自动驾驶算法详解(3): LQR算法进行轨迹跟踪，lqr_speed_steering_control( )的python实现

前言：

LQR算法在自动驾驶应用中，一般用在NOP、TJA、LCC这些算法的横向控制中，一般与曲率的前馈控制一起使用，来实现轨迹跟踪的目标，通过控制方向盘转角来实现横向控制。

本文将使用python来实现 lqr_speed_steering_control( ) 轨迹跟踪算法的demo，通过同时控制转角与加速度来实现轨迹跟踪。

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正文如下：

一、LQR问题模型建立：

理论部分比较成熟，这里只介绍demo所使用的建模方程：

使用离散代数黎卡提方程求解

 

LQR控制的步骤：

选择参数矩阵Q,R
求解Riccati方程得到矩阵P
根据P计算 K = R − 1 B T P K=R^{-1}B^{T}P K=R−1BTP
计算控制量 u = − K x u=-Kx u=−Kx

系统状态矩阵：

 输入矩阵：

 A矩阵：

 B矩阵：

 二、代码实现

# 导入相关包
 
import math
 
import sys
 
import os
 
import matplotlib.pyplot as plt
 
import numpy as np
 
import scipy.linalg as la
 
 
# cubic_spline_planner为自己实现的三次样条插值方法
 
try:
 
    from cubic_spline_planner import *
 
except ImportError:
 
    raise

设置轨迹途经点并生成轨迹：

# 设置轨迹会经过的点
 
ax = [0.0, 6.0, 12.5, 10.0, 17.5, 20.0, 25.0]
 
ay = [0.0, -3.0, -5.0, 6.5, 3.0, 0.0, 0.0]
 
goal = [ax[-1], ay[-1]]
 
 
 
# 使用三次样条插值方法，根据途经点生成轨迹，x、y、yaw、曲率k，距离s
 
cx, cy, cyaw, ck, s = calc_spline_course(
 
        ax, ay, ds=0.1)
 
 
 
# 绘制规划好的轨迹
 
plt.plot(ax, ay, "xb", label="waypoints")
 
plt.plot(cx, cy, "-r", label="target course")

生成的轨迹如下：

  

设置期望速度：

# 设置目标速度
 
target_speed = 10.0 / 3.6  # simulation parameter km/h -> m/s
 
 
 
 
 
speed_profile = [target_speed] * len(cyaw)
 
 
 
direction = 1.0
 
 
 
# 转弯幅度较大时将速度设置为0，并将速度方向翻转
 
# Set stop point
 
for i in range(len(cyaw) - 1):
 
    dyaw = abs(cyaw[i + 1] - cyaw[i])
 
    switch = math.pi / 4.0 <= dyaw < math.pi / 2.0
 
 
 
    if switch:
 
        direction *= -1
 
 
 
    if direction != 1.0:
 
        speed_profile[i] = - target_speed
 
    else:
 
        speed_profile[i] = target_speed
 
 
 
    if switch:
 
        speed_profile[i] = 0.0
 
 
 
# 靠近目的地时，速度降低       
 
# speed down
 
for i in range(40):
 
    speed_profile[-i] = target_speed / (50 - i)
 
    if speed_profile[-i] <= 1.0 / 3.6:
 
        speed_profile[-i] = 1.0 / 3.6
 
 
 
plt.plot(speed_profile, "-b", label="speed_profile")

期望速度如下：

 定义求解所需要的数据结构与方法：

# 定义LQR 计算所需要的数据结构，以及DLQR的求解方法
 
 
 
# State 对象表示自车的状态，位置x、y，以及横摆角yaw、速度v
 
class State:
 
 
 
    def __init__(self, x=0.0, y=0.0, yaw=0.0, v=0.0):
 
        self.x = x
 
        self.y = y
 
        self.yaw = yaw
 
        self.v = v
 
 
 
# 更新自车的状态，采样时间足够小，则认为这段时间内速度相同，加速度相同，使用匀速模型更新位置
 
def update(state, a, delta):
 
 
 
    if delta >= max_steer:
 
        delta = max_steer
 
    if delta <= - max_steer:
 
        delta = - max_steer
 
 
 
    state.x = state.x + state.v * math.cos(state.yaw) * dt
 
    state.y = state.y + state.v * math.sin(state.yaw) * dt
 
    state.yaw = state.yaw + state.v / L * math.tan(delta) * dt
 
    state.v = state.v + a * dt
 
 
 
    return state
 
 
 
