MATLAB基础语法总结_matlab 基本语法

目录

主体参照：全网最全MATLAB学习归纳总结(建模学习必备) 、 MATLAB讲解PPT和MATLAB官方帮助文档这里对该教程做一定的完善与汇总

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1. MATLAB编辑器常用快捷键

1.1 编辑器窗口操作

1.2 代码调试常用快捷键

1.3 命令窗口

1.4 切换窗口

2. MATLAB常用命令

2.1 管理会话的命令

2.2 系统命令

3. MATLAB数据类型

1. [ ] 矩阵

2. { } 集合

3. struct( ) 结构体

4. ’ ’ 字符数组

5. " " 字符串

4. MATLAB运算符

4.1 算数运算符

**注意：*、/、^ 等等，分为 数组乘法 和 矩阵乘法，数组乘法为 点乘 **

4.2 数据操作运算符

4.3 数学运算函数

4.4 关系运算符 / 逻辑运算符part1

使用方法示例：

a = [1 2 3 ; 4 5 6];
b = [3 8 0 ; 1 5 2];
a >= b;     % 0 0 1 ; 1 1 1

a = [1 2 3 ; 4 5 6];
b = [1 8 3 ; 1 5 2];
a & b;      % 1 0 1 ; 0 1 0
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4.5 逻辑运算符part2

4.6 集合操作符

4.7 状态检测操作符

4.8 数据转换运算符

cast(-1,'uint8')       % 向上兼容，转化为0，
typecast(-1,'uint8')   % 65535
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5. MATLAB变量

5.1 变量命名

以下内容摘选字C语言变量标识符规则；

1. 变量名由字母、数字、下划线组成，并且首字母不能是数字。
2. 不能把关键字作为变量名，例如：if、for、while等。
3. 变量名最长63字符。
4. 变量名严格区分大小写。
5. 变量名应做到"见名知意"，例如，长度（外语：length），求和、总计（外语：sum），圆周率（外语：pi）

5.2 变量定义

用一个简单的方法指定变量，如：

x = 3
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注意事项：

• 在使用变量之前，必须进行赋值。
• 当系统接收到一个变量之后，这个变量可以被引用。
• 当表达式返回一个结果，不分配给任何变量，系统分配给一个变量命名ans，以后可以继续使用。

5.3 变量的关键字操作

应用举例：

a = 5;
b = 4;
c = 3;

save myfile;
% 保存a、b、c变量至 myfile.mat 文件中；

load myfile;
% 将保存在 myfile.mat 中的a、b、c变量加载至工作区；

who;
% 显示已使用变量名，输出：a b c

whos;
% 显示已使用变量名及变量类型、变量大小、变量所占空间，输出：

%  Name      Size            Bytes  Class     Attributes

%   a         1x1                 8            double              
%   b         1x1                 8            double              
%   c         1x1                 8            double    

clear;
% 删除内存中所有变量；
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5.4 特殊变量和常量

MATLAB支持以下特殊变量和常量：

6. MATLAB输入输出

MATLAB提供了以下输入和输出相关的命令：

以下详细展示各种输入输出语法

a=1:10;

disp(a);
% 输出：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

% fprintf(fid, format, variables)；
% fid为写入数据的文件，若缺省，则输出到屏幕
% format用来指定数据输出时采用的格式
% variables是用来存放数据的矩阵
fprintf(' %d ',a);
% 输出： 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

% ;作用为静止命令行输出，如
a;    % 无输出
a     % 输出a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

% x = input(prompt);   
% 显示prompt中的文本(注意文本必须使用单引号)并等待用户输入值(数字、矩阵或变量)后按 Enter 键，数据将存储在 x 中
% str = input(prompt,'s');
% 显示prompt中的文本(注意文本必须使用单引号)并等待用户输入值，输入值将作为文本储存在 str 中
prompt = 'What is the original value? ';
x = input(prompt)
% What is the original value?   之后输入需要输入的命令行内容存储在 x 中

% fscanf用于读取数据文件（.txt）中的数据，从保存的.txt文件中的第一个数据开始往下读
fid=fopen('文件路径');
A=fscanf(fid,format,size);
[A,count] = fscanf(fid,format,size);
% A为存放读取的数据，一般为矩阵
% count为成功读取元素的个数
% format为读取的数据格式，如%d为十进制的读取格式
% size为A的数据格式，有如下三种：  
% inf  一直读到最后结束; N  读N个元素放入列向量; [M,N]  按列顺序读取至少一个M×N矩阵的M*N元素。N可以是inf，但M不能。
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fscanf和fprintf命令的行为像C scanf和printf函数。他们支持格式如下代码：

7. MATLAB数据格式

4.678 * 4.9  % 22.9222

format long
4.678 * 4.9  % 22.922200000000000

format long e
4.678 * 4.9  % 2.292220000000000e+01

format short e
4.678 * 4.9  % 2.2922e+01

format bank
4.678 * 4.9  % 22.92

format rat  
4.678 * 4.9  % 2063/90  

format compact
% 默认情况，两个输出直接有一个空行，使用此命令取消空行

format + 
4.678 * 4.9  % + 
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8. MATLAB向量

8.1 创建向量

8.1.1 直接定义向量

% 创建行向量
r = [7 8 9 10 11]; 
r = [7,8,9,10,11];
% 创建列向量
r = [7;8;9;10;11];
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8.1.2 向量组合

使用 , 或 ; 进行向量组合
水平串联，两个矩阵是使用逗号 “,” 分隔开的；
垂直串联：两个矩阵是使用分号 “;” 分隔开的；

r1 = [2;3;4;5;6]; 
r2 = [7;8;9;10;11];
r3 = [r1;r2];  % 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11
r4 = [r1,r2];  % 2,7;3,8;4,9;5,10;6,11
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使用 cat() 进行向量组合

% r = cat(dim, r1, r2 ...)   
% r1, r2, … 是要连接的阵列，dim 是一起串联阵列的维度；一般用于升维度，向量升矩阵，矩阵升三维数组
r = cat(2, r1, r2);     % 2,7;3,8;4,9;5,10;6,11 
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PS：若想将向量整体向前移 / 向后移，直接使用向量组合即可

r = [1 2 3 4];
% 向量向后移动，前面补一个0
r = [0 r];
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8.1.3 使用 : 生成向量

% 使用 : 生成向量
% [首位元素 : 元素间隔 : 末尾元素]
r = [1 : 20];     % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
r = [1: 2: 20];   % 1   3   5   7   9   11   13   15   17   19
r = [10: -1: 0];  % 10  9   8   7   6   5   4   3   2   1   0

% 注意新版本不需要[]，直接使用: 即可
r = 1 : 20;     % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
r = 1: 2: 20;   % 1   3   5   7   9   11   13   15   17   19
r = 10: -1: 0;  % 10  9   8   7   6   5   4   3   2   1   0
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8.1.4 使用函数生成向量

% 使用linspace生成向量
% linspace(x1,xn,N); 在x1和xn之间生成等差数列，N为元素个数，缺省值为100
% 函数返回结果为：x1, x2, …… ,xn, 
r = linspace(1,10,10);  % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r = linspace(1,10);     % 1.00  1.09  1.18  1.27  1.36  1.45 …… 9.63  9.72  9.81  9.90  10

% 使用logspace生成向量
% logspace(x1,xn,N); 在x1和xn之间生成等差数列，N为元素个数，缺省值为50
% 函数返回结果为：10^x1, 10^x2, …… ,10^xn, 
r = logspace(1,4,4);  % 10^1 10^2 10^3 10^4
% logspace(x1,pi,N);  在 10^x1 和 pi 之间生成 n 个点
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8.2 引用向量元素

% 创建行向量
r = [7 8 9 10 11]; 

r(3);      % 9
r(:);      % 7;8;9;10;11
r(2:4);    % 8 9 10
r([1 3 5]) % 7 9 11
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8.3 向量四则运算

% 数字 * 向量
r = [7 8 9 10 11]; 
m = 5 * v  % 35 40 45 50 55

% 向量 加减
A = [7, 11, 15, 23, 9];
B = [2, 5, 13, 16, 20];
C = A + B;  % 9   16   28   39   29
D = A - B;  % 5    6    2    7  -11

% 向量 乘除
r1 = [7 8 9]; 
r2 = [1 2 3];
% 向量点乘
r3 = r1.*r2;       % 7 16 27
% 向量点积
r4 = dot(r1,r2);   % 50
% 向量乘法
r2=r2';            % r1向量不变，r2向量转置
r5 = r1*r2         % 50

r1=r1';            % r1向量转置，r2向量不变
r6 = r1*r2         % 7,14,21;8,16,24;9,18,27
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8.4 向量变换

包含向量转置及向量的模

% 向量转置
r = [7 8 9 10 11]; 
v=r';   % 7;8;9;10;11

% 向量的模
% |r| = √(r1^2 + r2^2 + r3^2 + … + rn^2)
r = [1: 2: 20];  % 1     3     5     7     9    11    13    15    17    19
sv = v.* v;      % 1     9    25    49    81   121   169   225   289   361
dp = sum(sv);    %  1330
mag = sqrt(dp);  %  36.469165057620941
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9. MATLAB矩阵

9.1 创建矩阵

9.1.1 直接定义矩阵

% 矩阵的同行元素之间用空格（或 “,”）隔开；
% 矩阵的行与行之间用 “;”（或回车符）隔开；
m = [1,2,3; 4 5 6 
     7 8,9];   % 创建矩阵
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9.1.2 矩阵 组合

水平串联，两个矩阵是使用逗号 “,” 分隔开的；
垂直串联：两个矩阵是使用分号 “;” 分隔开的；

m = [1,2,3 4;5 6 7 8;9,10,11 12];   % 创建矩阵
% 矩阵组合
m = [-3 -2 -1 0;m];   % -3 -2 -1 0; 1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12
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9.1.3 使用函数生成矩阵

zeros(3)   % 0 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 0
zeros(4,3) % 0 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 0

ones(3)    % 1 1 1 ; 1 1 1 ; 1 1 1
ones(4,3)  % 1 1 1 ; 1 1 1 ; 1 1 1 ; 1 1 1

eye(3)     % 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1

rand(2,3)  % 0.8147 0.9134 0.2785 ; 0.9058 0.6324 0.5469

magic(3)   % 8 1 6 ; 3 5 7 ; 4 9 2

B=rand(size(A))       % 生成和矩阵A大小相等的随机矩阵，对其他函数也适用
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补充：不同rand()函数区别

