【高等数学基础进阶】二重积分

二重积分的概念与性质

定义：
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta {\sigma }_i$$

几何意义

二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ

$$\begin{aligned} \iint\limits_{D}f(x,y)d \sigma\end{aligned}$$ D∬​f(x,y)dσ​是一个数，当$f(x,y)\ge 0$时，其值等于以区域$D$为底，以曲面$z=f(x,y)$为曲顶的曲顶柱体的体积；当$f(x,y)\le 0$时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述圆顶柱体的体积

性质

性质1（不等式）：

1. 在$D$上若$f(x,y)\le g(x,y)$，则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma$$
2. 若在$D$上有$m\le f(x,y)\le M$，则
   $$mS\le \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le MS$$
3. $$\left|\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \right|\le \underset{D}{\iint }\left|f(x,y)\right|d\sigma$$

性质2（中值定理）：设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$S$为区域$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot S$$

二重积分计算

利用直角坐标计算

先$y$后$x$
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\varphi }_2(x)}^{{\varphi }_1(x)}f(x,y)dy$$

先$x$后$y$
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_2(y)}^{{\psi }_1(y)}f(x,y)dx$$

利用极坐标计算

先$\rho$后$\theta$
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\varphi }_1(\theta )}^{{\varphi }_2(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho$$
常用于相同$\theta$对应的不同$\rho$

适合用极坐标计算的二重积分的特征

1. 适合用极坐标计算的被积函数
   $$f(\sqrt{x^2+y^2}),f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})$$
2. 适合用极坐标的积分域
   $$\begin{array}{rl}{x}^2& +y^2\le R^2\\ r^2\le x^2& +y^2\le R^2\\ x^2& +y^2\le 2ax\\ x^2& +y^2\le 2by\end{array}$$
   如果圆心既不在坐标原点也不在坐标轴，考虑平移+极坐标，即
   $$令x-x_0=\rho \sin \theta ,y-y_0=\rho \sin \theta$$
   则有
   $${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R()\rho d\rho$$

利用对称性和奇偶性计算

若积分域$D$关于$y$轴对称，则
∬ D f ( x , y ) d σ = { 2 ∬ D x ≥ 0 f ( x , y ) d σ f ( − x , y ) = f ( x , y ) 0 f ( − x , y ) = − f ( x , y ) \iint\limits_{D}f(x,y)d \sigma=\left\{

$$\begin{aligned}&2\iint\limits_{D_{x \geq 0}}f(x,y)d \sigma& f(-x,y)=f(x,y)\\&0&f(-x,y)=-f(x,y)\end{aligned}$$ \right. D∬​f(x,y)dσ=⎩ ⎨ ⎧​​2Dx≥0​∬​f(x,y)dσ0​f(−x,y)=f(x,y)f(−x,y)=−f(x,y)​

若积分域$D$关于$x$轴对称，则
∬ D f ( x , y ) d σ = { 2 ∬ D y ≥ 0 f ( x , y ) d σ f ( x , − y ) = f ( x , y ) 0 f ( x , − y ) = − f ( x , y ) \iint\limits_{D}f(x,y)d \sigma=\left\{

$$\begin{aligned}&2\iint\limits_{D_{y \geq 0}}f(x,y)d \sigma&f(x,-y)=f(x,y)\\&0&f(x,-y)=-f(x,y)\end{aligned}$$ \right. D∬​f(x,y)dσ=⎩ ⎨ ⎧​​2Dy≥0​∬​f(x,y)dσ0​f(x,−y)=f(x,y)f(x,−y)=−f(x,y)​

利用变量对称性计算

若$D$关于$y=x$对称，则
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D}{\iint }f(y,x)d\sigma$$

常考题型方法与技巧

累次积分交换次序及计算

例1：交换累次积分 ∫ 0 1 d x ∫ x 2 2 − x f ( x , y ) d y

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1}dx \int_{x^{2}}^{2-x}f(x,y)dy\end{aligned}$$ ∫01​dx∫x22−x​f(x,y)dy​的次序

$$原式={\int }_0^{1}dy{\int }_0^{\sqrt{y}}f(x,y)dx+{\int }_1^{2}dy{\int }_0^{2-y}f(x,y)dx$$

例2：累次积分 ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 cos ⁡ θ f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d \theta \int_{0}^{\cos \theta }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d \rho\end{aligned}$$ ∫02π​​dθ∫0cosθ​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ​化为直角坐标

ρ = cos ⁡ θ ⇒ ρ 2 = ρ cos ⁡ θ ⇒ x 2 + y 2 = x ρ = 0 θ ∈ ( 0 , π 2 )

$$\begin{aligned} \rho&=\cos \theta \Rightarrow \rho^{2}=\rho \cos \theta \Rightarrow x^{2}+y^{2}=x\\ \rho&=0\\ \theta &\in (0, \frac{\pi}{2}) \end{aligned}$$ ρρθ​=cosθ⇒ρ2=ρcosθ⇒x2+y2=x=0<