 
 
def pi_2_pi(angle):
 
    return (angle + math.pi) % (2 * math.pi) - math.pi
 
 
 
 
 
# 实现离散Riccati equation 的求解方法
 
def solve_dare(A, B, Q, R):
 
    """
    solve a discrete time_Algebraic Riccati equation (DARE)
    """
 
    x = Q
 
    x_next = Q
 
    max_iter = 150
 
    eps = 0.01
 
 
 
    for i in range(max_iter):
 
        x_next = A.T @ x @ A - A.T @ x @ B @ \
 
                la.inv(R + B.T @ x @ B) @ B.T @ x @ A + Q
 
        if (abs(x_next - x)).max() < eps:
 
            break
 
        x = x_next
 
 
 
    return x_next
 
 
 
# 返回值K 即为LQR 问题求解方法中系数K的解
 
def dlqr(A, B, Q, R):
 
    """Solve the discrete time lqr controller.
    x[k+1] = A x[k] + B u[k]
    cost = sum x[k].T*Q*x[k] + u[k].T*R*u[k]
    # ref Bertsekas, p.151
    """
 
 
 
    # first, try to solve the ricatti equation
 
    X = solve_dare(A, B, Q, R)
 
 
 
    # compute the LQR gain
 
    K = la.inv(B.T @ X @ B + R) @ (B.T @ X @ A)
 
 
 
    eig_result = la.eig(A - B @ K)
 
 
 
    return K, X, eig_result[0]
 
 
 
# 计算距离自车当前位置最近的参考点
 
def calc_nearest_index(state, cx, cy, cyaw):
 
    dx = [state.x - icx for icx in cx]
 
    dy = [state.y - icy for icy in cy]
 
 
 
    d = [idx ** 2 + idy ** 2 for (idx, idy) in zip(dx, dy)]
 
 
 
    mind = min(d)
 
 
 
    ind = d.index(mind)
 
 
 
    mind = math.sqrt(mind)
 
 
 
    dxl = cx[ind] - state.x
 
    dyl = cy[ind] - state.y
 
 
 
    angle = pi_2_pi(cyaw[ind] - math.atan2(dyl, dxl))
 
    if angle < 0:
 
        mind *= -1
 
 
 
    return ind, mind

设置起点参数：

# 设置起点的参数
 
T = 500.0  # max simulation time
 
goal_dis = 0.3
 
stop_speed = 0.05
 
 
 
state = State(x=-0.0, y=-0.0, yaw=0.0, v=0.0)
 
 
 
time = 0.0
 
x = [state.x]
 
y = [state.y]
 
yaw = [state.yaw]
 
v = [state.v]
 
t = [0.0]
 
 
 
pe, pth_e = 0.0, 0.0

使用LQR算法计算轨迹跟踪需要的加速度与前轮转角：

# 配置LQR 的参数
 
# === Parameters =====
 
 
 
# LQR parameter
 
lqr_Q = np.eye(5)
 
lqr_R = np.eye(2)
 
dt = 0.1  # time tick[s]，采样时间
 
L = 0.5  # Wheel base of the vehicle [m]，车辆轴距
 
max_steer = np.deg2rad(45.0)  # maximum steering angle[rad]
 
 
 
show_animation = True
 
 
 
while T >= time:
 
    ind, e = calc_nearest_index(state, cx, cy, cyaw)
 
 
 
    sp = speed_profile
 
    tv = sp[ind]
 
 
 
    k = ck[ind]
 
    v_state = state.v
 
    th_e = pi_2_pi(state.yaw - cyaw[ind])
 
 
 
    # 构建LQR表达式，X(k+1) = A * X(k) + B * u(k), 使用Riccati equation 求解LQR问题
 
#    dt表示采样周期，v表示当前自车的速度
 
#    A = [1.0, dt, 0.0, 0.0, 0.0
 
#          0.0, 0.0, v, 0.0, 0.0]
 
#          0.0, 0.0, 1.0, dt, 0.0]
 
#          0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]
 
#          0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]
 
    A = np.zeros((5, 5))
 
    A[0, 0] = 1.0
 
    A[0, 1] = dt
 
    A[1, 2] = v_state
 
    A[2, 2] = 1.0
 
    A[2, 3] = dt
 
    A[4, 4] = 1.0
 
 
 
    # 构建B矩阵，L是自车的轴距
 
    # B = [0.0, 0.0
 
    #    0.0, 0.0
 
    #    0.0, 0.0
 
    #    v/L, 0.0
 
    #    0.0, dt]
 
    B = np.zeros((5, 2))
 
