现代计算机图形学入门（二）——变换_绕过原点的任意轴的旋转的变换矩阵

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在三维空间中，图像上的点最终对应到摄像机的屏幕上要经过四个变换，由于一开始我们的坐标系是定义在图形上的，因此我们要先通过模型变换建立三维世界下的坐标系，将所有图形的坐标都统一起来，然后通过视图变换将世界坐标系的原点移动到摄像机的位置，然后再通过投影变换将远景投射到摄像机的屏幕面上，最后再通过正交变换将投影得到的图像规格化为[-1,1]的正方形大小，这就是整个变换的过程。

一、模型变换（Model Transformation）

在三维空间中，我们也可以用矩阵来表示三维空间的变换，他同样可以表示线性变换和仿射变换，其中最下面一行仍然为（0,0,0,1），最右边一列仍然表示平移的距离：

三维空间的缩放：

三维空间的平移：

三维空间中最复杂的操作应该是旋转了，我们首先认定三维空间的旋转是绕着任意轴进行的，那么就会有绕着x轴，y轴和z轴的旋转：



要注意的是绕y轴旋转的sinα部分是反的，这是因为我们的右手系建立都是按着x☞y☞z的顺序来的，但是在利用叉乘生成y轴的时候，我们发现是由z到x生成的，所以导致sinα部分是负的。

//绕Z轴旋转的变换矩阵
//传入旋转角度
Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle)
{
    //初始化model为单位矩阵,Identity()函数会生成单位矩阵
    Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity(); 
    Eigen:Matrix4f rotate;
    //将角度转换为弧度
    float rotation = rotation_angle / 180 * MY_PI;
    //按照z轴进行旋转
    rotate << cos(rotation), -1 * sin(rotation), 0, 0,
            sin(rotation), cos(rotation), 0, 0,
            0, 0, 1, 0,
            0, 0, 0, 1;
    //
    model = model * rotate;
    return model;
}

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这里贴一张百度上的证明过程：

对于复杂的旋转问题，我们都可以将其拆解为简单旋转的叠加，也就是图形学中的Rodrigues旋转公式，其中传入的n为旋转轴上某点的坐标。 Rodrigues 公式定义了一个方向和一个旋转轴，方向可以理解，但轴我们默认为了是绕着过原点的轴旋转，这样才好拆分旋转，那么我们如果绕的轴不是过原点的轴呢？我们如果想让他沿着任意轴旋转怎么办，也就是轴可以平移怎么办，这就用到了我们之前学到的，我们可以先将轴的起点移到原点上，再进行旋转，再将点从原点移回原来的位置。关于该公式还有一点需要注意，就是后面有一个矩阵的形式N，我们之前提到了向量和向量是可以做叉积的，最后得到的结果是一个向量。所以我们可以将第一个向量写成矩阵的形式，那么矩阵乘以第二个向量得到的形式就是矩阵的形式，这也就是叉乘的结果，所以这里的N也就是某一个叉乘，我们想将其写成矩阵的形式。

//得到绕任意过原点的轴的旋转变换矩阵,根据传入的axis来进行旋转,axis是与原点形成轴的点坐标
Eigen::Matrix4f get_rotation_matrix(Vector3f axis, float angle)
{
    Eigen::Matrix4f rotation = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix3f N, R;                            //R是罗德里格斯矩阵
    Eigen::Matrix3f I = Eigen::Matrix3f::Identity(); //I是单位矩阵
    double rotate = angle * 3.14 / 180.0f;
    N << 0, -axis[2], axis[1],
        axis[2], 0, -axis[1],
        -axis[1], axis[0], 0;
    R = std::cos(rotate) * I + (1 - std::cos(rotate)) * axis * axis.transpose() + std::sin(rotate) * N;
    //向量的transpose()函数可以求该向量的转置
    rotation << R(0, 0), R(0, 1), R(0, 2), 0,
            R(1, 0), R(1, 1), R(1, 2), 0,
            R(2, 0), R(2, 1), R(2, 2), 0,
            0, 0, 0, 1;
    return rotation;
}
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补充：四元数
四元数概念的引入更多的是为了旋转与旋转之间的差值，就比如二维空间下（不考虑齐次坐标）旋转25°和15°，将这两个矩阵加起来求平均，得到的矩阵并不是旋转20°得到的矩阵，因此旋转矩阵在这方面是不适合做差值的，考虑到这点，所以引入了四元数。学习找到四元数，并且学习如何与旋转矩阵进行转化

