矩阵基础与变换_矩阵变换

矩阵基础

矩阵的基本概念

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵（引用百度百科）。记作：

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列。

矩阵的加法

同型矩阵之间才可以进行相加。减法同理，就是对应元素相减。

单位矩阵

一个矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0，称为单位矩阵，通常记为E。

任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身。

  

矩阵的转置

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵这一过程称为矩阵的转置。

逆矩阵

设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵，B=A-1 

矩阵乘法

两个矩阵相乘在三维变换中极为重要。

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。

比如一个4×4矩阵和4×1矩阵相乘得到的是一个4×1矩阵。

 

矩阵的乘法满足以下运算律：

结合律：   (AB)C=A(BC) 

左分配律：(A+B)C=AC+BC

右分配律：C(A+B)=CA+CB

矩阵不满足交换律 ，也就是AB != BA，这个在后面介绍的矩阵变换后会有直观的感受。 

在三维开发中经常用到矩阵和矢量相乘，点和向量都可以用一个列矩阵来表示。

比如将一个空间中的点P(x,y,z)左乘一个3✖3的矩阵得到新的坐标P1(x',y',z')。

 

 

 变换

平移变换

平移（translation）变换是把空间中一个点沿着给定的方向移动固定的距离，设位移向量d，点P移动后P1，则 P1=P+d;

如果用齐次坐标（homogeneous coordinate）表示点和向量（关于齐次坐标请看：齐次坐标https://blog.csdn.net/alzzw/article/details/124682378?spm=1001.2014.3001.5501），

设点P(x,y,z,1)，点P1(x',y',z',1)，向量d=(tx,ty,tz,0)，则

x'=x+tx

y'=y+ty

z'=z+tz

表示成矩阵形式如下：

平移变换矩阵即为：

旋转

点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A（x,y,z）绕Z轴旋转角后至A'(x',y',z'），则A与A之间的关系为：

用矩阵表示，绕Z轴旋转的变换矩阵为：

 

 绕X轴旋转的变换矩阵为：

 

绕Y轴变换的矩阵