% rand()函数，随机返回（0,1）之间的数
% randn()函数，随机返回（0,1）之间服从正态分布的数，即均值为0，方差为1
% randi(P,M,N)函数，随机返回 (0,P] 均匀分布的整数，M,N分别为行数和列数
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9.2 引用矩阵元素

m = [1,2,3 4;5 6 7 8;9,10,11 12];   % 创建矩阵

m(2, 4);          % 8
m(2, :);          % 5 6 7 8
m(2, 2:3);        % 6 7
m(:, 3);          % 3; 7; 11
m(:, 2:3);        % 2 3; 6 7; 10 11
m(2:3, 2:4);      % 6 7 8; 10 11 12
m([1,3], [2,4]);  % 2 4; 10 12
m(2:3, [2,4]);    % 6 8; 10 12
m(:, [2,3,2,3]);  % 2 3 2 3 ; 6 7 6 7 ; 10 11 10 11 （使用[]引用时，可以引用多次）

% 注意MATLAB中数据按列存储
m(5);         % 6 
m(9);         % 11 
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9.3 矩阵 行/列/元素 变换

包含：① 删除某行/列；② 矩阵组合；③ 矩阵元素修改

m = [1,2,3 4;5 6 7 8;9,10,11 12];   % 创建矩阵

% 删除整行或整列
m(3, :) = []    % 1 2 3 4; 5 6 7 8
m(:, 3) = []    % 1 2 4; 5 6 8; 9 10 12

% 矩阵 组合
m = [-3 -2 -1 0;m];   % -3 -2 -1 0; 1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12

% 矩阵元素修改
m(2,2) = 20;            % 仅修改单个元素  % 1,2,3,4; 5,20,7,8; 9,10,11,12 
m(:,2) = [20;22;24];    % 修改某列元素    % 1,20,3,4; 5,22,7,8; 9,24,11,12
m([1,3], [2,4]) = [10 20 ; 30 40];   % 修改多个元素    % 1,10,3,20; 5,6,7,8; 9,30,11,40
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9.4 矩阵四则运算

%% 矩阵 与 标量 四则运算
a = [ 10 12 23 ; 14 8 6; 27 8 9];
b = 2;
c = a + b;  % 12 14 25 ; 16 10 8 ; 29 10 11
d = a - b;  % 8 10 21 ; 12 6 4 ; 25 6 7
d1 = b - a; % -8 -10 -21 ; -12 -6 -4 ; -25 -6 -7
e = a * b;  % 20 24 46 ; 28 16 12 ; 54 16 18
f = a / b;  % 5 6 11.5 ; 7 4 3 ; 13.5 4 4.5
f1 = b / a; % ERROR 报错


%% 矩阵运算
% 矩阵 加减
a = [ 1 2 3 ; 6 5 4; 5 9 1];
b = [ 7 5 6 ; 2 0 8; 5 7 1];
c = a + b  % 8 7 9; 8 5 12; 10 16 2
d = a - b  % -6 -3 -3; 4 5 -4; 0 2 0

% 矩阵乘除
% 注意区分矩阵的 左除\ 和 右除/
c = a * b ;                 % 26 26 25; 72 58 80; 58 32 103
d = a / b = a * inv(b) ;    % -0.5254,0.6864,0.6610; 0.7627,-0.0932,0.1695; -0.6441,0.3898,1.7458
e = a \ b = inv(a) * a ;    % -2.4048,-2.4286,0.0833; 1.6667,2.0000,-0.1667; 2.0238,1.1429,2.0833

% 矩阵点积 （拆分为每个列向量分别进行点积）
f = dot(a,b);   %  44 73 51  （1*7+6*2+5*5  2*5+0+9*7  3*6+4*8+1）

%% 数组运算
a = [ 1 2 3 ; 6 5 4; 5 9 1];
b = [ 7 5 6 ; 2 0 8; 5 7 1];
c = a .* b ;    % 7 10 18 ; 12 5 32 ; 25 63 1
d = a ./ b ;    % 0.1429 0.4 0.5 ; 3 inf 0.5 ; 1 1.2857 1
e = a .\ b ;    % 7 2.5 2 ; 0.3333 0 2 ; 1 0.7778 1
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9.5 矩阵变换

1） 矩阵的转置 / 矩阵的逆 / 矩阵的行列式 等；
2） 矩阵的矢 / 矩阵的特征值 / 矩阵的范数
3） 矩阵分解

%% 
% 矩阵的转置
a = [ 10 12 23; 14 8 6; 27 8 9];
a';  %10  14  27 ; 12  8  8 ; 23  6  9

% 矩阵复共轭转置
z=[1+i 3-2i ; 2+2i 4-i];
z';               % 复共轭转置 [1-i 2-2i ; 3+2i 4+i]
z.';              % 普通转置   [1+i 2+2i ; 3-2i 4-i]
conj(z);          % z的共轭    [1-i 3+2i ; 2-2i 4+i]
transpose(z);     % 普通转置   [1+i 2+2i ; 3-2i 4-i]  

% 矩阵的行列式
a = [1 2 3; 2 3 4; 1 2 5]; 
det(a);  % -2

% 矩阵的逆矩阵
a = [1 2 3; 2 3 4; 1 2 5]; 
inv(a)=a^-1;  % -3.5 2 0.5 ; 3 -1 -1 ; -0.5 0 0.5

%% 
% 矩阵的秩
a = [1 2 3; 2 3 4; 1 2 5]; 
rank(a);    % 求矩阵的矢，矩阵a矢为 3
a = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];
rank(a);    % 求矩阵的矢，矩阵a矢为 2

% 矩阵特征值及特征向量
A = [1 2 3; 2 3 4; 1 2 5];
eig(A);         % 返回 A 的特征值 （3*3矩阵有3个特征值，返回一列向量）
[V,D] = eig(A)  % D为矩阵A特征值，V为矩阵A右特征向量

% 矩阵的范数
A = [1 2 3; 2 3 4; 1 2 5]; 
norm(A,1);      % 向量/矩阵A的第一范数
norm(A,2);      % 向量/矩阵A的第二范数
norm(A,inf);    % 向量/矩阵A的无穷大范数
norm(A,'fro');  % 矩阵A的Frobenius范数

%% 矩阵的分解
A = [1 2 3; 2 13 18; 3 18 50];
R = chol(A);    % Cholesky分解, A=R'*R, A必须是正定矩阵(正特征值的对称矩阵)；  R = 1 2 3 ; 0 3 4 ; 0 0 5 

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0];
[L,U]=lu(A);    % LU分解，A = L*U, U为上三角矩阵, L为下三角矩阵

A = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];
[Q,R]=qr(A);    % QR分解，Q*Q'=I, R为上三角矩阵
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9.6 数组变换函数

常用函数举例：

% find()函数 
% 查找非零元素的索引
x=[1 2 3 0 0 6 7 8 9];
find(x);  % 1 2 3 6 7 8 9
find(x>2) % 3 6 7 8 9
find(x<5) % 1 2 3 4 5
 
x=[1 2 3;0 0 6;7 8 9];
find(x);  % 1 3 4 6 7 8 9 (矩阵按列存储)
[r,c]=find(x);    % 1 1 ; 3 1 ; 1 2 ; 3 2 ; 1 3 ; 2 3  (第1行第1个数据, 第3行第1个数据……) 
[r,c,v]=find(x);  % 1 1 1 ; 3 1 7 ; 1 2 2; ……  (第1行第1个数据，值为1, 第3行第1个数据，值为7……)

% 特殊用法
% find函数可以用来选择函数元素
% 选择偶数变量元素
A = [5, 6, 7];
temp = find(~mod(A,2));    % ~mod(A,2)  0 1 0 ;  temp 2
A = A(temp);   % 6
% 选择非NaN变量元素
A = [5, 5, NaN];
temp = find(~isnan(A));    % ~isnan(A)  1 1 0 ;  temp 1 2
A = A(temp);   % 5 5

% length()函数 
% 最大数组维度长度
x=[1 2 3 0 0 6 7 8 9];
length(x);  % 9
x=[1 2 3 0 ; 6 7 8 9];
length(x);  % 4
% 注：length()=max(size())

% max()函数 
% 按列返回最大元素
a = [1 2 3 4 5 6];  
max(a);  % 6
a = [1 2 3 ; 4 5 6];
max(a);  % 4 5 6 ;(按列求最大值)
a = [1 4 9];
b = [2 5 7];
max(a, b);  % 2 5 9
m = [1 2 3 ; 4 5 6];
[a,b] = max(m);  % a = 4 5 6 ; b = 2 2 2; （a为元素最大值，b为最大值所处位置）

% reshape(a,m,n)函数 
% 按列读取原数据a，并排成新的m行n列数据
a = [1 4 7 10 ; 2 5 8 11 ; 3 6 9 12];
a = reshape(a, 2, 6);  % 1 3 5 7 9 11 ; 2 4 6 8 10 12

% size()函数
% 计算数组维度大小
a = [1 4 7 10 ; 2 5 8 11 ; 3 6 9 12];
size(a);              % 3 4
[m, n] = size(a);     % m=3;n=4
size(a, 1);           % 3
size(a, 2);           % 4
B=rand(size(A))       % 生成和矩阵A大小相等的随机矩阵

% sum()函数
% 数组每列相加
a = [1 4 7 10 ; 2 5 8 11 ; 3 6 9 12];
sum(a);              % 6  15  24  33
sum(a, 1);           % 6  15  24  33
sum(a, 2);           % 22 ; 26 ; 30

% prod()函数
% 数组每列相乘
a = [1 4 7 10 ; 2 5 8 11 ; 3 6 9 12];
prod(a);             % 6  120  504  1320
prod(a, 1);          % 6  120  504  1320
prod(a, 2);          % 280 ; 880 ; 1944

% mean()均值函数
% 按列返回均值
a = [1 4 7 10 ; 2 5 8 11 ; 3 6 9 12];
mean(a);             % 2  5  8  11
mean(a, 1);          % 2  5  8  11
mean(a, 2);          % 5.5 ; 6.5 ; 7.5

% std()函数，var()函数
% 按列返回标准差，按列返回方差，
a = [1 4 7 10 ; 2 5 8 11 ; 3 6 9 12];
std(a);       % 1  1  1  1
var(a);       % 1  1  1  1
% 注意，函数第二个系数是权重因子，默认为0
std(a,0,2)    % 3.873 ; 3.873 ; 3.873 
var(a,0,2)    % 15 ; 15 ; 15 

% sort()函数
% Y=sort(X,DIM,MODE), DIM表示对哪一个维数进行排列；MODE表示按哪一种模式进行排序，MODE=‘ASCEND’升序，MODE=‘DESCEND’降序
a = [1 5 25 10 ; 2 7 18 11 ; 1 6 9 3];
sort(a);      % 1 5 9 3 ; 1 6 18 10 ; 2 7 25 11
sort(a,2);    % 1 5 10 25 ; 2 7 11 18 ; 1 3 6 9
sort(a,1,'DESCEND');  % 2 7 25 11 ; 1 6 18 10 ; 1 5 9 3

