小

最小生成树和最短路径之间的比较

• 最小生成树是从全局角度考虑，使两两之间连通且总路径最短，没有起点和终点的概念

• 最短路径是针对指定源点（起点）和指定终点，求两点间最短路径

三、综合评价问题

3-1层次分析法-简介与适用赛题-原理与例题-代码求解AHP.mlx

基本概念（模型框架）

适用赛题

• 评选/排名
• 决策分析（两者都需要查询相关的文献）

特点

方案层必须明确：必须从题目中确定所有方案

缺点是具有主观性：评价指标的权重往往是主观设定的

优点是可处理复杂系统：为多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法

模型建立和求解

归一化处理

判断矩阵

不一致现象

一致性检验

算数平均法求权值

代码求解

• 判断矩阵是我们自行输入的

• 初始数据要确保同一指标下单位一致，且进行归一化处理

• 归一化处理的代码实现就是双重for循环，分别对行和列进行操作

3-2TOPSIS法-简介与适用赛题-原理与例题-代码求解TOPSIS.mlx

基本概念

正理想解、负理想解

适用赛题

题目提供了足够的评价指标和数据

• 数据已知，评价指标的类型差异较大（数值、比值、百分比，且有正面指标也有负面指标）

数据预处理

向量规范化

和层次分析法的差异

层次分析法两两比较，TOPSIS直接给每个指标加上权重

最终求解

3-3熵权法-简介与适用赛题-原理与例题-代码求解shangquan.mlx

• 用熵值判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大

• 本模型中，混乱程度低对应着熵值接近****1，评价总成绩时可给该指标赋予低权重

• 即使这门课的成绩不算进总成绩（权重为0），总成绩的排名也是不会变的

适用赛题

数据全面、缺少文献或主观依据的题目

• 例如评价河流水质，已知河流的含氧量、PH值、细菌密度、生物密度等数据

• 但缺乏评价水质的文献资料，或者文献内的说法不一

• 即文献很难帮助我们确定影响水质最重要的因素是哪一个

• 也很难告诉我们其余指标的重要程度如何衡量

• 此时即可使用熵权法，根据数据本身建立评价体系

注意事项

熵权法与其他方法（层次分析法、TOPSIS法等）最大的区别就是完全客观

但有时“完全客观”也是缺点，难以将数据之外的因素考虑进去

一些补充知识（熵值、变异系数、权重和评分）

调用数据和公式细节

• 使用熵权法时需要数据全面，有的数据是比赛提供的，有的是需要自己找

• 数据往往以excel文件存储，可在MATLAB中用readmatrix函数调用

• 注意调用的excel文件需要与代码文件在同一文件夹下！！

四、数据预测

4-1GM（1，1）灰色预测-原理与例题-代码求解GM11

灰色系统

• 典型例子：GDP就是灰色系统

• 特点：介于黑色和白色之间，部分已知，部分未知，具有小样本数据的不确定性系统

• 我们有往年的数据和一定的理论基础（白色）

• 但无法精确计算得出下一年的值（黑色）

• 灰色无法“计算”，但并不是完全“不可知”，可以进行**“预测”**

如何进行灰色预测

• 根据原始数据，通过累加等方式削弱随机性、获得有规律的新序列

• 建立相应的微分方程模型，得到离散点处的解

• 再通过累减求得的原始数据的估计值，从而对原始数据预测

适用赛题

❑ 数列预测

• 特点：定时求量，已知xx年到xx年的数据，请预测下一年的数值

• 常见GDP、人口数量、耕地面积、粮食产量等问题

• 针对的问题往往短期波动小、可预测，但长期可能变化大、难以准确预测

❑ 灾变预测

• 特点：定量求时，已知xx年到xx年的数据和某灾变的阈值，预测下一次灾变发生的时间

• 常见洪涝灾害、虫灾等问题

• 模型中需要把超出阈值的数据（异常数据）对应的时间组成新序列

❑ 拓扑预测

• 特点：对数据波形进行预测，求的是多个模型构成的模型群，等于求解多个灾变预测

• 与灾变预测类似，不过有较详细的分级，例如虫灾“轻微”“中度”“重度”

