原子范数及线谱估计

作者：小丑西瓜9 | 2024-03-08 13:45:58

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原子范数

# 原子范数

> 区别于$l_1$范数只能用来处理稀疏向量和核范数只能处理稀疏矩阵，原子范数通过选取不同的基向量，可以有处理不同的问题。

## 一、定义

### 1.1 原子范数

| | x | |_{A} = inf {t > 0 | x \in t c o n v (A)}

$||x||_A = \inf \{ t > 0|x \in tconv(A)\}$

简单的说，这是一个由A中的向量构成的一个凸包$conv(A)$通过整体的尺度变换使得$x$恰好落入$tconv(A)$中，把最后的尺度变换$t$作为$||x||_A$的值。

###1.2 对偶范数

| | z | |_{A}^{*} = sup_{| | x | |_{A} \leq 1} ⟨ x, z ⟩

$||z||_A^* = \sup \limits_{||x||_A \le 1} \left\langle {x,z} \right\rangle$

显然，

⟨ x, z ⟩ \leq | | x | |_{A} | | z | |_{A}^{*}

$\left\langle {x,z} \right\rangle \le ||x||_A||z||_A^*$

## 二、凸优化问题

###2.1 优化问题

min_{x} \frac{1}{2} | | x - y | |_{2}^{2} + τ | | x | |_{A}

$\min \limits_x {1 \over 2}||x - y||_2^2 + \tau ||x||{_A}$

其中，$y=x^*+w,x^*$ 是真实值，$x$是估计值

###2.2 对偶问题

原问题等价于

min_{x} \frac{1}{2} | | x - y | |_{2}^{2} + τ | | u | |_{A}, s . t . u = x

$\min \limits_x {1 \over 2}||x - y||_2^2 + \tau ||u||_A,s.t. u=x$

对应的Lagrange函数为

L (x, u, z) = \frac{1}{2} | | x - y | |_{2}^{2} + τ | | u | |_{A} + z^{T} (u - x)

$L(x,u,z)= {1 \over 2} ||x-y||_2^2 +\tau ||u||_A +z^T(u-x)$

那么，Lagrange对偶函数为 $$g(z)=\inf \li

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