第九章 动态规划-1297：公共子序列_1297:公共子序列

1297：公共子序列

时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB
提交数: 2409 通过数: 1440
【题目描述】
我们称序列Z=<z1,z2,…,zk>是序列X=<x1,x2,…,xm>的子序列当且仅当存在严格上升的序列<i1,i2,…,ik>，使得对j=1,2,…,k,有xij=zj。比如Z=<a,b,f,c> 是X=<a,b,c,f,b,c>的子序列。

现在给出两个序列X和Y，你的任务是找到X和Y的最大公共子序列，也就是说要找到一个最长的序列Z，使得Z既是X的子序列也是Y的子序列。

【输入】
输入包括多组测试数据。每组数据包括一行，给出两个长度不超过200的字符串，表示两个序列。两个字符串之间由若干个空格隔开。

【输出】
对每组输入数据，输出一行，给出两个序列的最大公共子序列的长度。

【输入样例】
abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp
【输出样例】
4
2
0

---

思路：设 A=(A1,A2,…An) 和 B={B1,B2,…Bm} 是两个序列，将 A 和 B的最长公共子序列记为LCS(A,B)

找出LCS(A,B)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到A 和 B中最长的那个公共子序列。而要找A 和 B的LCS，首先考虑A的最后一个元素和B的最后一个元素。

如果 An=Bm，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(An-1，Bm-1)
如果An != Bm，产生了两个子问题：LCS(An-1，Bm) 和 LCS(An，Bm-1)，因为序列A 和 序列B 的最后一个元素不相等，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素。求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（A,B）。用数学表示就是：LCS=max{LCS(An-1，Bm)，LCS(An，Bm-1)}
我们要求f[i] [j]，先判断s1的第i个元素s2的第j个元素是否相同即判断s1[i - 1]和 s2[j -1]是否相同，如果相同它就是f[i - 1] [j- 1] +1，相当于在两个字符串都去掉一个字符时的最长公共子串再加 1；否则最长公共子串取f[i] [j-1]或f[i-1] [j]。

#include<cstdio>
#
1