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标量场的方向导数与梯度_标量场方向导数计算公式

作者：小丑西瓜9 | 2024-04-15 12:50:41

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标量场方向导数计算公式

标量与标量场

标量：只有大小没有方向的量。（例如：温度、体积、高度等）

标量场：在某一空间区域内的每一点，都对应某个标量的存在，形成了一个标量场。（例如教室里的温度场）

空间区域内每一点都有一个确定的温度值，形成了一个温度场。

表示场的方法：

1、数学表达式： $\varphi =\varphi (x,y,z)$ ，表示该场仅与空间坐标有关，与时间t无关，为静态场； $T=T(x,y,z,t)$ ，表示该场不仅与坐标有关，还与时间有关，称为时变场或动态场。

2、图示法：例如等值线、等值面等。

标量场的方向导数

在固定的点，对于一个固定的温度场而言，沿着不同方向，温度的变化情况是不一样的。怎样去描述某一点沿不同方向变换情况？我们知道可以通过 $\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial\varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z}$ 分别表示函数沿三个坐标轴的变化率，但在实际中需要特定方向的变化率，于是定义出方向导数。

方向导数定义：函数在某个点沿特定方向的变化率。

设P0是标量场 $\varphi =\varphi (P)$ 中的一个已知点，从P0出发沿某一方向 $\vec{l}$ 移动 $\Delta l$ 的空间距离，到达P1点。若当P1点趋近于P0点时（即空间距离 $\Delta l$ 趋于0时）的极限存在，则称此极限为标量场 $\varphi (P)$ 在点P0处沿 $\vec{l}$ 方向的方向导数。

记作：

方向导数计算公式：

由全微分公式可得： $\Delta \varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}\Delta x+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\Delta y+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\Delta z$

直角坐标系下任意方向的空间距离为： $\Delta l =\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}$

故函数从某点开始的变化率为：

$\frac{\Delta \varphi }{\Delta l}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\Delta x}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\frac{\Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\frac{\Delta z}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}$

$=\frac{\partial \varphi }{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial \varphi }{\partial y}cos\beta +\frac{\partial \varphi }{\partial z}cos\gamma$

上述式子为方向导数计算公式。其中 $cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma$ 为 $\vec{l}$ 方向的方向余弦。

梯度与哈密顿算子

哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子，称之为哈密顿算子或者 $\bigtriangledown$ 算子。

$\bigtriangledown =\frac{\partial }{\partial x}\vec{e_{x}}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{e_{y}}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{e_{z}}$

哈密顿算子本身并无意义，就是一个算子，同时又被看作是一个矢量，在运算时，具有矢量和微分的双重身份。

将上述方向导数的计算公式拆为两个矢量的点积：

$\frac{\partial \varphi }{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial \varphi }{\partial y}cos\beta +\frac{\partial \varphi }{\partial z}cos\gamma$

$=(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\vec{e_{x}}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\vec{e_{y}}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\vec{e_{z}})\cdot (cos\alpha \vec{e_{x}}+cos\beta \vec{e_{y}}+cos\gamma \vec{e_{z}})$

后者 $cos\alpha \vec{e_{x}}+cos\beta \vec{e_{y}}+cos\gamma \vec{e_{z}}$ 为 $\vec{l}$ 方向的单位向量(矢量)，记作 $\vec{l^{o}}$

前者 $\frac{\partial \varphi }{\partial x}\vec{e_{x}}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\vec{e_{y}}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\vec{e_{z}}$ 记作矢量G，则两者点积为方向导数，即 $\frac{\partial \varphi }{\partial l}=\left | G \right |1cos(\vec{G},\vec{l^{o}})$

可以发现当cos值为1时，方向导数值最大为 $\left | G \right |$ 。

故我们找到了一个矢量G，其方向为变化率最大方向，其模值为最大变化率。

该最大变化率矢量G称为标量场 $\varphi$ 在 $P_{0}$ 处的梯度，用 $grad\varphi (P_{0})$ 表示。

梯度表达式为: $grad\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}\vec{e_{x}}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\vec{e_{y}}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\vec{e_{z}}$

梯度用哈密顿算子表示的表达式： $grad\varphi =\bigtriangledown \varphi$

标量场中的每一点的梯度都垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向；该点任意方向的方向导数等于该点梯度在此方向上的投影。

梯度基本运算法则：

u,v为标量场、c为常数

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