二、视图变换（View transformation）

我们在准备视图变换的时候，需要定义三个量：
①“相机”所处的位置 e
②“相机”朝向的方向 g
③“相机”向上的方向，也就是相机本身的旋转，会导致成像是否为旋转的 t
定义以上三个方向的向量，我们就可以将相机本身如何成像给固定下来了。

定义了相机的朝向始终是对着-z方向，这样图像映射到屏幕上的方向就是+z方向，相机的向上方向始终是对着y方向，相机始终固定在原点。

因此我们首先将“相机”位置移到原点，然后再利用线性变换将g对着-z方向，t对着y方向，这样e自然就对着x方向，**这里我们需要注意，写一个齐次矩阵是先做线性变换在做平移，而在这里是先做平移再做线性变换。**由于我们这里求原始的旋转不好求，但是我们旋转后的结果是互相正交的标准坐标系，是很好写的，因此我们可以很好的求出旋转矩阵的逆矩阵

例如，其中的逆矩阵乘以一个向量[1,0,0,0]就可以得到X对到g x t方向后x，y，z的坐标，由此类推其他，所以我们可以得到视图变换的矩阵：

因此将相机落到这个固定的位置上，其他物体也自然的落到了这个所需要的位置上

/*传入摄像机坐标(将摄像机移动到原点，同时移动其他所有物体，因为摄像机和物体都是运动同样位置，所以相对位置其实不变)*/
Eigen::Matrix4f get_view_matrix(Eigen::Vector3f eye_pos)
{
    //初始化view为单位矩阵(用来返回)
    Eigen::Matrix4f view = Eigen::Matrix4f::Identity();
    Eigen::Matrix4f translate;
    //移动到原点
    translate << 1, 0, 0, -eye_pos[0], 0, 1, 0, -eye_pos[1], 0, 0, 1,
        -eye_pos[2], 0, 0, 0, 1;
    //单位矩阵乘以矩阵A还是等于A
    view = translate * view;
    return view;
}
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三、投影变换（Projection transformation）

我们在绘制图的时候，会有两种方式绘制立方体，一种是正交投影，他里面立方体的棱是平行的，另外一种则是透视投影，他里面的棱则会相交，这两种视图最本质的区别是：正交投影不会产生近大远小的现象，而透视投影可以在图形学中，正交投影相当于让相机放的无限远，光都是平行射入相机，而在透视投影中则是光从远处汇集到相机那一点。

1.正交变换（Orthographic projection Transformation）

我们的正交投影在图形学中实际上就是包含两步：
①将一个任意形状的立方体的中心移到原点上来
②对各坐标轴进行缩放或扩大来将立方体映射为一个正方体。
我们定义了空间中这个立方体的左右，也即x轴上；下上，也即y轴上；前后，也即z轴上，其中注意，由于我们看的是-z方向，所以其实一个物体离我们近，那么z值比较大，离我们远，则z值比较小，所以在这里远是小于近的。这也是我们为了保证右手坐标系才这样设定的，所以有一些图形API为了保证远大于近，所以设了左手系，比如OpenGL，但这样会导致x叉乘y不再等于z，所以有的答案正好是负的，是因为坐标系不同导致的。

所以我们可以很容易的得到相应的转换矩阵，其中平移矩阵为负号是因为要向所处区域的负方向移动，变换矩阵分子为2则是因为分母的距离是整个棱长，而我们只需要棱长的一半进行放缩即可。

经过计算即可得：

2.投影变换（Perspective projection Transformation）

首先我们回顾当初学齐次坐标时，我们定义了点（x,y,z,1）与（kx,ky,kz,k）是同一个点（k≠0）

我们观察透视投影和正交投影的区别，无非是透视投影是从一个大的远景上投到一个小的近景（Frustum）上，而正交透影则是远景近景都很小。因此我们想到了一个办法，就是先将远景“挤”成近景，然后在对近景进行正交投影，就完成了透视投影。

在“挤”的过程中，我们规定近平面永远不变，对远平面的“挤”则要保持z值永远不变，以及两平面的中心点也不会发生变化。“挤”的过程其实就是一个相似三角形的关系，其中x，y，z我们都知道，唯独n不知道：


