4.4.1 蓝桥杯动态规划之区间DP_蓝桥杯dp

蓝桥杯动态规划：区间DP深度解析

1. 什么是区间DP

区间动态规划（区间DP）是一种处理序列问题的动态规划技术。它主要用于解决一维数组上的问题，尤其是那些涉及数组子区间（连续的子序列）的问题。在区间DP中，一个问题的解通常依赖于同一问题但在较小区间上的解。因此，这种方法通常涉及逐步求解由小到大的所有子区间问题。

2. 普通区间DP

在普通的区间DP问题中，我们通常关注数组的连续子区间。这类问题的关键是确定两个方面：

• 状态定义：定义一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 和 j 分别代表区间的起始和结束位置，dp[i][j] 存储了关于这个区间的某种属性（例如最小成本、最大收益等）。
• 状态转移方程：找出将一个大区间划分为若干个小区间的方法，并使用这些小区间的状态来更新大区间的状态。

例如，"石子合并"问题就是一个典型的普通区间DP问题。

3. 环形区间DP

环形区间DP是普通区间DP的一个变种，用于处理环状结构的问题。在这种问题中，数组的第一个元素和最后一个元素在某种意义上是相邻的。环形结构引入了新的复杂性，因为我们需要考虑跨越起点和终点的区间。

解决环形区间DP问题的一个常见方法是将环形结构“打开”。具体来说，可以考虑将