回溯法-------0-1背包问题（DFS、剪枝函数）_回溯法求解0-1背包问题

目录

一  回溯法概述

二 深度优先搜索策略（DFS）

1 树中的深度优先遍历

2 图中的深度优先遍历

三 剪枝函数

四 0-1背包问题

1 问题描述：

2 问题求解：

3 举例说明：

4 算法实现

5 结果展示：

五 复杂度分析

---

一  回溯法概述

回溯法的思路主要可以概述为以下2点：

（1）把问题的解空间转化成了图或者树的结构

（2）使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

二 深度优先搜索策略（DFS）

深度优先遍历一般只在图和树中涉及，当然，树是图的一种特殊结构。DFS简要来说就是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，且不能重复遍历，即每个节点只能遍历一次。

下边举两个例子 说明一下DFS，帮助理解。

1 树中的深度优先遍历

如图所示：是一个二叉树，其深度遍历的顺序为：ABD E CF G

遍历路径如图中棕色箭头所示。具体遍历步骤如下：

（1）先从A点出发，既可以选择遍历B也可以选择遍历C，图中选择B；

（2）从B点出发，既可以选择遍历D也可以选择遍历E，图中选择D；

（3）到达D点后，没有可以继续深入的节点，则向上回溯，到达B点，选择B点还没有遍历的其他节点，图中选择E;

（4）到达E点后，没有可以继续深入的节点，则向上回溯到达B，仍没有可以继续深入的节点，向上回溯到A，选择A还没有遍历的其他节点，图中选择C；

（5）到达C点后，既可以选择遍历F也可以选择遍历G，图中选择F;

  (6)  到达F点后，没有可以继续深入的节点，则向上回溯到C，选择C点还没有遍历的其他节点，图中选择G;

  (7)  达到G点后，没有可以继续深入的节点，则向上回溯到C，仍没有可以继续深入的节点，则向上回溯到A，此时A没有还未遍历的节点，遍历到此结束。

2 图中的深度优先遍历

如图所示，是一个无向图。其深度遍历顺序为：ABDFECGH

遍历路径如图中棕色箭头所示。具体遍历步骤如下：

（1）先从A点出发，既可以选择遍历B、C也可以选择遍历H，图中选择B；

（2）从B点出发，既可以选择遍历D也可以选择遍历E，图中选择D；

（3）到达D点后，向下继续深入,图中选择F;

  (4)  到达F点后，向下继续深入,图中选择E;

（5）到达E点后，没有可以继续深入的节点，则向上回溯，到达F点，仍没有可以继续深入的节点，向上回溯到D,到达D点，仍没有可以继续深入的节点，向上回溯到B,到达B点，仍没有可以继续深入的节点，向上回溯到A，选择A点还没有遍历的其他节点，图中选择C;

（6）到达C点后，向下继续深入,图中选择G；

（7）到达G点后，没有可以继续深入的节点，则向上回溯到C;

  (8)  到达C点后，没有可以继续深入的节点，则向上回溯到A，选择A点还没有遍历的其他节点，图中选择H;

  (9)  达到H点后，没有可以继续深入的节点，则向上回溯到A，此时A没有还未遍历的节点，遍历到此结束。

三 剪枝函数

剪枝函数，顾名思义就是，剪去无用的枝条，即在进行遍历时，提前减去不必要的分支，避免无效遍历。其根本目的,是要减少搜索的次数,使程序运行的时间减少，提高算法效率。

应用剪枝优化的核心问题是设计剪枝判断方法，即确定哪些枝条应当舍弃，哪些枝条应当保留的方法。

剪枝算法按照其判断思路可大致分成两类:可行性剪枝及最优性剪枝。

可行性剪枝： 该方法判断继续搜索能否得出答案，如果不能直接回溯。

最优性剪枝：它记录当前得到的最优值，如果当前结点已经无法产生比当前更优的解时，可以提前回溯。

四 0-1背包问题

1 问题描述：

有N件物品和一个容量为C的背包。第i件物品的价值是P[i]，重量是W[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。所谓0-1背包，表示每一个物品不能拆解，要么装入，要么不装入。

2 问题求解：

0-1背包问题是求最优解的问题。在考虑将物品放进背包的原则是：单位价值（P[i]/W[i]）越大的，尽量提前放进背包中（即将性价比更高的物品更早装进背包）；但是限制条件是，所装物品必须是完整的且重量不能超过背包承重能力。

问题转化：

按照上述思路，先将各物品按照单位价值递减的顺序排序，其次进行判断是否在承重范围值内。

定义：CW（current weight）表示当前重量，CP（current price）表示当前价值，

根节点代表扩展结点 ，其余每一层代表一个物品，越靠近根节点，单位价值越高。选中该物品，即搜索左子树，进行判断。具体执行操作如下所示：

（1）先计算所有物品的单位价值，将其进行降序排列

（2）排列之后，从根节点(扩展节点)出发；

（3）搜索左子树，判断是否满足约束条件(物品装入背包？)： 

           若选中该物品（可行解），CW+=W[i]，CP+=P[i]，继续向下遍历；

           直至遇到不可行解时，开始向上回溯，取出最后一个装入的物品，进入右子树：

（4）进入右子树，首先计算当前节点的上界bound(i)，

           若bound(i)小于bestp,剪去右子树，继续向上回溯；

          否则进行步骤（3）；

（5）遇到叶子节点，比较当前价值与bestp，若CP>bestp，则bestp进行更新;