    B[3, 0] = v_state / L
 
    B[4, 1] = dt
 
 
 
    K, _, _ = dlqr(A, B, lqr_Q, lqr_R)
 
 
 
    # state vector，构建状态矩阵
 
    # x = [e, dot_e, th_e, dot_th_e, delta_v]
 
    # e: lateral distance to the path， e是自车到轨迹的距离
 
    # dot_e: derivative of e， dot_e是自车到轨迹的距离的变化率
 
    # th_e: angle difference to the path， th_e是自车与期望轨迹的角度偏差
 
    # dot_th_e: derivative of th_e， dot_th_e是自车与期望轨迹的角度偏差的变化率
 
    # delta_v: difference between current speed and target speed，delta_v是当前车速与期望车速的偏差
 
    X = np.zeros((5, 1))
 
    X[0, 0] = e
 
    X[1, 0] = (e - pe) / dt
 
    X[2, 0] = th_e
 
    X[3, 0] = (th_e - pth_e) / dt
 
    X[4, 0] = v_state - tv
 
 
 
    # input vector，构建输入矩阵u
 
    # u = [delta, accel]
 
    # delta: steering angle，前轮转角
 
    # accel: acceleration，自车加速度
 
    ustar = -K @ X
 
 
 
    # calc steering input
 
    ff = math.atan2(L * k, 1)  # feedforward steering angle
 
    fb = pi_2_pi(ustar[0, 0])  # feedback steering angle
 
    delta = ff + fb
 
 
 
    # calc accel input
 
    accel = ustar[1, 0]
 
 
 
    dl, target_ind, pe, pth_e, ai = delta, ind, e, th_e, accel
 
 
 
    state = update(state, ai, dl)
 
 
 
    if abs(state.v) <= stop_speed:
 
        target_ind += 1
 
 
 
    time = time + dt
 
 
 
    # check goal
 
    dx = state.x - goal[0]
 
    dy = state.y - goal[1]
 
    if math.hypot(dx, dy) <= goal_dis:
 
        print("Goal")
 
        break
 
 
 
    x.append(state.x)
 
    y.append(state.y)
 
    yaw.append(state.yaw)
 
    v.append(state.v)
 
    t.append(time)
 
 
 
    if target_ind % 100 == 0 and show_animation:
 
        plt.cla()
 
        # for stopping simulation with the esc key.
 
        plt.gcf().canvas.mpl_connect('key_release_event',
 
                lambda event: [exit(0) if event.key == 'escape' else None])
 
        plt.plot(cx, cy, "-r", label="course")
 
        plt.plot(x, y, "ob", label="trajectory")
 
        plt.plot(cx[target_ind], cy[target_ind], "xg", label="target")
 
        plt.axis("equal")
 
        plt.grid(True)
 
        plt.title("speed[km/h]:" + str(round(state.v * 3.6, 2))
 
                  + ",target index:" + str(target_ind) + ", time si: " + str(time))
 
        plt.pause(0.1)

结果可视化：

if show_animation:  # pragma: no cover
 
        plt.close()
 
        plt.subplots(1)
 
        plt.plot(ax, ay, "xb", label="waypoints")
 
        plt.plot(cx, cy, "-r", label="target course")
 
        plt.plot(x, y, "-g", label="tracking")
 
        plt.grid(True)
 
        plt.axis("equal")
 
        plt.xlabel("x[m]")
 
        plt.ylabel("y[m]")
 
        plt.legend()
 
 
 
        plt.subplots(1)
 
        plt.plot(s, [np.rad2deg(iyaw) for iyaw in cyaw], "-r", label="yaw")
 
        plt.grid(True)
 
        plt.legend()
 
        plt.xlabel("line length[m]")
 
        plt.ylabel("yaw angle[deg]")
 
 
 
        plt.subplots(1)
 
        plt.plot(s, ck, "-r", label="curvature")
 
        plt.grid(True)
 
        plt.legend()
 
        plt.xlabel("line length[m]")
 
        plt.ylabel("curvature [1/m]")
 
 
 
        plt.show()

轨迹跟踪结果：

 三、结果分析

LQR算法一般用在NOP、TJA、LCC这些功能的横向控制，几种典型工况的轨迹跟踪效果如下：

1、正常变道工况 

2、转弯工况

 3、轴距对控制效果的影响

L = 0.5

 L = 2.5