% numel()函数
% 计算矩阵所含元素个数
a = [1 5 25 10 ; 2 7 18 11 ; 1 6 9 3];
numel(a);      % 12

% diag()函数
% diag()函数表示生成对角矩阵，后面1(-1)代表对角矩阵向→移/向↓移
diag([1 2 3 4])     % 1 0 0 0; 0 2 0 0; 0 0 3 0; 0 0 0 4
diag([1 2 3],1)     % 0 1 0 0; 0 0 2 0; 0 0 0 3; 0 0 0 0  (1表示向→移动)
diag([1 2 3],-1)    % 0 0 0 0; 1 0 0 0; 0 2 0 0; 0 0 3 0  (-1表示向↓移动)

% repmat()函数
% 复制和平铺数组
a = repmat([1,2;3,4],2,3);  % 1 2 1 2 1 2 ; 3 4 3 4 3 4 ; 1 2 1 2 1 2 ; 3 4 3 4 3 4

% flipud()函数
% 从上到下翻转矩阵
a = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];
flipud(a);     % 7 8 9 ; 4 5 6 ; 1 2 3

% fliplr()函数
% 从左到右翻转矩阵
a = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];
fliplr(a);     % 3 2 1 ; 6 5 4 ; 9 8 7

% rot90()函数
% 旋转矩阵90度
a = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];
rot90(a);      % 3 6 9 ; 2 5 8 ; 1 4 7

% ndims()函数   
% 返回数组维度，一位数组/二维数组……
a = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];
ndims(a);     % 2

% tril()函数（triu()函数同理）
% 提取矩阵主对角线及以下元素
a = [1 2 3 4; 4 5 6 7; 7 8 9 10; 10 11 12 13];
tril(a);    % 1 0 0 0 ; 4 5 0 0 ; 7 8 9 0 ; 10 11 12 13 (提取 主对角线 及 对角线以下 元素)
tril(a,1);  % 1 2 0 0 ; 4 5 6 0 ; 7 8 9 10 ; 10 11 12 13 (提取 主对角线上1行 及 对角线上1行以下 元素)，1根据实际需求确定
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10. 数组

10.1 多维数组

10.1.1 直接定义多维数组

a = [7 9 5; 6 1 9; 4 3 2];
a(:, :, 2)= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

% 输出结果为：
% a(:,:,1) = 7 9 5 ; 6 1 9 ; 4 3 2
% a(:,:,2) = 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9
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10.1.2 使用 cat() 函数来建立多维数组

% r = cat(dim, r1, r2 ...)   
% r1, r2, … 是要连接的阵列，dim 是一起串联阵列的维度；一般用于升维度，向量升矩阵，矩阵升三维数组
r1 = [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1];
r2 = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
r = cat(3, r1, r2, [2 3 1; 4 7 8; 3 9 0])

% 输出结果：
% c(:,:,1) = 9 8 7; 6 5 4; 3 2 1
% c(:,:,2) = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9
% c(:,:,3) = 2 3 1; 4 7 8; 3 9 0
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10.1.3 使用函数创建

使用 ones()， zeros() 或 rand() 函数建立多维数组

如：ones(3,3,2);

10.1.4 多维数组使用

多维数组经常转化为二维数组(矩阵)操作，如：

c(:,:,1) = 9 8 7; 6 5 4; 3 2 1
c(:,:,2) = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9
c(:,:,3) = 2 3 1; 4 7 8; 3 9 0

% 对于 c 这个三维数组，分别对c(:,:,1)，c(:,:,2)，c(:,:,3) 三个二维数组(矩阵)进行操作
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10.2 单元阵列(又叫：元胞数组、cell)

元胞数组是一种包含名为元胞的索引数据容器的数据类型，其中的每个元胞都可以包含任意类型的数据。

10.2.1 单元阵列的创建

% 预先分配空间
A=cell(2,3);                   % {} {} {}; {} {} {}

% 直接赋值
B={[1,2,3,4],'Chenglin Li'};   % {[1 2 3 4]}  {'Chenglin Li'}

% 使用函数创建 
% num2cell()  把数值数组转换为 cell 数组 
A = [1 2 3;4 5 6];    % 1 2 3 ; 4 5 6
B = num2cell(A);      % {[1]} {[2]} {[3]} ; {[4]} {[5]} {[6]}
% 补充：cell2mat()  把cell数组转换为 普通数组

% 单元阵列组合
A = {'列1','列2','列3'};
B = num2cell(rand(3,3));
C = [A ; B];   % C为 A和B 按照列进行组合
%   {'列1'}     {'列2'}     {'列3'} 
% {[0.8147]}  {[0.9134]}  {[0.2785]} 
% {[0.9058]}  {[0.6324]}  {[0.5469] 
% {[0.1270]}  {[0.0975]}  {[0.9575]}
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10.2.2 单元阵列元素修改

% 预先分配空间
A=cell(2,3);                   % {} {} {}; {} {} {}

% 单独赋值使用 {}
A{1}=[1,2,3,4];                % {[1 2 3 4]} {[]} {[]} ; {[]} {[]} {[]}
A{2,1}=[1,2,3,4];              % {[]} {[]} {[]} ; {[1 2 3 4]} {[]} {[]}

% 整体赋值使用()
A(1)={[1,2,3,4]};              % {[1 2 3 4]} {[]} {[]} ; {[]} {[]} {[]}
A(1,:)={[1,2,3,4],'Chenglin Li',[]};   % {[1,2,3,4]},{'Chenglin Li'},{[]} ; {[]} {[]} {[]}
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10.2.3 单元阵列使用

A=cell(2,3);                   % {} {} {}; {} {} {}
A(1,:)={[],[1,2,3,4],'Chenglin Li'}   % {[]},{[1,2,3,4]},{'Chenglin Li'}; {[]} {[]} {[]}

A(1,2) %  [1 2 3 4]  (是一个 1×4的double 矩阵)
A{1,2} %  1 2 3 4    (是 矩阵里面的值)
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11. 数据导入 / 导出

11.1 纯数字文件 导入 / 导出 .mat (.txt .csv) 文件

a = 5;
b = 1: 10 ;
c = [1: 5 ; 10 -3 0.2 77 7.1];
d = '测试测试测试';

save myfile;    % 保存a、b、c、d变量至 myfile.mat 文件中；
save('myfile.txt', 'c', '-ascii')   % 保存c变量至 myfile.txt 文件中；注意此方法只能保存纯数字文件

load myfile;    % 将保存在 myfile.mat 中的a、b、c变量加载至工作区；
load myfile.txt   % 将保存在 myfile.txt 中的数据载至工作区，数据名为: myfile;  注：此方法仅能导入纯数字文件
load myfile.csv   % 将保存在 myfile.csv 中的数据载至工作区，数据名为: myfile;  注：此方法仅能导入纯数字文件
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11.2.1 导入Excel文件

导入 [表格.xlsx](.\MATLAB 图片截屏\表格.xlsx) 文件，内容如下

% 1：readcell('filename')，以cell（元胞数组，注：访问cell元素用{ }）格式导入所有信息，空格被识别为missing
data = readcell('表格.xlsx');      
% [1x1 missing] ['横轴1'] ['横轴2'] ['横轴3'] 
% ['纵轴1'] [11] [12] [13]
% ['纵轴2'] [21] ['zero'] [23] 
% ['纵轴3'] [31] [32] [33]
strcmp(class(data{1,1}),'missing');     % 判断 [1,1] 单元格值是否为空，返回值逻辑1

% 2：[NUM,TXT,RAW]=xlsread('filename')，NUM返回的是数字数据，TXT返回的是文本内容，RAW返回的是所有数据(空格识别为NaN)
%    reference=xlsread('filename')，以数字数组格式导入除了文字以外的行，非数字的字符（包括空格）被识别为NaN
[NUM,TXT,RAW]=xlsread('表格.xlsx');
% NUM   11 12 13 ; 21 NaN 23 ; 31 32 33
% TXT   [] ['横轴1'] ['横轴2'] ['横轴3'] ; ['纵轴1'] [] [] [] ; ['纵轴2'] [] ['zero'] [] ; ['纵轴3'] [] [] []
% RAW   RAW内值与 之前使用readcell() 读取值相同，但是空格被识别为 NaN ，而不是 missing
reference=xlsread('表格.xlsx');
% reference   11 12 13 ; 21 NaN 23 ; 31 32 33

% 3：importdata('filename')  % 返回值为结构体，data保存数字信息，textdata保存文本信息
str=importdata('表格.xlsx'); % str为结构体，结构体内data值与使用xlsread() NUM相同，textdata值与使用xlsread() TXT相同
% 结构体成员使用方法：NUM = str.data; TXT = str.textdata；之后可分别对NUM和TXT进行操作；

% 4：使用 load('filename')   不推荐，一般用来读取 txt 或mat文件

% 5：使用 fscanf('filename') 不推荐，一般用来读取txt文件
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11.2.2 导出Excel文件

导出excel使用xlswrite()

% xlswrite('filename', 变量, sheet的编号, 写入位置) 
A = [1 2 3 ; 4 5 6];
xlswrite('data.xlsx',A,2,'B2')   % 将A变量，写入data.xlsx文件的 sheet2，从B2开始写入

B = {[],'横轴1','横轴2' ; '纵轴1',[1],[2] ; '纵轴2',[3],[4]};  
xlswrite('data.xlsx',B,2,'B2')   % 将B变量，写入data.xlsx文件的 sheet2，从B2开始写入
% 写入结果如图所示：
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写入结果如图所示：

11.3 导入导出.txt文件

%%%%%% 导入 %%%%%%
% 1. 纯数字文档导入，参考 11.1 纯数字文件 导入导出 .mat(.txt)文件

% 2. 同时含有数字 / 文字，使用importdata()函数，导入结果类似表格导入
% 定义 文本.txt ，内容为：
%{
第一行 第二行
第三行 第四行
1 2
3 4
%}
str=importdata('文本.txt')   
% str.data {['第一行']['第二行'];['第三行']['第四行']}， str.textdata {[1][2];[3][4]}