注意事项

• 需要的数据量少，而且数据量太多了没意义，例如用近100年的GDP去预测下一年毫无意义

• 只能短期预测，究竟多短没有严格限制

模型检验

相对误差检验、级比偏差检验

4-2微分方程传染病模型-指数传播和SI模型-SIS与SIR模型SIR.mlx

模型假设的目的：简化问题

指数传播模型：

SI模型：未考虑病人得病后可以被治愈

SIS模型：考虑病人得病后可以治愈，但是无免疫性

传染强度

SIR模型：病愈后的人有免疫力

系统动力学问题

SEIR模型：考虑传染病的潜伏期

4-3马尔可夫预测-简介与适用赛题-原理-例题-代码求解markov.mlx

基本特点

状态随机，下一阶段的状态只与当前有关！

适用赛题

时齐性

两种状态转换的概率，只与时间间隔有关，与更早的过去无关，也与起始时刻无关。

是否满足时齐性，是由问题本身所决定的（查文献）！一般带有周期性的问题才会满足时齐性

适用性

马尔科夫预测需要有限种已知的可能结果！其他预测理论上是无数种可能！

五、启发式算法（慎用）

5-1模拟退火-简介与适用赛题-原理与例题-代码求解SA.mlx

适用赛题

可行解过多、NP-hard问题

原理和求解思路

1.初始化

2.随机产生新解

3.计算目标函数差值

4.是否接受新解

5.马尔可夫过程

6.退火过程

7.结束条件

理论上模拟退火可以找到全局最优(证明)

5-2神经网络-神经网络适用赛题-原理与例题-代码求解-补充NNs.mlx

适用赛题

预测类问题（一般称为回归问题）

分类问题（一般为离散问题，即输出值y是有限个离散值）

评价类问题

模型的泛化能力：确保模型真的能用

• 留出法：将搜集到的数据划分为训练集、验证集和测试集

• 训练集进行学习、训练参数（权重）

• 验证集来检验性能（学习率等），以调整超参数或及时停止训练

• 测试集给出客观的评价

代码求解

梯度、阻尼因子和泛化能力

误差直方图

回归图

5-3粒子群算法-简介与适用赛题-原理与典型例题-代码求解PSO.mlx

适用赛题

多目标优化问题，寻优问题

粒子群算法的最大优点就是快！

传统算法具有局限性：

1. 求导困难，计算量大
2. 收敛性和结果很受初始值的影响

例题：寻优，非线性方程求解

1. 参数初始化
2. 计算初始适应度
3. 求初始全局最优解
4. 更新粒子的速度
5. 更新位置（新可行解）并求适应度
6. 更新个体最优解和全局最优解
7. 迭代与终止

改进粒子群算法

5-4遗传算法-适用赛题-例题与原理讲解-代码求解GA.mlx

适用赛题

函数优化、组合优化（不依赖于问题的背景领域，使用方便，连续/离散、单峰/多峰等等各种形式均可）

NP-Hard问题：TSP问题

在NP-Hard问题方面普遍来说各类启发式算法均可

优缺点

• 相比模拟退火，相比良好的全局搜索能力，不易陷入局部最优

• 相比粒子群算法，常规的遗传算法可直接求解离散问题

• 缺点：由于变异是随机的，局部搜索能力差；相对其他算法更耗时、思路复杂抽象；

• 可多种算法结合改进，例如遗传算法优化神经网络等混合算法（新手慎用）

六、回归分析

一.应用

回归分析是数据分析中最基础也是最重要的分析工具，绝大多数的数据分析问题，都可以使用回归的思想来解决。
回归分析的任务就是通过研究自变量X和因变量Y的相关关系，尝试去解释Y的形成机制，进而达到通过X去预测Y的目的。
常见的回归分析有五类：线性回归、0‐1回归、定序回归、计数回归和生存回归，其划分的依据是因变量Y的类型。

二、回归模型分类

三、数据分类

1.横截面数据：在某一时点收集的不同对象的数据。
例如：
（1）我们自己发行问卷得到的数据
（2）全国各省份2018年GDP的数据
（3）大一新生今年体测的数据

2.时间序列数据：对同一对象在不同时间连续观察所取得的数据。
例如：
（1）从出生到现在，你的体重的数据（每年生日称一次)。 （2）中国历年来GDP的数据。
（3）在某地方每隔一小时测得的温度数据。

3.面板数据：横截面数据与时间序列数据综合起来的一种数据资源
例如：
2008‐2018年，我国各省份GDP的数据。

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三、数据分类

1.横截面数据：在某一时点收集的不同对象的数据。
例如：
（1）我们自己发行问卷得到的数据
（2）全国各省份2018年GDP的数据
（3）大一新生今年体测的数据

2.时间序列数据：对同一对象在不同时间连续观察所取得的数据。
例如：
（1）从出生到现在，你的体重的数据（每年生日称一次)。 （2）中国历年来GDP的数据。
（3）在某地方每隔一小时测得的温度数据。

3.面板数据：横截面数据与时间序列数据综合起来的一种数据资源
例如：
2008‐2018年，我国各省份GDP的数据。