MIT18.06线性代数课程笔记10：column space、row space、null space、left null space_column space, row space, null space

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

此部分讨论了矩阵四个基本子空间的定义、性质以及求解方法。

1. 定义

关于column space和null space的定义请参考 MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space，简单的说column space是矩阵$A$所有列向量的线性组合，即span；而null space是所有满足$Ax=0$的$x$的集合。

由此推出row space和null space的定义也十分简单：row space就是$C(A^T)$，而left null space则为$N(A^T)$。row space的实际意义即为所有行向量的线性组合；而left null space则为所有满足$x^TA=0^T$的$x$的集合。

2. 性质

首先四个子空间都是大空间的subspace，第一个性质就是讨论各自所在的大空间，完全由集合内部元素的维度限制。设$A$是$n\times m$的矩阵，则有$C(A)\in R^n, N(A)\in R^m, C(A^T)\in R^m, N(A^T)\in R^n$。可以发现column space 和left null space位于同一大空间内，而row space和null space 位于同一大空间内。通常对矩阵$A$的四大子空间作图时采用如下形式：

然后讨论四个空间的维度，由之前的内容可知$\text{Dim}(C(A))=r(A)$, $\text{Dim}(N(A))=m-r(A)$。对于row space，结论是类似的