质数之试除法与质数筛

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质数的定义

• 对于小于等于 $1$ 的数来说，都不是质数；
• 对于大于 $1$ 的数来说，因数只有 $1$ 和它本身的数就称为质数。

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原理

$$\begin{gathered} 算数基本定理（唯一分解定理）： \\ 任何合数都可以分解为若干质数的乘积，且分解式唯一（不考虑顺序） \end{gathered}$$

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试除法判定质数

具体思路

• 从 $2$ 开始一个数一个数开始试，直到 $sqrt(n)$，如果能整除中间某个数，就不是质数；反之则是。
• 为什么是 $sqrt(n)$：
  • 每一对因数都是成对出现的，我们可以枚举其中较小的那一个即可。

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时间复杂度分析

$$O(\sqrt{n})$$

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AcWing 866. 试除法判定质数

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/935/

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CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;

bool isprime(int x){
    if(x < 2) return false;
    
    for(int i = 2; i <= x / i; ++i){
        if(x % i == 0) return false;
    }
    
    return true;
}

int main()
{
    cin >> n;
    while (n -- ){
        int a;
        scanf("%d", &a);
        
        if(isprime(a)) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
}
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分解质因数

原理

由前面的算术基本定理可知，每个数都可以分为若干质数的乘积形式。

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思路

• 从 $2$ 开始除，当除到 $k$ 时，$n$ 被 $k$ 之前的所有质因子除过，如果 $n$ 能被 $k$ 整除，那么说明 $k$ 一定是当前最小的质因子。
  • 拿 $8$ 举例：
  • $8$ 可以被 $2$ 除 $3$ 次，那么式子就是：$8=2\ast 2\ast 2$。
  • 如果说枚举到了 $4$ ，而 $4=2\ast 2$，那么 $4$ 的倍数就是 $2$ 的倍数，那么轮到 $4$ 的时候公倍数早就被 $2$ 除完了。

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时间复杂度分析

$$O(\sqrt{n})$$

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AcWing 867. 分解质因数

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/936/

CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;

void divide(int x){
    for(int i = 2; i <= x / i; ++i){
        if(x % i == 0){
            int res = 0;
            
            while(x % i == 0){
                x /= i;
                res++;
            }
            
            printf("%d %d", i, res);
            puts("");
        }
    }
    
    if(x > 1) printf("%d %d\n", x, 1);
    puts("");
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    while (n -- ){
        int a;
        scanf("%d", &a);
        
        divide(a);
    }
}
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质数筛

质数筛详情可见：质数筛（记录）

AcWing 868. 筛质数

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/937/

CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int n;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void is_prime(){
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
        
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; ++j){
            st[i * primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    is_prime();
    
    cout << cnt << endl;
}
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