%%%%%% 导出 %%%%%%
% 1. 纯数字文档导出，参考 11.1 纯数字文件 导入导出 .mat(.txt .csv)文件

% 2. 使用fscanf('filename')、fprintf('filename')导入导出，以导出为例
% 例1
a=[17 24 1 8 15;23 5 7 14 16 ;4 6 13 20 22 ;10 12 19 21 3 ;11 18 25 2 9 ];
fid = fopen('文本.txt','w'); % 'w' 打开文件待写，'r' 打开文件待读，'a' 打开或者新建待写文件；把数据附加在文件尾部
fprintf(fid,'%d\n',a);  % a中每个元素，以%d(整数)形式保存，每个元素以\n(回车)分割
fclose(fid);   % 关闭保存
% 例2
x = 0:.1:1;
A = [x; exp(x)];
fid = fopen('文本.txt','w'); % 'w' 打开文件待写，'r' 打开文件待读，'a' 打开或者新建待写文件；把数据附加在文件尾部
fprintf(fid,'%6s %12s\n','x','exp(x)');   % 保存 x 和 exp(x) 字符，格式 %6s，(字符及前空格共占6半角)
fprintf(fid,'%6s,%12s\n','x','exp(x)');   % 保存 x 和 exp(x) 字符，格式 %6s，(字符及前空格共占6半角)，中间, 分割
% 矩阵按列保存数据
fprintf(fid,'%6.3f %12.4f\n',A);   % 保存矩阵A值，格式 %6.3f，(字符及前空格共占6半角，保留3位小数)
fprintf(fid,'%6.3f,%12.4f\t',A(:,1:5));   % 保存矩阵A(:,1:5)值，注意中间使用 \t(回车)分割
fprintf(fid,'%s\n',A(1,:));    % 保存矩阵A值，格式 %s
fclose(fid);   % 关闭保存
% 输出数据见文件

% 3. 使用dlmwrite导出，仅适用于纯数字文档
dlmwrite('data.txt', a, 'delimiter', '\t','precision', 6 , '-append', 'roffset',2,'coffset',2);
% 将a中数据导出至data.txt，分隔符为'\t'回车符，数字保持6位精度，append表示向后添加不覆盖，默认为直接覆盖；roffset表示向右偏移2单位，可以不使用，coffset同理；

% 4. 使用writetable导出
B = {[],'横轴1','横轴2' ; '纵轴1',[1],[2] ; '纵轴2',[3],[4]};  
tab = table(B);   % 将元胞数组转化为table表格
writetable(tab, 'data.txt');   % 将tab数据保存至data.txt中，数据直接以 , 进行分割
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[例2导出数据文件](.\MATLAB 图片截屏\文本.txt)

11.4 导入导出.csv文件

%%%%%% 导入 %%%%%%
% 1. 纯数字文档导入，参考 11.1 纯数字文件 导入导出 .mat(.txt .csv)文件

% 2. 纯数字导入csv文件
% csvread('filename', row, col, range)  % row，col 表示读取第row行以下、第col列以左的数据
% range[R1 C1 R2 C2]，R1=row，C1=col，表示读取第row行以下、第col列以左的数据，读取到第R2行，C2行结束；
% csv文件：1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ; 9 10 11 12 ; 13 14 15 16
data=csvread('数据.csv', 1, 1, [1 1 ; 2 2]);   % 6 7 ; 10 11

% 3. 纯数字文档，最简单导入方法，直接拖入工作区，即可加载数据

% 4. 同时含有数字 / 文字，使用importdata()函数，导入结果类似表格导入
str=importdata('数据.csv');   

%%%%%% 导出 %%%%%%
% 1. 纯数字写入csv文档
% csvwrite('filename',M,R,C);  % 写矩阵M到fielname表格中，从表格第R行，第C列写入
csvwrite('data.csv',data);

% 2. 使用dlmwrite导出
% 仅需把分隔符换位 , 即可，其余使用方法与导出txt文档方法相同，文档名 .txt 改为 .csv 即可，仅适用于纯数字文档

% 3. 使用writetable
% 因为.csv文档，本质为,分割文档，所以使用方法与导出txt文档完全相同，文档名 .txt 改为 .csv 即可
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11.5 读写文档相关函数（配合fprintf使用）

12. 二维绘图 参照绘图命令汇总

12.1 绘图基本步骤

MATLAB中绘图步骤如下：

1. 先定义变量 x，通过指定的变量 x 值的范围，该函数被绘制；
2. 然后定义函数， y = f(x)；
3. 最后调用 plot 命令，如 plot(x, y)。

x = [0:0.01:10];
y = sin(x);
plot(x, y)
1
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3

特殊运用举例：

% plot(y)    % 等效于plot(x, y)，y的维数是m，x = 1:m
% 若x,y 中一个为向量，另一个为矩阵，则矩阵按列或行分解成向量，再与原向量配对分别画出
x = [0:0.01:10];
y = [sin(x);cos(x)];
plot(x, y)
1
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5

生成图像如图：

12.1.1 图像处理命令

x = [0:0.01:10];
y = sin(x);
plot(x, y);

xlabel('x');                   % 显示沿x轴的标签
% xlabel('x','FontName','Times New Roman','FontSize',14)                % 字体，字号
ylabel('sin(x)');              % 显示沿y轴的标签
% ylabel('sin(x)','FontName','隶书','FontSize',14,'Rotation',0)          % 字体，字号，y横向显示
title('sin(x) 图像');           % 显示图表标题
% title('sin(x) 图像','FontName','宋体','FontSize',16,‘FontWeight’,’bold’)     % 字体，字号，加粗
% 字体设置：
% 'FontName','Times New Roman' 使用Times New Roman字体；   'FontSize',14 字体字号14；
% ‘FontWeight’,’bold’ 加粗；    ‘FontAngle’,’italic’ 斜体；

legend('sin(x)');              % 显示图像图例
% legend('sin(x),'Location','best')        % 图例显示在最佳位置

grid on;                       % 生成网格线
% gird off                     % 关闭网格线

axis auto normal;              % 区间自动调整
% axis([-0.5 10.5 -1.2 1.2])   % 设置轴刻度，axis( [xmin xmax ymin ymax] )
colordef white;                % 设置背景颜色，如：colordef white，colordef black，colordef none ……

% text(pi,0,'Zeros Point')     % text(x,y,‘string’) 在图形中指定位置显示字符串
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生成图像如图：

12.1.2 曲线处理命令

x = [0:0.1:10];
y = sin(x);
plot(x, y, 'cx--');   % c表示青色，--表示虚线，x表示 x 标记点
% plot(x, y, 'cx--','linewidth',1.5,'MarkerSize',10);   
% linewidth表示线宽，线宽1.5；
% MarkerSize表示标记点大小，标记点为10；
% MarkerEdgeColor表示标记点边框颜色
% MarkerFaceColor表示标记点内部区域填充颜色
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指令汇总：

生成图像如图：品红色虚线

12.2 绘制多幅图

12.2.1 同一张图上绘制多个函数

使用plot(X1,Y1,...,Xn,Yn)绘制

x = [-10 : 0.01: 10];
y = 3*x.^4 + 2 * x.^3 + 7 * x.^2 + 2 * x + 9;
g = 5 * x.^3 + 9 * x + 2;
plot(x, y, 'r-', x, g, 'g--')
legend('sin(x)','cox(x)')          % 显示图像图例
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生成图像如图：

12.2.2 生成子图

使用subplot(m,n,p)生成子图，把窗口分成m×n个小窗口，并把第p个窗口当作当前窗口；

x = [0:0.01:5];

y = exp(-1.5*x).*sin(10*x);
subplot(2,1,1)     % 子图共占2行，1列，显示第1个子图
plot(x,y)

y = exp(-3.5*x).*sin(10*x);
subplot(2,1,2)     % 子图共占2行，1列，显示第2个子图
plot(x,y)
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生成图像如图：

12.2.3 多重作图（已存在的图形中加新的图形）

多重作图使用hold on命令，在已存在的图形中加新的图形。

x = [-10 : 0.01: 10];
y = 3*x.^4 + 2 * x.^3 + 7 * x.^2 + 2 * x + 9;
g = 5 * x.^3 + 9 * x + 2;
plot(x, y, 'r-')
hold on
plot(x, g, 'g--')
legend('sin(x)','cox(x)')          % 显示图像图例
hold off
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生成图像如图：

12.2.4 同时绘制多幅图形

通过figure指令，创建多个图形串口。

x = [-10 : 0.01: 10];
y = 3*x.^4 + 2 * x.^3 + 7 * x.^2 + 2 * x + 9;
g = 5 * x.^3 + 9 * x + 2;
figure
plot(x, y, 'r-')
figure
plot(x, g, 'g--')
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生成图像如图（Figure1 Figure2）：

12.2.5 同一坐标轴系使用不同的y坐标

x=-2*pi: pi/10: 2*pi;
y=sin(x);
z=2*cos(x);
subplot(2,1,1) 
plot(x,y,x,z)

subplot(2,1,2)
plotyy(x,y,x,z)
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生成图像如图（上图正常曲线，下图为使用不同坐标曲线）：

12.3 其他图形曲线

12.3.1 条形图

x = [1:10];
y = [75, 58, 90, 87, 50, 85, 92, 75, 60, 95];
bar(x,y)             % 绘制二维条形图
% bar(x,y,0.5)       % 绘制二维条形图，线宽0.5

% barh(x,y)          % 绘制二维水平条形图
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生成图像如图：

12.3.2 直方图

% 用x所指定的块画直方图，x为一个向量
x=-2.9:0.2:2.9;      % 指定需用的条块
y=randn(5000,1);     % 产生5000个随机数据点
hist(y, x);          % 画直方图 
% 为y向量画n条块直方图，n为标量
n = 30
hist(y, n);          % 画直方图 
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生成图像如图：

12.3.3 对数曲线图

x = [1:0.1:30];
y1 = log(x);
y2 = exp(x);
y3 = x;

semilogx(x,y1)     % x轴为对数坐标
semilogy(x,y2)     % y轴为对数坐标
loglog(x,y3)       % x轴、y轴均为对数坐标
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生成图像如图（以semilogy(x,y2) 为例）：

12.3.4 极坐标图

使用polar(theta,rho) 生成极坐标图

% polar(theta,rho) 
theta = 0:.01:pi;
rho = sin(3*theta).*cos(2*theta);
polar(theta, rho, '-m')
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生成图像如图：

12.5 饼图

a=[.5  1  1.6  1.2  0.8  2.1];
pie(a,a==max(a));   %对a作饼图，并抽出最大的切片
1
2

生成图像如图：

12.6 其余图形汇总

12.4 使用fplot分析函数

12.4.1 基本绘图步骤

f = @(x) 2.*exp(-x).*sin(x)   % f = 2.*exp(-x).*sin(x)
fplot(f , [0  8]);   % 在区间 [0,8] 绘制函数
1
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12.4.2 使用函数进行数据分析

