MATLAB非线性规划入门fmincon函数及传额外传参数

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导读：在工程、科学和金融等领域，非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一个常见而重要的问题。MATLAB提供了强大的非线性规划求解工具，其中最常用的函数之一是fmincon。本文将介绍fmincon函数的基本用法以及如何在MATLAB中使用它来解决非线性规划问题。

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一、标准型

1. 非线性规划标准型

2. MATLAB中的fmincon函数

fmincon是MATLAB中用于求解非线性规划问题的函数。它的基本语法如下：

[x, fval, exitflag, output] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon)
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• fun：表示要最小化的目标函数。
• x0：表示初始解的猜测。
• A和b：表示不等式约束。
• Aeq和beq：表示等式约束。
• lb和ub：表示变量的下界和上界。
• nonlcon：表示非线性约束函数（可选）。

fmincon的输出包括最优解x，最优值fval，退出标志exitflag和优化过程的输出信息output。

公式与函数的对应关系：
{ f u n f ( x ) 目标函数 l b , u b l b ≤ x ≤ u b 上下界约束 A , b A ⋅ x ≤ b 线性不等式约束 A e q , b e q A e q ⋅ x = b e q 线性等式约束 n o n l c o n c ( x ) ≤ 0 , c e q ( x ) = 0 非线性等式约束 , 非线性不等式约束 x 0 初始最优解猜测值 x 返回最优解 o p t i o n s 求解器参数设置 \left\{

$$\begin{array}{lll}{\rm fun}&f(x)& {目标函数}\\ {\rm lb,ub}&lb\leq x\leq ub & {上下界约束}\\ {\rm A,b}&A\cdot x\leq b&{线性不等式约束}\\ {\rm Aeq,beq}&Aeq\cdot x=beq&{线性等式约束}\\ {\rm nonlcon}&c(x)\leq0,ceq(x)=0&{非线性等式约束,非线性不等式约束}\\ {\rm x0} & {初始最优解猜测值}\\ {\rm x} & {返回最优解}\\ {\rm options} & {求解器参数设置} \end{array}$$ \right. ⎩ ⎨ ⎧​funlb,ubA,bAeq,beqnonlconx0xoptions​f(x)lb≤x≤ubA⋅x≤bAeq⋅x=beqc(x)≤0,ceq(x)=0初始最优解猜测值返回最优解求解器参数设置​目标函数上下界约束线性不等式约束线性等式约束非线性等式约束,非线性不等式约束​

二、算例

      算例：
min ⁡ x f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 [ − 2 − 3 ] ≤ [ x 1 x 2 ] ≤ [ 2 3 ] [ − 6 − 7 ] ≤ [ 3 1 1 2 ] [ x 1 x 2 ] ≤ [ 5 7 ] x 1 2 + 2 x 1 x 2 ≤ 5 x 1 = x 2 2

$$\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_x f(x) = {x_1}^2 + {x_2}^2\\ \left[ {\begin{array}{l} { - 2}\\ { - 3} \end{array}} \right] \le \left[ {\begin{array}{l} { {x_1}}\\ { {x_2}} \end{array}} \right] \le \left[ {\begin{array}{l} 2\\ 3 \end{array}} \right]\\ \left[ {\begin{array}{l} { - 6}\\ { - 7} \end{array}} \right] \le \left[ {\begin{array}{l} 3&1\\ 1&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{l} { {x_1}}\\ { {x_2}} \end{array}} \right] \le \left[ {\begin{array}{l} 5\\ 7 \end{array}} \right]\\ {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} \le 5\\ {x_1}={x_2}^2 \end{array}$$ xmin​f(x)=x1​2+x2​2[−2−3​]≤[x1​x2​​]≤[23​][−6−7​]≤[31​12​][x1​x2​​]≤[57​]x1​2+2x1​x2​≤5x1​=x2​2​

1、完整MATLAB代码

%初始猜测值
x0 = [-1,2];
%上下界约束
lb = [-2;-3];
ub = [2;3];
%线性不等式约束
A1 = [3 1;
      1 2];
A2 = -[3 1;
      1 2];
b1 = [5;7];
b2 = -[-6; -7];
A = [A1;A2];
b = [b1;b2];
%线性等式约束
Aeq = [];
beq = [];
%优化求解器选项配置
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp') ;%新手可将 options  = []

%优化求解器返回最优解
x = fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,...
                      @nonlcon,options);%返回优化后变量
disp("最优解 ")  
x
%目标函数
function [f,gradf] = fun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2;
gradf = [2*x(1);2*x(2)];
end

%非线性约束
function [c,ceq] = nonlcon(x)
c= 1*x(1)^2+2*x(1)*x(2)-5;%非线性不等式约束
ceq = x(1)-x(2)^2;%非线性等式约束;%非线性等式约束
end
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2、目标函数

a) 目标函数（不带梯度）

function [f] = fun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2;
end
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b) 目标函数（带梯度）

function [f,gradf] = fun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2;
gradf = [2*x(1);2*x(2)];
end
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fmincon优化目标函数，梯度可带可不带，但是在(1)(2)情况下，最好带上：
$(1)梯度容易求出(2)加快优化速度$