所以我们可以得到齐次坐标这个公式，其中z变换后得到n我们是未知的

所以我们可以得到一个公式，即为一个代表“挤”操作的矩阵乘上（x,y,z,1）后得到对应向量：

所以我们可以推得这个矩阵的部分：

我们此时可以用到前面定义的两个概念，即近处的点完全不变，远处的点z不变，而该矩阵第三行代表的即为对z的变化，因此我们可以设立一个向量为（x,y,n,1），它近处的点通过映射还是变为它自己也就是（nx,ny,n²,n），由此我们得出公式：

这里面前面两项必为0是因为所得的结果由于不含x、y，所以一定为0，但后面两项不能确定，可以A=N,B=0，也可以A=0,B=n²。我们再利用远平面的（0,0,f,1）映射后还是（0,0,f,1），因此我们可以得到类似的式子：

将两个式子联立，可以得到：

即可得到我们的透视矩阵：

所以我们再把正交投影的矩阵与其相乘，即可得到透视投影的矩阵：

将前面的矩阵进行计算即可得：

接下来有一个小问题，那就是中间的点，在经过挤压以后，其z值是更偏向近处n还是远处f，我们可以假设中间向量为（0,0,(n+f)/2,1），那么将M透视与他相乘后，可以得到新的向量

因此我们可以看出来变换后的z是变近还是变远，取决于原来的n和f值
我们得到了通过透视投影可以得到一个画面，我们对这个画面定义了两个概念：分别是长宽比和透视角度（默认为垂直的，当然也可以通过垂直的来求水平的）

将这两个概念带入原来的定义，那么我们可以用之前的量的来表示这两个概念：

所以我们一旦定义了一个角度和宽高比就可以得到其他的远近，左右，上下的量。

//eye_fov 视场角
//aspect_ratio 纵横比(长宽比)
//zNear 视锥Frustum的近平面与摄影机的单位距离(视为不变)
//zFar 视锥Frustum的远平面与摄影机的单位距离(视为不变)
//透视矩阵=正交矩阵*透视矩阵->正交矩阵
//构建透视投影
Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float zNear, float zFar)
{
    // Students will implement this function
    //初始化为单位矩阵
    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();
    //正交矩阵
    Eigen::Matrix4f orth = Eigen::Matrix4f::Identity();
    //透视矩阵->正交矩阵
    Eigen::Matrix4f pertoorth = Eigen::Matrix4f::Identity();
    float halfEyeAngelRadian = eye_fov / 2 / 180.0 * MY_PI;
    //传入的只是znear和zfar，不是坐标，因为是z轴负半轴所以是负的
    float n = -1 * zNear;
    float f = -1 * zFar;
    //可以看一下图，应该一看就明白了
    float t = zNear * std::tan(halfEyeAngelRadian);// top / znear = tan(halfEyeAngelRadian)
    float r = t * aspect_ratio;// top / right = aspect_ration
    float l = (-1) * r;//
    float b = (-1) * t;//
    orth << 2 / (r - l), 0, 0, 0,
        0, 2 / (t - b), 0, 0,
        0, 0, 2 / zNear - zFar, 0,
        0, 0, 0, 1;
    pertoorth << n, 0, 0, 0,
        0, n, 0, 0,
        0, 0,n + f, -1 *  n * f,
        0, 0, 1, 0;
    projection = orth * pertoorth;
    return projection;
}

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四、视口变换（Viewport Transformation）

在图形学中，屏幕其实就是一个二维的数组，里面存的是像素，其中我们用分辨率来表示像素（Pixel）的多少，例如1980*720即为我们常见的720p，在图形学中，我们定义了像素为一个一个的小方块，每个像素有着一个颜色并且方块该颜色是均匀的，我们用三个数字来表示它红绿蓝（RGB）三色的强度等级，组合在一起的颜色即为该像素块的颜色。

屏幕是一个典型的光栅成像设备（光栅即为屏幕），光栅化即为把东西画在屏幕上。在图形学中，我们定义像素的坐标都在（0,0）与（width-1，height-1）中，屏幕的范围则在（0,0）到（width，height）中，但由于像素是一个一个边长为1的方块，所以像素的中心点坐标实际上为（x+0.5,y+0.5）

所以我们要在x,y方向上的[-1,1]的二维空间映射到[0,width]x[0,height]的空间上，我们要先对其进行放缩，然后再将原点从（0,0）移到（width/2,height/2）所以视口变换的矩阵为：

Reference

[1]百度百科——罗德里格旋转公式
[2]计算机图形学二：视图变换(坐标系转化，正交投影，透视投影，视口变换)