%  求最小值
f = @(x) 2.*exp(-x).*sin(x)   % f = 2.*exp(-x).*sin(x)
fplot(f , [0  8]);   % 在区间 [0,8] 绘制函数

xmin = fminbnd(f , 2 , 5)	    % 在[2,5]之间搜寻极小值， xmin = 3.9270
ymin = f(xmin)	        % 当xmin = 3.9270时，y = -2.7864e-02

xmin = fzero(f , 3)  	% 在 3 附近 搜寻零点， xmin = 3.9270
xmin = fzero(f , [2 4])  	% 在 [2 4]区间内 搜寻零点， xmin = 3.9270
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13. 三维绘图

13.1 三维曲线图

使用plot3(x, y, z)创建三维曲线图：

t=0: pi/50: 10*pi;
plot3(sin(t),cos(t),t)

title( ' Helix ' ), xlabel( ' sint(t) ' ), ylabel( ' cos(t) ' ), zlabel( ' t ' )
grid on
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生成图像如图：

plot3()支持同一张图上绘制多个函数，如：

x=linspace(0,3*pi);

z1=sin(x);
z2=sin(2*x)

y1=zeros(size(x));
y2=ones(size(x));
 
plot3(x,y1,z1, x,y2,z2);

title( ' sin(x),sin(2x) ' ), xlabel( ' x-axis ' ), ylabel( ' y-axis ' ), zlabel( ' z-axis ' )
grid on
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生成图像如图：

13.2 三维曲面图

若要创建曲面，则需要使用Meshgrid生成网格：

x=-3: 0.3 :3;   % 选择x轴的值
y=-3: 0.3: 3;    % 选择y轴的值

[X,Y] = meshgrid(x,y);
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矩阵X值为：

矩阵Y值为：

13.2.1 使用plot3()创建三维曲面图：

x=-3: 0.3: 3;    % 选择x轴的值
y=-3: 0.3: 3;    % 选择y轴的值

[X,Y] = meshgrid(x,y);

Z = 3*(1-X).^2.*exp(-(X.^2) - (Y+1).^2) - 10*(X/5 - X.^3 - Y.^5).*exp(-X.^2-Y.^2) - 1/3*exp(-(X+1).^2 - Y.^2) ;

plot3(X,Y,Z,'-o' ,X',Y',Z')    % 按列画出plot3(X,Y,Z,'-o')，按行画出plot3(X',Y',Z')

xlabel( ' x-axis ' ),ylabel( ' y-axis ') ,zlabel( ' z-axis ' )
grid on
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生成图像如图：

13.2.2 使用mesh()和surf()创建三维曲面图：

x=-3: 0.3: 3;    % 选择x轴的值
y=-3: 0.3: 3;    % 选择y轴的值

[X,Y] = meshgrid(x,y);

Z = 3*(1-X).^2.*exp(-(X.^2) - (Y+1).^2) - 10*(X/5 - X.^3 - Y.^5).*exp(-X.^2-Y.^2) - 1/3*exp(-(X+1).^2 - Y.^2) ;

figure
mesh(X,Y,Z)      % 绘制三维曲面图
figure
surf(X,Y,Z)      % 绘制三维曲面图

xlabel( ' x-axis ' ),ylabel( ' y-axis ') ,zlabel( ' z-axis ' )
grid on
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生成图像如图(mesh(X,Y,Z))：

生成图像如图(surf(X,Y,Z))：

13.2.3 使用contour()创建等值线图：

% 使用contour()创建等值线图：
x=-3: 0.3: 3;    % 选择x轴的值
y=-3: 0.3: 3;    % 选择y轴的值

[X,Y] = meshgrid(x,y);

Z = 3*(1-X).^2.*exp(-(X.^2) - (Y+1).^2) - 10*(X/5 - X.^3 - Y.^5).*exp(-X.^2-Y.^2) - 1/3*exp(-(X+1).^2 - Y.^2) ;

% contour(X',Y',Z')      % 绘制二维等值线图
contour(X',Y',Z',7)   % 7 指生成7条等值线，缺省时为根据图形自动设置

xlabel( ' x-axis ' ),ylabel( ' y-axis ') ,zlabel( ' z-axis ' )
grid on

% 在图片中添加向量梯度
[dx,dy] = gradient(Z);   % 计算微分梯度
hold on
quiver(x,y,dx,dy)        % 向等高线中添加梯度图
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contour(X,Y,Z)生成图像如图左，quiver(x,y,dx,dy)生成图像如图右，

13.2.4 曲面图常见命令及特殊曲面图

%% 生成图像
x=-3: 0.3: 3;    % 选择x轴的值
y=-3: 0.3: 3;    % 选择y轴的值

[X,Y] = meshgrid(x,y);

Z = 3*(1-X).^2.*exp(-(X.^2) - (Y+1).^2) - 10*(X/5 - X.^3 - Y.^5).*exp(-X.^2-Y.^2) - 1/3*exp(-(X+1).^2 - Y.^2) ;

%% 以下为mesh(X,Y,Z)命令
mesh(X,Y,Z)         % 绘制三维曲面图
hidden off          % 使白色网格透明，使用 hidden on 取消

meshc(X,Y,Z)        % 绘制三维曲面图+等值线
meshz(X,Y,Z)        % 绘制三维曲面图+高度

%% 以下为surf(X,Y,Z)命令
surf(X,Y,Z)         % 绘制三维曲面图

shading faceted     % 保留各块黑线，每一补片单一色彩
shading flat        % 去掉各块黑线，每一补片单一色彩
shading interp      % 去掉各块黑线，每一补片插值色彩

colormap parula     % 更改三维曲面图填充颜色，默认parula配色，其他配色如下（越往后配色越奇怪）
% 颜色有：parula、turbo、hsv、jet、hot、cool、spring、summer、autumn、winter、gray、bone、copper、pink等

surfc(X,Y,Z)        % 绘制三维曲面图+等值线
surfl(X,Y,Z)        % 绘制有亮度的三维曲面图
surfnorm(X,Y,Z)     % 绘制三维曲面图+曲面法线

%% 以下为contour(X,Y,Z)命令
contour(X,Y,Z)      % 绘制二维等值线图
contour3(X,Y,Z)     % 绘制三维等值线图

pcolor(X,Y,Z)       % 等效于surf(X,Y,Z)沿z轴垂直投影图
contourf(X,Y,Z)     % 绘制二维等值线图，相邻的等值线之间用同一颜色进行填充

clabel()            % 标记等高线，使用语法为：a=contour(X,Y,Z); clabel(a)

[DX,DY]=gradient(Z,0.2,0.2);   % 数值梯度,各方向步长
quiver(X,Y,DX,DY)              % 绘制等值线的速度梯度

%% 不规则绘图
% Griddata 产生经插值后的均匀间隔数据来作图
ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI);    % X，Y为插值前数据；XI，YI为插值后数据
% 生成丝带状三维图
ribbon(x,y,z);
% 绘制彗星图
comet3(x,y,z)
% 绘制三维离散数据序列
stem3(x,y,z)

%% 绘图命令
xlabel( ' x-axis ' ),ylabel( ' y-axis ') ,zlabel( ' z-axis ' )
grid on
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14. 语法结构

14.1 判断

14.1.1 if…elseif…else…end

使用方法类似C语言语法，详细使用方法可参照C语言语法讲解

a = 100;
if(a == 1)
	% 执行分支语句 
elseif(a == 20)
	% 执行分支语句 
elseif a == 30       % if后面的()可以不加
	% 执行分支语句 
else                 % 上述情况均不满足
	% 执行分支语句 
end                  % 注意 switch 需要以 end 进行结尾

% 注意：if语句可以嵌套
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14.1.2 switch…case…otherwise…end

使用方法类似C语言语法，详细使用方法可参照C语言语法讲解；
注意与C语言不同一点，matlab中 switch…case ，不需要break退出；

grade = 10;          % grade 可以是 数字 或者 字母、字符串
switch(grade)
case(2)
	% 执行分支语句 
case 4               % switch和case后面的()可以不加
	% 执行分支语句 
case (10) 
	% 执行分支语句 
case 17
	% 执行分支语句    
otherwise            % 上述情况均不满足
	% 执行分支语句 
end                  % 注意 switch 需要以 end 进行结尾
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14.2 循环

14.2.1 for…end 循环

for 循环的值有下述三种形式之一：

for循环其他使用方法类似C语言，详细使用方法可参照C语言语法讲解；

for a = 2:20 
	% 执行循环语句，重复执行19次
end

for(a = 10: -1: 0)         % for 后面可以加()
	% 执行循环语句，重复执行11次
end

% 注意：for语句可以嵌套
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14.2.2 while…end 循环

使用方法类似C语言语法，详细使用方法可参照C语言语法讲解；

while( bool )         % while 后面的()可以不加
	% 执行循环语句，直到while内bool表达式为假
end
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14.2.3 循环控制语言(break，continue)

break 和comtinue使用方法类似C语言语法，详细使用方法可参照C语言语法讲解；
break 语句用于终止 for 或 while 循环的执行，comtinue 语句用于跳过某次循环
二者常与 if 配合使用

a = 9;
while a < 19
  a=a+1;
  if a == 15
    % 跳过本次循环
    continue;
  end
  disp(a);
end
% 10 11 12 13 14   16 17 18 19 
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15. 函数

函数是一组语句一起执行任务。在MATLAB中，函数定义在单独的文件，文件函数的名称应该是相同的。

15.1 基础语法：

function [out1,out2, ..., outN] = myfun(in1,in2,in3, ..., inN)
% 函数的第一行要以 function 关键字开始，函数名称为myfun()
% 函数传入参数为 in1,in2,in3, ..., inN ，函数返回值为 out1,out2, ..., outN
end  % 表示函数结束

% 无返回值
% function myfun(in1,in2,in3, ..., inN)
% 单返回值
% function out = myfun(in1,in2,in3, ..., inN)
% 无传入值
% function [out1,out2, ..., outN] = myfun
% function [out1,out2, ..., outN] = myfun()   也可
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示例：

% 主文件：
values = [12.7, 45.4, 98.9, 26.6, 53.1];
[ave,stdev] = stat(values)  % 返回均值，方差   % ave = 47.3400   % stdev = 29.4124
average = stat(values)   % 仅返回均值   % average = 47.3400

% 函数文件
function [m,s] = stat(x)
    n = length(x);   % 获得向量长度
    m = sum(x)/n;    % 求向量均值
    s = sqrt(sum((x-m).^2/n));  % 求向量方差
end
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15.2 函数文件定义多个函数

在名为 stat2.m 的文件中定义两个函数，其中第一个函数stat2调用第二个函数avg。

function [m,s] = stat2(x)
    n = length(x);
    m = avg(x,n);
    s = sqrt(sum((x-m).^2/n));
end

function m = avg(x,n)
    m = sum(x)/n;
end
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类似于 C语言 的 静态函数