（6）直到遍历完所有的节点（除剪枝部分外）。

3 举例说明：

已知：p[]={45,25,24};    w[]={16,15,15};背包容量为30，求最优价值？

（1）先将这四件物品的单位价值算出来，按照单位价值降序排列。刚好顺序和原始顺序一致。

（2）开始进行遍历并判断是否装入，

具体步骤如下：（B1,B2,都指的是物品B，C1,C2,C3,C4都指的是物品C ,依此类推  主要是为了区分结点  便于叙述）

首先 物品B1 装入符合条件（最大重量不超过背包容量30的要求），遍历其左子树，此时CW = 16,CP = 45；

到达B1点后，遍历其左子树,发现剩余容量r = 14，C1无法装入背包，剪去B1-C1这条枝；

进入右子树，到达C2后，计算bound(i) = 68.3>45，继续向下遍历。遍历其左子树,发现剩余容量r = 14，D3无法装入背包，剪去C2-D3这条枝；

进入右子树，到达C2后，遇到叶子节点，此时bestp = 45。记录该值。

向上回溯，取出最后一个装入的物品B1,到达A，进入右子树，到达B2；计算bound(i) = 49>45，继续向下遍历;此时CW = 0,CVP= 0；

遍历左子树，到达C3,此时CW = 15,CP= 25；剩余容量r =15。

继续向下遍历 ，到达D5，此时D5可以装入包中，CW = 30,CP = 49。此时CP>bestp = 45,进行更新bestp; bestp = 49。记录bestp和当前包中物品。

由于还有其他结点没有遍历完成，继续进行回溯。

取出最后一个装入的物品D5,到达C3,进入右子树，到达D6，此时CW = 15,CP= 25；到达了叶子节点 判断是否需要更新bestp。由于CP= 25<bestp，不用更新。

继续向上回溯，去除最后一个装入的物品C3，到达B2，向右进行遍历，进入右子树，到达C4,计算bound（i） = 48<bestp,不用向下遍历，进行剪枝。

此时所有结点已经完全遍历，最有价值为49，装入CD即可。

遍历过程如图所示：（图中68.3应该位67.4，bound = 45+14*(24/15)=67.4）

4 算法实现

import java.util.Arrays;
import java.lang.annotation.ElementType;
 
/**
 * Author: PuTongFish
 */
public class Knapsack {
    private static class Element implements Comparable {
        int id;//物品编号
        double d;
 
        private Element(int idd, double dd) {
            id = idd;
            d = dd;
        }
        @Override
        public int compareTo(Object o) {
            double xd = ((Element)o).d;
            if (d < xd) return -1;
            if (d == xd) return 0;
            return 1;
        }
 
        public boolean equals(Object x) {
            return d == ((Element) x).d;
        }
    }
 
static double c;
static int n;
static double[] p;
static double[] w;
static double cw;
static double cp;
static double bestp;
 
public static double Knapsack(double[] pp,double[] ww,double cc) {
    c = cc;
    n = pp.length;
    cw = 0.0;
    cp = 0.0;
    bestp = 0.0;
    Element[] q = new Element[n];
 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        q[i - 1] = new Element(i, pp[i] / ww[i]);
    }
//排序
    //MergeSort.mergeSort(q);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n - i; j++) {
            if (q[j - 1].d < q[j].d) {
                Element temp = q[j - 1];
                q[j - 1] = q[j];
                q[j] = temp;
            }
        }
    }
    p = new double[n + 1];
    w = new double[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        p[i] = pp[q[n - i].id];
        w[i] = ww[q[n - i].id];
    }
    Backtrack(1);
    return bestp;
}
private static void Backtrack(int i){
    if (i > n) {
        //到达叶结点
        bestp = cp;
        return;
    }
 
    if (cw + w[i] <= c) { //进入左子树
        cw += w[i];
        cp += p[i];
        Backtrack(i + 1);
        cw -= w[i];
        cp -= p[i];
    }
    //	float u=Bound(i + 1);
    //	float bb=bestp;
    //当前的界是否大于背包当前的值
    if (Bound(i + 1) > bestp) { //进入右子树
        Backtrack(i + 1);
    }
}
private static double Bound(int i){
    //计算上界
    double cleft = c - cw; //剩余容量
    double bound = cp;
    //以物品单位重量价值递减序装入物品
    while (i <= n && w[i] <= cleft) {
        cleft -= w[i];
        bound += p[i];
        i++;
    }
    //装满背包
    if (i <= n){
        double aa = p[i] * cleft;
        double bb = w[i];
        double temp = aa / bb;
        //注意：如果这样写：float temp=p[i] * cleft/w[i];
        //则temp计算出来是整数，因为右边是先按整数来算，再将int转float；
        bound += temp;
       // System.out.println(i);
        //System.out.println("界");
        //System.out.println(bound);
    }
    return bound;
}
 
 
    public static void main(String[] args) {
        double p[]={45,25,24};
        double w[]={16,15,15};
        double c = Knapsack(p,w,30);
        System.out.println("0-1背包问题的最优值为："+c);
    }
}

5 结果展示：

五 复杂度分析