基于FPGA的数字信号处理（11）--定点数的舍入模式（2）向最临近值取整nearest

前言

在之前的文章介绍了定点数为什么需要舍入和几种常见的舍入模式。今天我们再来看看另外一种舍入模式：向最临近值取整nearest。

10进制数的nearest

nearest： 向最临近值方向取整。它的舍入方式和四舍五入非常类似，都是舍入到最近的整数，比如1.75 nearest到2，-0.25 nearest到0等。二者唯一的区别在于对0.5这类数据的处理上。

• 0.5的round结果是1，-0.5的round结果是-1
• 0.5的nearest结果是1，-0.5的nearest结果是0，也就是说对于0.5（1.5/2.5等）这类数据，它们的nearest结果是都是向上取整

以-2到1.75之间的16个数据（步长0.25）为例，它们的nearest结果是这样的：

从上图可以看到：

• 正数的nearest，分为两个部分：

  • 小数部分小于等于4时就把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉。例如1.25 >> 1，1.0 >> 1 等
  • 小数部分大于等于5时就把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉然后+1。例如1.5 >> 1 >> 1 + 1 >> 2，0.75 >> 0 >> 0+1 >> 1 等

• 负数的nearest，也分为两个部分：

  • 小数部分小于等于4时就把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉。例如-1.25 >> -1，-1.0 >> -1 等
  • 小数部分大于等于5时就把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉然后-1。例如 -1.5 >> -1 >> -1 - 1 >> -2，-0.75 >> 0 >> 0-1 >> -1 等

• 0的nearest，就是直接丢掉小数部分

2进制数的nearest

2进制数的nearest和10进制的nearest类似。以Q4.2格式的定点数（字长4位，小数2位的有符号数）为例，对于负数的小数部分的处理：

• -2(d) = 10_00(b) nearest后的值为 -2，等价于 10，即舍弃小数部分后的值（10）
• -1.75(d) = 10_01(b) nearest后的值为 -2，等价于 10，即舍弃小数部分后的值（10）
• -1.5(d) = 10_10(b) nearest后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分后的值（10）再加1
• -1.25(d) = 10_11(b) nearest后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分后的值（10）再加1
• -1(d) = 11_00(b) nearest后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分后的值（11）
• -0.75(d) = 11_01(b) nearest后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分后的值（11）
• -0.5(d) = 11_10(b) nearest后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分后的值（11）再加1
• -0.25(d) = 11_11(b) nearest后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分后的值（11）再加1

对于正数的小数部分的处理：

• 1.75(d) = 01_11(b) nearest后的值为 2，此时溢出了，需要扩展位宽，处理方式也是舍弃小数部分的值（001）再加1即010
• 1.5(d) = 01_10(b) nearest后的值为 2，此时溢出了，需要扩展位宽，处理方式也是舍弃小数部分的值（001）再加1即010
• 1.25(d) = 01_01(b) nearest后的值为 1，等价于 01，即舍弃小数部分后（01）的值
• 1(d) = 01_00(b) nearest后的值为 1，等价于 01，即舍弃小数部分后（01）的值
• 0.75(d) = 00_11(b) nearest后的值为 1，等价于 01，即舍弃小数部分后（00）的值再加1
• 0.5(d) = 00_10(b) nearest后的值为 1，等价于 01，即舍弃小数部分后（00）的值再加1
• 0.25(d) = 00_01(b) nearest后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分后（00）的值

对于0的处理：直接舍弃小数部分。

总结一下，就是：

• 对于正数的nearest处理：首先舍掉小数位，然后加一个进位值：
  • 当小数部分的最高位为0时，说明这个数的小数部分是小于0.5的，所以不需要进位，此时的进位值为0。
  • 当小数部分的最高位为1时，说明这个数的小数部分是大于等于0.5的，所以需要进位，即此时的进位值为1。
• 对于0的nearest处理：首先舍掉小数位，然后加一个进位值，该进位值恒定为0。
• 对于负数的nearest处理：首先舍掉小数位，然后加一个进位值：
  • 当小数部分的最高位为0时，说明这个数的小数部分是小于0.5的，而整数部分又是个负数，相当于二者的和的小数部分小于 -0.5。例如10.01是-1.75，它的小数部分.01是0.25，整数部分10是-2，二者相加是-2+0.25 = -1.75，所以它们的处理方式都是先舍弃小数位，然后加0。
  • 当小数部分的最高位为1且其他位不为全0时，说明这个数的小数部分是大于0.5的，而整数部分又是个负数，相当于二者的和的小数部分大于-0.5。例如10.11是-1.25，它的小数部分.11是0.75，整数部分10是-2，二者相加是-2+0.75 = -1.25。所以它们的处理方式都是先舍弃小数位，然后加1。
  • 当小数部分的最高位为1且其他位为全0时，说明这个数的小数部分是等于0.5的，此时向上舍入，例如11_10是 -0.5，nearest后的值为 0（00），即11_10>>11+1>>00。所以它们的处理方式都是先舍弃小数位，然后加1。

上面的内容可以再精简：

• 当小数部分的最高位为0时，相当于整数部分 + 进位值，进位值等于0，即小数部分的最高位
• 当小数部分的最高位为1时，相当于整数部分 + 进位值，进位值等于1，即小数部分的最高位