3、上下界约束

[ − 2 − 3 ] ≤ [ x 1 x 2 ] ≤ [ 2 3 ] \left[ {

$$\begin{array}{l} { - 2}\\ { - 3} \end{array}$$ } \right] \le \left[ { $$\begin{array}{l} { {x_1}}\\ { {x_2}} \end{array}$$ } \right] \le \left[ { $$\begin{array}{l} 2\\ 3 \end{array}$$ } \right] [−2−3​]≤[x1​x2​​]≤[23​]
可知
$$lb=\left[\begin{array}{l}-2\\ -3\end{array}\right],ub=\left[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\right]$$

lb = [-2;-3];
ub = [2;3]
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4、线性约束

A ⋅ x ≤ b [ − 6 − 7 ] ≤ [ 3 1 1 2 ] [ x 1 x 2 ] ≤ [ 5 7 ] A e q ⋅ x ≤ b e q 无

$$\begin{array}{ll}A\cdot x\le b &\left[\begin{array}{c}-6\\-7\end{array}$$ \right]\leq\left[ $$\begin{array}{cc}3&1\\1&2\end{array}$$ \right]\left[ $$\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}$$ \right]\leq\left[ $$\begin{array}{c}5\\7\end{array}$$ \right]\\ Aeq \cdot x\le beq &无\end{array} A⋅x≤bAeq⋅x≤beq​[−6−7​]≤[31​12​][x1​x2​​]≤[57​]无​
可知
$$\begin{array}{l}{A}_1=\left[\begin{array}{lc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right],b_1=\left[\begin{array}{l}5\\ 7\end{array}\right]\\ A_2=-\left[\begin{array}{lc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right],b_2=-\left[\begin{array}{l}-6\\ -7\end{array}\right]\\ Aeq=[],beq=[]\end{array}$$

A1 = [3 1;
      1 2];
A2 = -[3 1;
      1 2];
b1 = [5;7];
b2 = -[-6; -7];
A = [A1;A2]
b = [b1;b2];
Aeq = [];
beq = [];
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5、非线性约束

c ( x ) ≤ 0 x 1 2 + 2 x 1 x 2 ≤ 5 c e q ( x ) = 0 x 1 = x 2 2

$$\begin{array}{ll} c(x)\leq0&{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} \le 5\\ ceq(x)=0&{x_1}={x_2}^2 \end{array}$$ c(x)≤0ceq(x)=0​x1​2+2x1​x2​≤5x1​=x2​2​
改写
$$\begin{array}{l}{x_1}^2+2x_1{x}_2-5\le 0\\ x_1-{x_2}^2=0\end{array}$$

function [c,ceq] = nonlcon(x)
c= x(1)^2+2*x1*x2-5;
ceq = x(1)-x(2)^2;
end
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三、目标函数与非线性约束 传参

      我们往往会遇到待优化函数或者非线性约束中带参数情况，有两种解决变法：

1. 仅目标函数–传参

f = p 1 x 1 2 + p 2 x 2 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 ≤ 5

$$\begin{array}{l} f = {p_1}{x_1}^2 + {p_2}{x_2}^2\\ {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} \le 5 \end{array}$$ f=p1​x1​2+p2​x2​2x1​2+2x1​x2​≤5​

x0 = [-1,2];
p1 = 2; p2 =2;

%优化求解器选项配置
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp') 
%新手可将 options  = []

%优化求解器返回最优解
x = fmincon(@fun,x0,[],[],[],[],[],[],@nonlcon,options,p1,p2)%返回优化后变量

function [f,gradf] = fun(x,p1,p2)
f = p1*x(1)^2 + p2*x(2)^2;
gradf = [2*p1*x(1);2*p2*x(2)];
end

function [c,ceq] = nonlcon(x,p1,p2)
c = x(1)^2+2*x(1)*x(2)-5;
ceq = [];
end
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2.目标函数与非线性约束–传参

f = p 1 x 1 2 + p 2 x 2 2 c 1 x 1 2 + c 2 x 1 x 2 ≤ 5

$$\begin{array}{l} f = {p_1}{x_1}^2 + {p_2}{x_2}^2\\ {c_1}{x_1}^2 + {c_2}{x_1}{x_2} \le 5 \end{array}$$ f=p1​x1​2+p2​x2​2c1​x1​2+c2​x1​x2​≤5​

x0 = [-1,2];
p1 = 2;p2 =2;
c1 = 2;c2 =2;

%优化求解器选项配置
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp') 
%新手可将 options  = []

%优化求解器返回最优解
x = fmincon(@(x)fun(x,p1,p2),x0,[],[],[],[],[],[],...
                       @(x)nonlcon(x,c1,c2),options)%返回优化后变量
                       
function [f,gradf] = fun(x,p1,p2)
f = p1*x(1)^2 + p2*x(2)^2;
gradf = [2*p1*x(1);2*p2*x(2)];
end

function [c,ceq] = nonlcon(x,c1,c2)
c = c1*x(1)^2+c2*x(1)*x(2)-5;
ceq = [];
end
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对于fmincon没有的项一定要用[]占位
options表示优化器的配置选项，如上例：

options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp')
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四. 结论

在MATLAB中，fmincon函数是一个强大的工具，用于求解非线性规划问题。通过定义目标函数和约束条件，您可以使用这个函数来寻找最优解。在实际应用中，问题的复杂性可能会增加，但fmincon仍然是一个有力的工具，可用于解决各种非线性规划问题。

希望本文能帮助您了解如何使用MATLAB中的fmincon函数来处理非线性规划问题。如果您想深入了解该函数的更多高级功能和选项，请查阅MATLAB文档。
详情见： https://www.mathworks.com/help/optim/ug/fmincon.html