15.3 在脚本文件中定义函数（匿名函数）

匿名函数可以接受多个输入并返回一个输出。它们可能只包含一个可执行语句。

%% 语法
% f = @(arglist)expression 
% 变量 expression 是一个函数句柄或者函数表达式，@ 运算符创建句柄，@ 运算符后面的圆括号 () 包括函数的输入参数。

% 直接构造匿名函数
x = 0:0.1:1;         % 0 0.1 0.2 …… 1.0
xmin = 0;
xmax = pi;
f = @(x) sin(x).^3;  % 直接构造函数
result = f(x)        % 0 0.0010 0.0078 …… 0.5958
a = integral(f,xmin,xmax)  % 在 xmin 至 xmax 区间 求函数 fun 数值积分

% 匿名函数指向函数句柄
x = 0:0.1:1;        % 0 0.1 0.2 …… 1.0
xmin = 0;
xmax = pi;
f = @myIntegrand;   % 指向句柄时不需要传参
result = f(x);      %  0 0.0010 0.0078 …… 0.5958
a = integral(f,xmin,xmax)  % 在 xmin 至 xmax 区间 求函数 fun 数值积分

% 注意在脚本文件中定义函数，函数必须在程序末尾
function y = myIntegrand(x)
    y = sin(x).^3;
end
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15.4 MATLAB全局变量

全局变量可以共享由一个以上的函数。

% 设置全局变量函数
function setGlobalx(val)
    global GLO_X
    GLO_X = val;
end

% 获得全局变量函数
function res = getGlobalx
    global GLO_X
    res = GLO_X;
end

% 工作区
setGlobalx(1138);   % 设置变量x的值
res = getGlobalx;     % 获得变量x的值

global GLO_X   % 直接声明全局变量，此时可以对其进行使用
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16. 代数

16.1 在MATLAB解决基本的代数方程组

解方程组的基本方法solve：

% 注意：旧版本，代数方程组需要 + ' 单引号 '

%% 
% 解方程组基本用法
syms x   % 定义a b c x为系统变量
S = solve(x^2 - 3*x + 2 == 0);   % 解：1 2
% 注意旧版本需要''，新版本不支持此语法
% S = solve('x^2 - 3*x + 2 == 0');   % 解：1 2

% 解高次方程
syms x   % 定义a b c x为系统变量
S = solve(x^5 == 3125);   
% 解：
%                                                          5
% - (2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*5i)/4 - (5*5^(1/2))/4 - 5/4
%   (2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*5i)/4 - (5*5^(1/2))/4 - 5/4
%   (5*5^(1/2))/4 - (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*5i)/4 - 5/4
%   (5*5^(1/2))/4 + (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*5i)/4 - 5/4


%%
% 解代数高次方程
syms a b c x   % 定义a b c x为系统变量
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;   % 方程为：a*x^2 + b*x + c == 0
S = solve(eqn);  % 求解方程，系统默认变量为x，返回值放入S
% 省略中间步骤
syms a b c x   % 定义a b c x为系统变量
solve(a*x^2 + b*x + c == 0);
% 解：-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)   -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

% 修改方程变量
syms a b c x   % 定义a b c x为系统变量
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;   % 方程为：a*x^2 + b*x + c == 0
Sa = solve(eqn,a);  % 求解方程，设置系统变量为a
% 省略中间步骤
syms a b c x   % 定义a b c x为系统变量
solve(a*x^2 + b*x + c == 0, a);
% 解：-(c + b*x)/x^2


%%
% 特殊函数方程
syms x
eqn = sin(x) == x^2 - 1;
S = solve(eqn,x);  % -0.63673
% 省略中间步骤
syms x
solve(sin(x) == x^2 - 1);
% 解特殊函数方程时，solve函数等价于vpasolve函数，上式等价于：
V = vpasolve(eqn,x,[0 2])    % 求方程在[0 , 2]区间内的解
% 注意：此函数仅返回一个解


%% 
% 解多元方程
% 多元线性方程组，可以直接使用 矩阵 求解
syms u v
eqns = [2*u + v == 0, u - v == 1];
S = solve(eqns,[u v]);    % u=1/3, v=-2/3
S.u; % u= 1/3
S.v; % v=-2/3

% 多元非线性方程，可以直接使用 solve 求解
syms x y z
eqns = [x^2 + sqrt(5)*x == -1, x + 3*z^2 == 4, y*z + 1 == 0];
S = solve(eqns,[x y z]);    % u=1/3, v=-2/3
S.x; 
S.y; 
S.z; 
% x =
% - 5^(1/2)/2 - 1/2
% - 5^(1/2)/2 - 1/2
%   1/2 - 5^(1/2)/2
%   1/2 - 5^(1/2)/2

% 上式也可以这样写
% 多元非线性方程，可以直接使用 solve 求解
syms x y z
eq1  = x^2 + sqrt(5)*x == -1;
eq2  = x + 3*z^2 == 4;
eq3  = y*z + 1 == 0;
eqns = [eq1, eq2, eq3];
S = solve(eqns,[x y z])   
S.x
S.y 
S.z 

% 上式还可以这样写
syms x y z
eqns = [x^2 + sqrt(5)*x == -1, x + 3*z^2 == 4, y*z + 1 == 0];
[solx, soly, solz] = solve(eqns,[x y z]);    
% solx = S.x;   soly = S.y;   solz = S.z; 
solutions = [solx soly solz]
% solutions即为上面解横向拼接
% [- 5^(1/2)/2 - 1/2,     (3*((2*5^(1/2))/3 + 6)^(1/2)*(5^(1/2) + 7))/(4*(4*5^(1/2) + 17)),    -((2*5^(1/2))/3 + 6)^(1/2)/2]
% [- 5^(1/2)/2 - 1/2,    -(3*((2*5^(1/2))/3 + 6)^(1/2)*(5^(1/2) + 7))/(4*(4*5^(1/2) + 17)),     ((2*5^(1/2))/3 + 6)^(1/2)/2]
% [  1/2 - 5^(1/2)/2,  (3*((2*5^(1/2))/3 + 14/3)^(1/2)*(5^(1/2) + 9))/(4*(4*5^(1/2) + 17)), -((2*5^(1/2))/3 + 14/3)^(1/2)/2]
% [  1/2 - 5^(1/2)/2, -(3*((2*5^(1/2))/3 + 14/3)^(1/2)*(5^(1/2) + 9))/(4*(4*5^(1/2) + 17)),  ((2*5^(1/2))/3 + 14/3)^(1/2)/2]

%%
% 解不等式
syms x y
eqn1 = x > 0;
eqn2 = y > 0;
eqn3 = x^2 + y^2 + x*y < 1;
eqns = [eqn1 eqn2 eqn3];

S = solve(eqns,[x y],'ReturnConditions',true);  % ReturnConditions表示返回解决方案中的任何参数和解决方案上的条件
S.x           % (- 3*v^2 + u)^(1/2)/2 - v/2
S.y           % v
S.parameters  % [u, v]
S.conditions  % 4*v^2 < u & u < 4 & 0 < v


%% 求解周期函数
% 并不返回全部解，而是返回使用解
syms x
eqn = sin(x) + cos(2*x) == 1;
S = solve(eqn,x)
% 0   pi/6  (5*pi)/6   
% 此时只返回一个解
S1 = solve(eqn,x,'PrincipalValue',true)
% 0
[solx,parameters,conditions] = solve(eqn,x,'ReturnConditions',true)
% solx = pi*k   pi/6 + 2*pi*k    (5*pi)/6 + 2*pi*k
% parameters = k
% conditions = in(k, 'integer')   in(k, 'integer')   in(k, 'integer')
% 意思是：参数为k，k范围任意整数

%% 求解变量的函数
syms x y z
exp1 = [x^2/9 + y^2/4 + z^2 == 1, 2*x - 3*y == 0];    % 3未知数，2方程
s = solve(exp1, [x, y]，'ReturnConditions', true);   
s.x    % x y 解为 z 的函数
%  (3*2^(1/2)*(-(z - 1)*(z + 1))^(1/2))/2
% -(3*2^(1/2)*(-(z - 1)*(z + 1))^(1/2))/2
s.parameters   
ans =
% Empty sym: 1-by-0
s.conditions  
% symtrue
% symtrue


%% condition
solve(eqns,vars,'Real',true)              % 仅返回实数解
solve(eqns,vars,'IgnoreAnalyticConstraints',true)    % 先化简在求解
% 诸如：log(ab)=log(a)+log(b), e^a * e^b = e^(a+b)   等等化简
solve(eqns,vars,'PrincipalValue',true)    % 仅返回一个值
solve(eqns,vars, 'MaxDegree', 3)          
% 尝试获得此类方程的显式解，主要解决如下同时求解出root(z)情况，
% 尝试返回显式解的多项式的最大次数，默认值为2，这里设置为3

%% 可以使用assume()确定符号变量的性质
assume(x,'real')        % 实数
assume(x,'rational')    % 有理数
assume(x,'positive')    % 正数
assume(x,'integer')     % 整数
assume(x/2,'integer')   % 偶数
assume((x-1)/2,'integer')   % 奇数
assume(x<-1 | x>1)      % 小于-1或者大于1的数
assume(x,'clear')       % 清楚之前的假设
assume(x ~= 0)          % 不等于0的数
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使用fsolve求解方程：（对非线性方程组进行数值求解）

% 对非线性方程组进行数值求解，只能求解匿名函数
% 基本用法
fun = @root2d;  % 指向函数句柄
x0 = [0,0];     % 从 [0,0] 点开始求解方程组
x = fsolve(fun,x0)   % x =   0.353246561920553   0.606082026502285

function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
% 等价于 syms x1 x2
% 等价于 exp(-exp(-(x1+x2))) - x2*(1+x1^2) == 0
% 等价于 x1*cos(x2) + x2*sin(x1) - 0.5 == 0
end

F = @(x) [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
         -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];
x0 = [-5;-5];
[x,fval] = fsolve(F,x0)  
% x = 0.567143031397357    0.567143031397357
% fval = 1.0e-06 * -0.405909605705190     1.0e-06 * -0.405909605705190
% fval是指误差，
% 2*x(1) - x(2) - exp(-x(1)) = 1.0e-06 * -0.405909605705190
% -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2)) = 1.0e-06 * -0.405909605705190

% 求解矩阵方程
fun = @(x)x*x*x - [1,2;3,4];   % 矩阵X，X*X*X = [1,2;3,4]
X0 = ones(2);
X = fsolve(fun,X0)   % X = [-0.1291489 , 0.860216 ; 1.290324 , 1.1611747]
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使用vpasolve求解方程：

