算法效率分析分为两种： 第一种是时间效率，第二种是空间效率 。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

1.3 复杂度在校招中的考察

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个 函数（数学的带未知数的函数表达式） ，它定量描述了该算法的运行时间。 一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？ 是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

为什么 一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的？

举个例子：

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

举个例子：（不能纯粹的数循环，要看具体的算法逻辑，进行计算）

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i) {
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) 
{
 ++count;
 }
int M = 10;
while (M--) 
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}
计算次数的时间复杂度函数：n*n+2*n+10；

Func1 执行的基本操作次数：

N = 10 F(N) = 130

N = 100 F(N) = 10210

N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数 ， 那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大 O 符号（ Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大 O 阶方法：

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。

使用大 O 的渐进表示法以后， Func1 的时间复杂度为：

N = 10 F(N) = 100

N = 100 F(N) = 10000

N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况： 1 次找到

最坏情况： N 次找到

平均情况： N/2 次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为 O(N)

2.3常见时间复杂度计算举例

实例 1 ：


// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N) 
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

实例2:


// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

实例3:


// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N) 
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

实例4:

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )

4. 实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

实例5:

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n) {
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}
这是一个冒泡排序算法。我们需要注意，计算时间复杂度时不能只看循环，这种做法是肤浅的、错误的。我们应该关注算法的内核。就拿这个冒泡算法来说，我们通过图解来表达清楚冒泡排序的核心：

可以看到，最好的情况就是执行 N 次(不是 1 次原因是即使不进行元素交换，此算法也会对数组遍历检查)。最差的情况就是计算 1、2、3……N-2、N-1 这个等差数列之和，即 (N-1)*N/2 ，那么要表示时间复杂度，就要用大 O 的渐进表示法，即去除影响不大的项，O(N^2) 。

实例6:


// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x) {
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1; }

二分查找，具体逻辑如图

实例7:


// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N) {
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N; }

实例8:

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N) {
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
斐波那契数列算法在现实生活中，没什么用，因为其时间复杂度过大。

实例答案及分析：

1. 实例 1 基本操作执行了 2N+10 次，通过推导大 O 阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

2. 实例 2 基本操作执行了 M+N 次，有两个未知数 M 和 N ，时间复杂度为 O(N+M)

3. 实例 3 基本操作执行了 10 次，通过推导大 O 阶方法，时间复杂度为 O(1)

4. 实例 4 基本操作执行最好 1 次，最坏 N 次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

5. 实例 5 基本操作执行最好 N 次，最坏执行了 (N*(N+1)/2 次，通过推导大 O 阶方法 + 时间复杂度一般看最

坏，时间复杂度为 O(N^2)

6. 实例 6 基本操作执行最好 1 次，最坏 O(logN) 次，时间复杂度为 O(logN) ps ： logN 在算法分析中表示是底

数为 2 ，对数为 N 。有些地方会写成 lgN 。（建议通过折纸查找的方式讲解 logN 是怎么计算出来的）

7. 实例 7 通过计算分析发现基本操作递归了 N 次，时间复杂度为 O(N) 。

8. 实例 8 通过计算分析发现基本操作递归了 2^N 次，时间复杂度为 O(2^N) 。（建议画图递归栈帧的二叉树

讲解）

3. 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大 O 渐进表示法 。

注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1：


// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

实例2：


// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n) {
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
 }

实例3：


// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N) {
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
 }

实例答案及分析：

1. 实例 1 使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

2. 实例 2 动态开辟了 N 个空间，空间复杂度为 O(N)

3. 实例 3 递归调用了 N 次，开辟了 N 个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为 O(N)

4. 常见复杂度对比

5. 复杂度的oj练习

3.1 消失的数字OJ链接

解题思路：所有数相加和减去当前数和就是那个所缺的数


int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    int sum = 0;
    for(int i = 0;i<numsSize;i++)
    {
        sum+=nums[i];
    }
    int ret = 0;
    for(int i = 0;i<=numsSize;i++)
    {
        ret+=i;
    }
    return ret-sum;
}

轮转数组

思路一：存放最右边的数，一次右移一个，需要移动K%numsSize次


void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
    if (k > numsSize)
    {
        k %= numsSize;
    }
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        int tmp = nums[numsSize - 1];
        for (int j = numsSize - 1; j >= 1; j--)
        {
            nums[j] = nums[j - 1];
        }
        nums[0] = tmp;
    }
}

但是可以发现运行超时：

思路二：开辟一个新的数组存放需要移动的数，在把剩余的数存放到新的数组中，最后把新数组中的数字赋值给原来的数组


void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
     if (k >= numsSize)
    {
        k %= numsSize;
    }
    int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * (numsSize+1));
    for (int i = 0; i <k; i++)
    {
        arr[k-i-1] = nums[numsSize - i-1];
    }
    for (int i = k; i < numsSize; i++)
    {
        arr[i] = nums[i-k];
    }
    for(int i = 0;i<numsSize;i++)
    {
        nums[i] = arr[i];
    }
}

思路三：前n-k个逆置，后k个逆置，整体逆置


void right_move(int arr[], int left, int right)
{
    while (left < right)
    {
        int tmp = arr[left];
        arr[left] = arr[right];
        arr[right] = tmp;
        ++left;
        --right;
    }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    if (k >= numsSize)
    {
        k %= numsSize;
    }
    right_move(nums, 0, numsSize - 1 - k);
    right_move(nums, numsSize - k, numsSize - 1);
    right_move(nums, 0, numsSize - 1);
}

结语：

每个人的成长都是能力和想要得到的东西，不断匹配的过程，当你的才华和欲望不匹配时，你就该静下心来学习了，如果小编的总结能对你有所帮助，希望小伙伴们三连加关注哦，你的支持是小编创作的最大动力。

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