下面以 用nearest的方式来实现Q4.2格式定点数转Q2.0格式定点数为例，Verilog代码如下：

module test(
    input	[3:0]	data_4Q2,				//有符号数，符号1位，字长4位，小数2位	
    output	[1:0]	data_2Q0				//有符号数，符号1位，字长2位，小数0位	
);

wire	carry;

assign	carry = data_4Q2[1];				//小数的最高位就是进位值				
assign	data_2Q0 = data_4Q2[3:2] + carry;	//舍弃低位（即整个小数部分）后再加进位

endmodule
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11

因为一共只有16个数，所以我们可以用穷举的方式来测试，TB如下：

`timescale 1ns/1ns
module test_tb();

reg	 [3:0]	data_4Q2;			//有符号数，符号1位，整数2位，小数2位	
wire [1:0]	data_2Q0;			//有符号数，符号1位，整数2位，小数0位	
	
integer i;						//循环变量

initial begin
	data_4Q2 = 0;				//输入赋初值	
	for(i=0;i<16;i=i+1)begin	//遍历所有的输入，共16个	
		data_4Q2 = i;						
		#5; 
		$display("data_4Q2:%h		data_2Q0:%h",data_4Q2,data_2Q0);
	end
	#20 $stop();				//结束仿真
end

//例化被测试模块
test	test_inst(
	.data_4Q2	(data_4Q2),	
	.data_2Q0	(data_2Q0)
);

endmodule
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同时，我们也用matlab来实现同样的功能，观察两者的输出是否一致：

%--------------------------------------------------
% 关闭无关内容
clear;
close all;
clc;

%-------------------------------------------------------------------------------
% 生成数据并做Nearest处理
x = -2:0.25:1.75;
F = fimath('RoundingMethod','Nearest');         	% 设定舍入模式为nearest
%F_c = fimath('RoundingMethod','Convergent');      	% 设定舍入模式为nearest
data_4Q2 = fi(x,1,4,2,F);                         	% 生成Q4.2格式的定点数
data_2Q0 = fi(data_4Q2,1,2,0,F);                  	% 从Q4.2格式转换成Q2.0格式
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下图是2者分别输出的数据（16进制），可以看到有2个数是对不上的：

你如果记性不错的话，就会发现这两个数正是前面讨论的正数会出现溢出的情况。这2个数分别是0110/0111，即10进制数1.5/1.75，它们的nearest结果应该是2。从上图来看，好像是matlab错了，而RTL对了，但实际情况恰恰相反。现在想想结果是什么格式的？Q2.0！它能表示的最大的数是多少？是10进制的1！所以结果溢出了！

那为什么RTL的结果又 ”对“ 了呢？这纯属是乌龙。因为打印结果是16进制的，并不表示10进制数值，结合结果的2位位宽，可知 ”2“，实际上就是10，它是01的溢出产生的，这个数在Q2.0格式的定点数中并不表示 ”数字2“，而是数字 ”-1“。

matlab是有溢出处理进制的（saturate），它把溢出值把都饱和在了最大值，即01（10进制的1），所以为了防止这种情况的发生，我们也要设计对应的溢出处理机制。因为负数的最小值只取决于整数（小数部分是正的权重），而正数的最大值同时取决于小数和整数，例如Q4.2格式的最小值是-2即10_00，而最大值则是1.75即01_11，所以溢出只会是正向的溢出，那么就只要限定最大值即可。把Verilog代码改一下：

module test(
    input	[3:0]	data_4Q2,				//有符号数，符号1位，字长4位，小数2位	
    output	[1:0]	data_2Q0				//有符号数，符号1位，字长2位，小数0位	
);

wire			carry;
wire	[2:0]	data_temp;					//扩展1bit，防止溢出

assign	carry = data_4Q2[1];	
assign	data_temp = {data_4Q2[3],data_4Q2[3:2]} + {2'b00,carry};		//中间变量，舍弃低位（即整个小数部分）后再加进位    
assign	data_2Q0 = (data_temp[2:1]==2'b01) ? 2'b01 : data_temp[1:0];	//data_2Q0的高2位为01说明产生了正向的进位，即溢出
endmodule
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2
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这样结果就是正确的了：

定点数从Q4.2格式转Q2.0格式是一个比较特殊的例子，因为它相当于把小数部分全部舍弃掉了，如果舍入要求不是全部小数位，而是部分小数位，那么处理方式是一样的吗？

是一样的。对于其他情况则相当于把小数点移动到了对应的位置。例如Q5.3格式的定点数转Q3.1格式，则只需要把最后两位小数舍弃并加上进位即可即可，例如：

00.001 是0.125，距离它最近的Q3.1格式的数是0即00.0，即00.001 >> 00.0 + 0 >> 00.0

00.110 是0.75，距离它最近的Q3.1格式的数就是它0.5和1，但是要求向上取整，所以结果是1即01.0，即00.110 >> 00.1+1 >> 01.0

11.111 是-0.125，距离它最近的Q3.1格式的数是0即00.0，即11.111 >> 11.1+ 1 >> 00.0

10.110 是-1.25，距离它最近的Q3.1格式的数是-1和-1.5，但是要求向上取整，所以结果是-1即11.0，即10.110 >> 10.1+1 >> 11.0

其他类似，不赘述了。