% 注意，使用vpasolve求解，虽然称之为“数值解”，但数据类型依然是符号变量
% solve求解数值解时，自动调用vpasolve
syms x
eqn = sin(x) == x^2 - 1;
V = vpasolve(eqn,x,[0 2])    % 求方程在[0 , 2]区间内的解 V=1.409624

syms x
eqn = sin(x) == x^2 - 1;
V = vpasolve(eqn,x,1)        % 求方程在1附近的解 V=1.409624

syms x y
eqn1 = exp(-x^2-y^2)*(x-4) - exp((-x^2-y^2)/2)*(x-2) == 0;
eqn2 = exp(-x^2-y^2)*(y-2) - exp((-x^2-y^2)/2)*(y-4) == 0;
[solX, solY] = vpasolve([eqn1 eqn2],[x y]); % Empty sym: 0-by-1 方程组无解
[solX, solY] = vpasolve([eqn1 eqn2],[x y],[2; 4])   % 假设x在2附近，y在4附近 
% solX = 1.9999092125057125429174334656647
% solY = 4.0000907874942874570825665343353
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使用fzero求解方程：
见：12.4 使用函数进行数据分析；

使用roots求解方程：
见：16.2.3 多项式的根

更多：如何解决MATLAB的solve函数求方程时出现未知数z和root？

syms x y
[x,y]=solve((x-2)^2+(y+2*x-3)^2==5,2*(x-3)^2+(y/ 3)^2==4 )

% y = 
%  root(z^4 + (4824*z^3)/457 + (11844*z^2)/457 - (14256*z)/457 - 54108/457, z, 1)
%  root(z^4 + (4824*z^3)/457 + (11844*z^2)/457 - (14256*z)/457 - 54108/457, z, 2)
%  root(z^4 + (4824*z^3)/457 + (11844*z^2)/457 - (14256*z)/457 - 54108/457, z, 3)
%  root(z^4 + (4824*z^3)/457 + (11844*z^2)/457 - (14256*z)/457 - 54108/457, z, 4)
% x 也一样

x = vpa(x)
y = vpa(y)
% y =
%   1.8936365963298548025994430021814
%  -2.6929074352940121705044040780427
%  -4.1171266000258712039597783906018
%   -5.639401248099686964240293356294

x = double(x)
y = double(y)
% y =
%     1.8936
%    -2.6929
%    -4.1171
%    -5.6394

%% 也可以使用solve(eqns,vars, 'MaxDegree', 3)最大调度方法求解 

%% 补充 vpa()函数说明
% 将符号变量计算为至少d个有效数字，默认值d为32
syms x
p = sym(pi);
a = sym(1/3);
f = a*sin(2*p*x)
% f = sin(2*pi*x)/3
fVpa = vpa(f)
% fVpa = 0.33333333333333333333333333333333*sin(6.283185307179586476925286766559*x)
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16.1.1 求函数零点、极值点

详见：12.4 使用函数进行数据分析

16.2 多项式

16.2.0 多项式计算

%% 计算方法
p = [3 2 1];   % 多项式：3.*x.^2 + 2.*x + 1
x = [5 7 9];   
y = polyval(p,x)  % 计算 多项式p 在点 [5 7 9] 上的值
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16.2.1 多项式曲线拟合

% 注意此方法本质上是对散点进行拟合，为曲线拟合内容；
% 而不是完全的函数逼近；
x = linspace(0,4*pi,50);
y1 = sin(x);   % 在区间 [0,4*pi] 中沿正弦曲线生成 50 个等间距的点。
p = polyfit(x,y1,7);   % 使用 polyfit 将一个 7 次多项式与这些点拟合。
% 返回值为多项式系数：-0.0001    0.0024   -0.0404    0.3184   -1.1504    1.4234    0.2215    0.0684
% 即：-0.0001.*x.^7 + 0.0024.*x.^6 + -0.0404.*x.^5 + 0.3184.*x.^4 + -1.1504.*x.^3 + 1.4234.*x.^2 + 0.2215.*x.^1 + 0.0684
y2 = polyval(p,x);  % 计算 多项式p 在点 x 上的值
plot(x,y1,x,y2);
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绘制其图像为：

16.2.2 多项式曲线插值

%% 一般插值方法
x = 0:pi/4:2*pi;  
v = sin(x);        
xq = 0:pi/16:2*pi;   
vq1 = interp1(x,v,xq);    % 向量 x 包含样本点，v 包含对应值 v(x)。向量 xq 包含查询点的坐标。
% vq1 = interp1(x,v,xq,'spline');  % 表示使用'spline'插值方法
% vq1 = interp1(x,v,xq,'nearest');  % 表示使用'nearest'插值方法
% vq1 = interp1(x,v,xq,'cubic');  % 表示使用'cubic'插值方法
% 插值方法有：'linear'、'nearest'、'next'、'previous'、'pchip'、'cubic'、'v5cubic'、'makima' 或 'spline'。
% 默认方法为 'linear'
plot(x,v,'o',xq,vq1,':.');

%% 三次样条插值
x = 0:pi/4:2*pi;  
v = sin(x);        
xq = 0:pi/16:2*pi;   
vq1 = spline(x,v,xq);    % 三次样条插值
plot(x,v,'o',xq,vq1,':.');
% 也可以这样使用
pp = spline(x,v);    % 三次样条插值，返回为pp插值对象
yi=ppval(pp, xq);    % 使用pp插值对象对xq数据进行插值
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分别绘制图像：‘linear’、‘spline’、‘nearest’、‘cubic’

三次样条插值：

16.2.3 多项式的根

% 求方程 3.*x.^2 - 2.*x -4 = 0 的解
p = [3 -2 -4];   
r = roots(p);   % 1.5352; -0.8685

% 求方程 x.^4 - 1 = 0 的解
p = [1 0 0 0 -1];   
r = roots(p);   % -1 ; 1 ; i ; -i
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16.2.4 多项式乘法（卷积）

% 求多项式 x.^2 + 1 和 2.^x +7 相乘
u = [1 0 1];
v = [2 7];
w = conv(u,v);   % 2   7   2   7   % 2.*x.^3 + 7.*x.^2 + 2.*x + 7
1
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4

16.2.5 多项式除法（逆卷积）

% 求多项式 2.*x.^3 + 7.*x.^2 + 4.*x + 9 和 1.*x.^2 + 1 相除
u = [2 7 4 9];
v = [1 0 1];
[q,r] = deconv(u,v);  % q：2  7   p：0  0  2  2
% u = 2.*x + 7 + (1.*x.^2 + 1) * (2.*x + 2)
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16.2.6 多项式积分

%% 不定积分
p = [3 0 -4 10 -25];  % 多项式 3.*x.^4 - 4.*x.^2 + 10.*x - 25 
q = polyint(p);   %  0.6000   0   -1.3333   5.0000   -25.0000   0
% 即 p 的不定积分为 q  0.6.*x.^5 - 1.3333.*x.^3 + 5.*x.^2 - 25.*x 
% 上述积分默认积分常数C为0，若积分常数C不为0，则使用：
% q = polyint(p, 3);  % 积分常数 C = 3

%% 定积分
a = -1;   % 积分下限为 -1
b = 3;    % 积分上限为 3
I = diff(polyval(q,[a b]));   % 求解 p 在区间 -1~+3 的定积分值，I = 49.0667
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16.2.7 多项式微分

%% 直接求解
p = [3 0 -2 0 1 5];  % 多项式 3.*x.^5 - 2.*x.^3 + x + 5 
q = polyder(p);    % 15   0   -6   0   1  
% 即 p 的微分为 q   15.*x.^4 - 6.*x.^2 + 1

%% 多项式相乘
a = [1 -2 0 0 11];
b = [1 -10 15];
q = polyder(a,b);  % 6   -60   140   -90   22   -110
% 即 p 的微分为 q   6.*x.^5 - 60.*x.^4 + 140.*x.^3 - 90.*x.^2 + 22.*x -110

%% 多项式相除
p = [1 0 -3 0 -1];
v = [1 4];
[q,d] = polyder(p,v);  % q：3  16  -3  -24  1    p：1  8  16
% 即 p 的微分为 q   
%   3.*x.^4 - 16.*x.^3 - 3.*x.^2 - 24.*x  + 1
% —————————————————————————————————————————————
%           1.*x.^2 + 8.*x  + 16
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16.3 MATLAB求解微积分

16.3.1 求极限

%% 
% 基础用法
syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7));   % 求当x→0，(x^3 + 5)/(x^4 + 7)的值，  % 5/7 

syms x h
f = sin(x)/x; 
limit(f,x,0);  % x作为变量，求当x→0，sin(x)/x的值，  % 1

f = (sin(x+h)-sin(x))/h;
limit(f,h,0);  % h作为变量，求当h→0，(sin(x+h)-sin(x))/h的值，  % cos(x)

syms x
f = 1/x;
limit(f,x,0,'right');   % 求左极限，Inf
limit(f,x,0,'left');    % 求右极限，-Inf
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16.3.2 数值积分

数值积分使用 integral 函数

%% 
fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;  % 构造匿名函数
q = integral(fun,0,Inf);  % 计算 x=0 至 x=Inf 的积分  % q = 1.9475

%% 二重积分
fun = @(x,y) 1./( sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 );
q = integral2(fun,0,1,0,1);
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使用梯形法求近似积分

%% 
fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;  % 构造匿名函数
x=1 : 0.05 : 2;	  
y = fun(x);
area=trapz(x, y);  % 区间 [1 2]，通过0.05等分；等分后每个小区间计算其梯形面积，近似作为其积分  
% 近似解1.1851e-02，标准解1.1856e-02
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16.3.3 数值微分

%% 1. 计算差分
% Y = diff(X) 
% 即 Y = [X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(m)-X(m-1)]  或  Y = [X(2,:)-X(1,:); X(3,:)-X(2,:); ... X(p,:)-X(p-1,:)]
X = [0 5 15 30 50 75 105]; 
Y = diff(X)     % 计算一阶差分  % 5   10   15   20   25   30
Y = diff(X,2)   % 计算二阶差分  % 5   5   5   5   5

X = [1 3 5;7 11 13;17 19 23];
Y = diff(X)     % 计算矩阵差分  % 6   8   8 ; 10   8   10
Y = diff(X,1,2) % 按列计算矩阵差分  % 2 2 ; 4 2 ; 2 4

%% 2. 使用差分求导数近似值
h = 0.001;       % 步长
X = -pi:h:pi;    % 作用域
f = sin(X);      % 函数
Y = diff(f)/h;   % 一阶导数
Z = diff(Y)/h;   % 二阶导数

