一种Toeplitz协方差矩阵重构的波达方向估计方法_toeplitz doa

From: A Toeplitz Covariance Matrix Reconstruction Approach for Direction-of-Arrival Estimation

IEEE TRANSACTIONS ON VEHICULAR TECHNOLOGY, VOL. 66, NO. 9, SEPTEMBER 2017

目录

主要内容

模型与实现

ULA

SLA

 有限快拍效应

MATLAB代码

对偶优化

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主要内容

常见的两种DOA估计方法：基于子空间的方法和基于稀疏性的方法。

基于子空间的方法：信源数目大于阵元数目时无法工作

基于稀疏性的方法：基失配或网格失配

提出一种适用于ULA或SLA的协方差矩阵重构法（CMRA）来实现DOA估计

模型与实现

ULA

 接收信号：

 协方差矩阵：

 其中T为Hermitian Toeplitz矩阵：

 多快拍下协方差矩阵为：

 由于有限快拍数，因此该协方差矩阵包含误差，设误差分量为：

 随着快拍数的增加，互相关项变小，因此E的F范数也会变小。诚然，误差分量E会导致识别错误的信号子空间，从而在MUSIC频谱中产生不正确的峰值。

因此，对T的估计非常重要（LRMR）。

对T的LRMR问题可以表述为：

 因为门限参数很难确定，因此考虑一个替代约束。

考虑到vec(E)服从渐近正态分布：

 其中：

 可用以下进行估计：

 因此有：

 进而有：

 因此，下式将以1-p的概率成立：

 其中，η取决于N与p。因此，之前的优化问题可以重新表述为：

 注：η由p决定。为什么选择η（或p）而非之前的参数c呢？因为p较之c有更小的动态范围。

诚然，这个问题依然是一个NP-hard问题。考虑其凸松弛，用核范数或半正定矩阵的迹范数来代替。

 为了方便，假设噪声能量可以由最小的特征值进行估计。

得到T之后，可以用MUSIC等常规算法进行doa估计。该方法对于相干信源时效果一般，可以考虑将平滑技术引入CMRA。

SLA

SLA接收信号可以表示为：

 其中Ω为SLA阵元位置集合。AΩ表示对应于Ω的阵列流形。A为对应Ω的均匀阵列流形，Γ为阵列流形选择矩阵。

例如设Ω={1，2，5，7}，则有：

 协方差矩阵为：

 同理有协方差矩阵估计（有限快拍）、误差分量、方差矩阵为：

 

 

 同理有：

 同样有LRMR问题：

 有限快拍效应

无论是SLA或ULA（可认为是SLA的特例），最后得到的优化问题都可以重新表述为：

 （推导省略）可以得到：

T的估计误差随着快拍数的增加而减小。（诚然，这是容易经验判断的）T的真值在L（快拍数）中是统计一致的。因为DOA由T得到，同理可以说，角度的估计在L中是统计一致的。

上述优化问题可以通过CVX or SeDuMi求解。

MATLAB代码

 
%% TOEPLITZ COVARIANCE MATRIX RECONSTRUCTION APPROACH FOR DIRECTION-OF-ARRIVAL ESTIMATION
%% IEEE TRANSACTIONS ON VEHICULAR TECHNOLOGY, VOL. 66, NO. 9, SEPTEMBER 2017
 
clc;
clear all;
close all;
 
%% 稀疏阵/互质阵
M = 3;
N = 5;
L = M+N-1;
array1 = 0:M:(N-1)*M;
array2 = 0:N:(M-1)*N;
array = [array1 array2];
array = unique(array);
arraymax = max(array);     
 
%% 均匀阵
% L = 12;
% array = 0:L-1;
% arraymax = max(array);
 
 
d = 0.5;
theta = [ -3 20];
K = length(theta);
A = exp(-1i*2*pi*d*array'*sind(theta));
snap = 500;
 
t=1:snap;
f0 = 0.005;
% s = 2.*(ones(K,1)*exp(1j*2*pi*(f0*t)));%独立信源
 
s = randn(length(theta),snap);
 
% s = complex(rand(length(theta),1),rand(length(theta),1));
% phi = rand(1,snap) + 0.02;
% s = s*exp(-1i*2*pi*phi);
x= A*s;
snr = 0;
x = awgn (x,snr);
 
%% x重排为xv
% xv = zeros(arraymax+1,snap);
% for ii = 0:arraymax
%     count = find(ii == array);
%     if count
%         xv(ii+1,:) = x(count,:);
%     end
% end
% 
% x = xv;
 
 
G = zeros(L,arraymax+1);
for ii = 0: arraymax
    count = find(ii == array);
    if count
        G(count,ii+1)=1;
    end
end
 
R = x*x'/snap;
vecR = vec(R);
MM = arraymax+1;
 
W = kron(R.',R)/snap;
WW = (W)^(-0.5);
 
%%%%%利用CVX工具箱求解凸优化问题%%%%%
mu = 1;
cvx_begin sdp quiet
% cvx_precision high
cvx_solver sdpt3
    variable T(MM,MM) hermitian toeplitz semidefinite 
    minimize(  0.5*sum_square_abs( WW *vec(R-G*T*G')) + mu  * trace(T) )	%目标函数
     
cvx_end
 
derad = pi/180;
[EV,Dv] = eig(T);%特征值分解
DD = diag(Dv);%将特征值变为向量形式
[DD,I] = sort(DD);%从小到大
DD = fliplr(DD');%翻转函数，从大到小
EV = fliplr(EV(:,I));
En = EV(:,K+1:end);%噪声子空间
dm_ss = 0:arraymax;
dm_ss = dm_ss*d;
for ii = 1:2001
    angle(ii) = (ii-1001)*90/1000;
    phim = derad*angle(ii);
    a = exp(-1j*2*pi*dm_ss*sin(phim) ).';
    Pmusic(ii) = 1/(a'*En*En'*a);
end
Pmusic = abs(Pmusic);
Pmax = max(Pmusic);
Pmusic_db = 10*log10(Pmusic/Pmax);
 
 
plot(angle,Pmusic_db);
hold on;
plot([theta(1),theta(1)],ylim,'m-.');
plot([theta(2),theta(2)],ylim,'m-.');
 
 

 仿真结果：-3与20

 注意：代码中有几点不足。

一是没有计算噪声能量，因此对误差分量的计算是不完整的。有兴趣的朋友可以自行添加。

二是得到谱峰后没有提取角度，同样没有计算RMSE。为方便，可用root-MUSIC算法直接完成角度输出（方便进行RMSE的计算）。

三是对相关信号处理效果一般，代码中也没有写空间平滑算法。同样，有兴趣的朋友可以一起讨论。

在论文中，作者通过另外两种方法进行实现，提高了速度和精度。

对偶优化

 暂时先放着，再看看