蓝桥杯题目 2682: 蓝桥杯2022年第十三届省赛真题-GCD_蓝桥杯2022年真题

题目描述

给定两个不同的正整数 a, b，求一个正整数 k 使得 gcd(a + k, b + k) 尽可能大，其中 gcd(a, b) 表示 a 和 b 的最大公约数，如果存在多个 k，请输出所有满足条件的 k 中最小的那个。 

输入格式

输入一行包含两个正整数 a, b，用一个空格分隔。 

输出格式

输出一行包含一个正整数 k。

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提示

对于 20% 的评测用例，a < b ≤ 105 ；
对于 40% 的评测用例，a < b ≤ 109 ；
对于所有评测用例，1 ≤ a < b ≤ 1018 

首先一开始使用暴力解法超时，改进算法。通过举例发现两个数的最大公约数为abs（a-b）例如（21+k，100+k)的最大公倍数为79,此时k=58；（10000+k，8001+k)的最大公约数为1999；可自行验证

算法设计过程中发现求最大公倍数为两种情况，如果最大公约数maxB<a&&maxB<b则只需要当maxB*t>max(a,b) 且 t最小时就可以求出k，例如79，100的最大公约数为21，当21*5=105时大于a和b，此时k=105-100=5； 第二种情况为 min(a,b)<maxB<max(a,b) 此时 k=maxB-min(a,b)，例如21,100 maxB=79,k=79-21=58。

import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String args[])
    {
    	Scanner in=new Scanner(System.in);
    	long a,b;
    	long maxB;
    	a=in.nextLong();
    	b=in.nextLong();
    	maxB=Math.abs(a-b);//最大公倍数
    	long k=0;
    	if(a==maxB||b==maxB) k=0;//最大公倍数为a,b中的一个,k为0
    	else if(maxB<=a&&maxB<=b) 
	    {   long temp;
	        long t;
	       temp=Math.max(a,b)/maxB+1;
    	   for(t=1;t<=temp;t++)
    	   {
    		   if(t*maxB>Math.max(a, b)) break;
    	   }
    	   k=t*maxB-Math.max(a, b);
    	}
    	else {
    		k=maxB-Math.min(a, b);
    	}
    	
    	System.out.println(k);
    }
}