%% 由于使用diff()函数，计算的差分少一项，因此，可以设置第一项(或最后一项)为0，理解为向前/向后差分
X = [0 5 15 30 50 75 105]; 
Y = [0, diff(X)]     % 计算一阶差分  % 0   5   10   15   20   25   30
Y = [diff(X), 0]     % 计算一阶差分  % 5   10   15   20   25   30   0
% 如果要求导数，可以设置 第一项(或最后一项) 等于差分的第一项(或最后一项)
h = 0.001;       % 步长
X = -pi:h:pi;    % 作用域
f = sin(X);      % 函数
Y = diff(f)/h;   % 一阶导数
Y = [Y(1) Y];    % 假定数值微分初始值
plot(X,f, X,Y);
legend('sin(x)', 'cos(x)');
% 图像绘制如下

%% 3. 直接使用梯度计算微分
% Y = gradient(X);
% 即 Y = [ (X(2)-X(1))/1 , (X(3)-X(1))/2 , (X(4)-X(2))/2 , ... , (X(m)-X(m-2))/2 , (X(m)-X(m-1))/1 ]
% Y = gradient(X, h);
% 即 Y = [ (X(2)-X(1))/h , (X(3)-X(1))/2h , (X(4)-X(2))/2h , ... , (X(m)-X(m-2))/2h , (X(m)-X(m-1))/h ]
Y  = [0 5 15 30 50 75 105]; 
dY = gradient(Y)   % 5 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 30
Y  = [0 5 15 30 50 75 105]; 
dY = gradient(Y, 0.1)   % 0.5 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3
% 应用举例：
h = 0.001;       % 步长
X = -pi:h:pi;    % 作用域
f = sin(X);      % 函数
Y = gradient(f, h); % 一阶导数
plot(X,f, X,Y);
legend('sin(x)', 'cos(x)');
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使用diff和gradient计算微分结果如图所示

16.4 MATLAB求解微分方程

16.4.1 求微分方程的解析解

旧版本写法：
dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’）
初始条件省缺时，是求微分方程的通解。
Dy代表y的导数，D2y代表y的二阶导数， D3y代表y的三阶导数……

新版本写法：
将字符声明为系统变量，使用diff(y,x)作为微分变量

**e.p1：**基本用法：

% 旧版本
y=dsolve('D2y+2*Dy+y-x^2=0','x')

% 新版本
syms y(x)    % y, x声明为系统变量；表示 y对x 求解
eqn = diff(y,x,2) + 2*diff(y,x) + y - x.*x == 0;
y = dsolve(eqn)
% 这样写也可以
syms y(x)    
y = dsolve(diff(y,x,2) + 2*diff(y,x) + y - x.*x == 0)

% 以上求解得： 以上求解得： y = x^2 - 4*x + C1*exp(-x) + C2*x*exp(-x) + 6
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**e.p2：**dy / da = ty

% 旧版本
y=dsolve('Dy=t*y','a')

% 新版本
syms y(a) t  % 这里表示对a求微分方程通解
eqn = diff(y,a) == t*y;
y = dsolve(eqn)

% 以上求解得： y = C1*exp(a*t)
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**e.p3：**高阶微分方程：

% 旧版本
y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')

% 新版本
syms y(x)    % y, x声明为系统变量
eqn = diff(y,x,2) + 4*diff(y,x) + 29*y == 0;
Dy = diff(y,x);
cond = [y(0)==0 , Dy(0)==15];
y = dsolve(eqn,cond)
% 这样写也可以
syms y(x)    % y, x声明为系统变量
Dy = diff(y,x);
y = dsolve(diff(y,x,2) + 4*diff(y,x) + 29*y == 0 , [y(0)==0 , Dy(0)==15])

% 以上求解得： y = 3*sin(5*x)*exp(-2*x)
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**e.p4：**微分方程组：

% 旧版本
eq1='Dx=2*x-3*y+3*z';
eq2='Dy=4*x-5*y+3*z';
eq3='Dz=4*x-4*y+2*z';
[x,y,z]=dsolve(eq1,eq2,eq3,'x(0)=1,y(0)=2,z(0)=1');   %如果省略自变量，默认为t

% 新版本
syms x(t) y(t) z(t)
eqns = [diff(x,t) == 2*x-3*y+3*z, diff(y,t) == 4*x-5*y+3*z, diff(z,t) == 4*x-4*y+2*z];
cond = [x(0)==1 , y(0)==2 , z(0)==1 ];

S = dsolve(eqns , cond);
x = S.x
y = S.y
z = S.z

% 以上求解得：
% x = exp(-t);   y = exp(-t) + exp(-2*t);   z =exp(-2*t);
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16.4.2 求微分方程数值解

多数微分方程是没有解析解的，主要依靠数值解法来解决！求数值解的方法有欧拉法、龙格-库塔法等。详细见表格：

微分方程需要为：形式

**e.p.1：**基本用法：

f=@(x, y) 1./(1+x.^2)-2*y.^2 ;   % 创建匿名函数
[x,y] = ode23(f, [0, 6], 0);     % 微分方程组求解区间为 0~6，y初始值为0
plot(x,y,'-o');

f=@(x, y) 1./(1+x.^2)-2*y.^2 ;
[x,y] = ode45(f, [0, 6], 0);
plot(x,y,'-o');

f=@(x, y) 1./(1+x.^2)-2*y.^2 ;
[x,y] = ode23s(f, [0, 6], 0);
plot(x,y,'-o');
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绘制图像分别为：

**e.p.2：**微分方程组

f = @fun;     % 创建匿名函数
[t, x] = ode45(f,[0,30],[1,0.5]);     % 微分方程组求解区间为 0~30，x,y初始值分别为1,0.5

plot(t, x(:,1), t, x(:,2),'linewidth',1.5);   % 分别绘制x、y随t变化图像
legend('x(t)', 'y(t)');
figure(2);
plot(x(:,1), x(:,2), 'linewidth',1.5);        % 绘制y随x变化图像
 
function res=fun(t, x)
    res = zeros(2,1);
    res(1)=-x(1).^3-x(2);
    res(2)=-x(2).^3+x(1);
end
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**e.p.3：**高阶微分方程必须等价的变换成一阶微分方程组，然后求解：
，设 y1=y , y2=y’=y1’ , y2’=y’'，问题转换为：

f = @fun;     % 创建匿名函数
[x, y]=ode15s(f,[0,3000],[2,0]);    % 微分方程组求解区间为 0~3000，x,y初始值分别为2,0
plot(x, y(:,1))

function res=fun(x,y)
    res = zeros(2,1);
    res(1)=y(2);
    res(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
end
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绘制图像为：

16.5 数值变换

16.5.1 拉普拉斯变换

%% 拉普拉斯变换
syms x b
laplace(x)             % 1/s^2
laplace(x^2)           % 2/s^3
laplace(exp(-b*x))     % 1/(b + s)
laplace(sin(b*x))      % b/(b^2 + s^2)

%% 拉普拉斯逆变换
syms s b
ilaplace(1/s^3)        % t^2/2
ilaplace(s/(s^2+4))    % cos(2*t)
ilaplace(2/(b+s))      % 2*exp(-b*t)
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16.5.2 傅里叶变换

1. 傅里叶正变换

Matlab命令：fourier
fourier(f,w)——返回的傅里叶变换以w为默认变量，即求

例：计算 的傅里叶变换。

%% 傅里叶变换
syms x w
f = exp(-x^2);  % 函数
FT = fourier(f)	% 傅里叶变换   % FT = fourier(f,w)   % 返回傅里叶变换以w为默认变量
% 结果为：pi^(1/2)*exp(-w^2/4)
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2. 傅里叶逆变换

Matlab命令：ifourier
ifourier(f,u)——返回的傅里叶逆变换以x为默认变量，即求

例：计算 的傅里叶逆变换。

syms w x
FT=exp(-w^2/4);
f=ifourier(FT)   % 傅里叶逆变换   % f = ifourier(FT,x)   % 返回傅里叶逆变换以x为默认变量
% 结果为：exp(-x^2)/pi^(1/2)
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3. 快速傅里叶变换

%% 信号
t_s = 0.01;    %采样周期
t_start = 0.5; %起始时间
t_end = 5;     %结束时间
t = t_start : t_s : t_end;  % 生成变换数据，总共451个数据
y = 0.7*sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t)+randn(1,length(t));  %生成信号

subplot(5,1,1);
plot(t,y);
title('original signal');   %绘制原始信号图

%%  频谱
y_f = fft(y); %快速傅里叶变换
Druation = t_end - t_start;   %计算采样时间
Sampling_points = Druation/t_s +1;  %采样点数，451，fft后的点数就是这个数
f_s = 1/t_s; %采样频率
f_x = 0: f_s/(Sampling_points -1) :f_s;  %与横坐标频率对应，频率分辨率就是f_s/(Sampling_points -1)
t2 = f_x-f_s/2;

subplot(5,1,2);
plot(f_x , abs(y_f)); 
title('fft transform');

shift_f = abs(fftshift(y_f));  % fftshift() 将零频分量移到频谱中心
subplot(5,1,3);
plot(f_x-f_s/2 , shift_f);
title('shift fft transform');  %将0频率分量移到坐标中心

subplot(5,1,4);
plot(t2(length(t2)/2:length(t2)) , shift_f(length(shift_f)/2:length(shift_f)));
title('shift fft transform');   %保留正频率部分

subplot(5,1,5);
plot(f_x(1:length(f_x)/2) , abs(y_f(1:length(f_x)/2)));
title('fft cut');  %直接截取fft结果的前半部分
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-1mhjFkmE-1691587022572)(D:\Data\我的项目&比赛&兴趣自学内容\知识汇总\知识汇总用到的相关资料\MATLAB 图片截屏\fourier.png)]

17. 更多知识参照MATLAB官方参考文档 （重要，必看）

中文版网址：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/index.html，里面包含MATLAB所有语法
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-DD4ko0cM-1691587022574)(.\MATLAB 图片截屏\new1.png)]

帮助文档使用方法（基于个人经验总结）：

1）学习：逐个模块学习即可。事实上，绝大多数MATLAB书籍，就是官方参考文档的翻译及摘录。

2）索引：想实现相关功能，只需在帮助中心搜索即可。
如：搜索积分，可搜索到各种积分方法：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-uCProkyt-1691587022574)(.\MATLAB 图片截屏\new2.png)]

搜索傅里叶变换，如下：傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换等等。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Wu14izbE-1691587022575)(D:\Data\我的项目&比赛&兴趣自学内容\知识汇总\知识汇总用到的相关资料\MATLAB 图片截屏\new3.png)]

3）F1快捷键
实际编程时，遇到陌生函数，按F1快捷键，则立即跳转至函数相关文档。
如：plot()函数，假设不知其如何使用，按F1快捷键，立即弹出其函数注解，包含其语法，说明，使用实例等等。

PS：直接在命令行输入 help plot，也可以跳转帮助文档

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FU01X8OS-1691587022575)(.\MATLAB 图片截屏\new4.png)]