Gumbel-Softmax Trick和Gumbel分布 附VAE讲解_gumbel softmax的gumbel分布

转自https://www.cnblogs.com/initial-h/p/9468974.html 写的非常好，思路清晰，顺带连VAE trick也讲了

之前看MADDPG论文的时候，作者提到在离散的信息交流环境中，使用了Gumbel-Softmax estimator。于是去搜了一下，发现该技巧应用甚广，如深度学习中的各种GAN、强化学习中的A2C和MADDPG算法等等。只要涉及在离散分布上运用重参数技巧时(re-parameterization)，都可以试试Gumbel-Softmax Trick。

  这篇文章是学习以下链接之后的个人理解，内容也基本出于此，需要深入理解的可以自取。

• The Humble Gumbel Distribution
• The Gumbel-Max Trick for Discrete Distributions
• The Gumbel-Softmax Trick for Inference of Discrete Variables
• 如何理解Gumbel-Max trick？

  这篇文章从直观感觉讲起，先讲Gumbel-Softmax Trick用在哪里及如何运用，再编程感受Gumbel分布的效果，最后讨论数学证明。

目录

• 一、Gumbel-Softmax Trick用在哪里
  • 问题来源
  • Re-parameterization Trick
  • Gumbel-Softmax Trick
• 二、Gumbel分布采样效果
• 三、数学证明

一、Gumbel-Softmax Trick用在哪里

问题来源

  通常在强化学习中，如果动作空间是离散的，比如上、下、左、右四个动作，通常的做法是网络输出一个四维的one-hot向量(不考虑空动作)，分别代表四个动作。比如[1,0,0,0]代表上，[0,1,0,0]代表下等等。而具体取哪个动作呢，就根据输出的每个维度的大小，选择值最大的作为输出动作,即argmax(v)

。

  例如网络输出的四维向量为v=[−20,10,9.6,6.2]

，第二个维度取到最大值10，那么输出的动作就是[0,1,0,0]，也就是下，这和多类别的分类任务是一个道理。但是这种取法有个问题是不能计算梯度，也就不能更新网络。通常的做法是加softmax函数，把向量归一化，这样既能计算梯度，同时值的大小还能表示概率的含义。softmax函数定义如下：

 

σ(zi)=ezi∑j=1Kezj

 

  那么将v=[−20,10,9.6,6.2]

通过softmax函数后有σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]，这样做不会改变动作或者说类别的选取，同时softmax倾向于让最大值的概率显著大于其他值，比如这里10和9.6经过softmax放缩之后变成了0.591和0.396，6.2对应的概率更是变成了0.013，这有利于把网络训成一个one-hot输出的形式，这种方式在分类问题中是常用方法。

  但是这么做还有一个问题，这个表示概率的向量σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]并没有真正显示出概率的含义，因为一旦某个值最大，就选择相应的动作或者分类。比如σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]和σ(v)=[0,0.9,0.1,0]

在类别选取的结果看来没有任何差别，都是选择第二个类别，但是从概率意义上讲差别是巨大的。所以需要一种方法不仅选出动作，而且遵从概率的含义。

  很直接的方法是依概率采样就完事了，比如直接用np.random.choice函数依照概率生成样本值，这样概率就有意义了。这样做确实可以，但是又有一个问题冒了出来：这种方式怎么计算梯度？不能计算梯度怎么用BP的方式更新网络？

  这时重参数(re-parameterization)技巧解决了这个问题，这里有详尽的解释，不过比较晦涩。简单来说重参数技巧的一个用处是把采样的步骤移出计算图，这样整个图就可以计算梯度BP更新了。之前我一直在想分类任务直接softmax之后BP更新不就完事了吗，为什么非得采样。后来看了VAE和GAN之后明白，还有很多需要采样训练的任务。这里举简单的VAE(变分自编码器)的例子说明需要采样训练的任务以及重参数技巧，详细内容来自视频和博客。

Re-parameterization Trick

  最原始的自编码器通常长这样：



  左右两边是端到端的出入输出网络，中间的绿色是提取的特征向量，这是一种直接从图片提取特征的方式。
  而VAE长这样:



  VAE的想法是不直接用网络去提取特征向量，而是提取这张图像的分布特征，也就把绿色的特征向量替换为分布的参数向量，比如说均值和标准差。然后需要decode图像的时候，就从encode出来的分布中采样得到特征向量样本，用这个样本去重建图像，这时怎么计算梯度的问题就出现了。
  重参数技巧可以解决这个问题，它长下面这样:



  假设图中的x

和ϕ表示VAE中的均值和标准差向量，它们是确定性的节点。而需要输出的样本z是带有随机性的节点，重参数就是把带有随机性的z变成确定性的节点，同时随机性用另一个输入节点ϵ代替。例如，这里用正态分布采样，原本从均值为x和标准差为ϕ的正态分布N(x,ϕ2)中采样得到z。将其转化成从标准正态分布N(0,1)中采样得到ϵ,再计算得到z=x+ϵ⋅ϕ。这样一来，采样的过程移出了计算图，整张计算图就可以计算梯度进行更新了，而新加的ϵ

的输入分支不做更新，只当成一个没有权重变化的输入。

  到这里，需要采样训练的任务实例以及重参数技巧基本有个概念了。

Gumbel-Softmax Trick

  VAE的例子是一个连续分布(正态分布)的重参数，离散分布的情况也一样，首先需要可以采样，使得离散的概率分布有意义而不是只取概率最大的值，其次需要可以计算梯度。那么怎么做到的，具体操作如下：

  对于n

维概率向量π,对π对应的离散随机变量xπ

添加Gumbel噪声，再取样

 

xπ=argmax(log(πi)+Gi)

 

  其中，Gi

是独立同分布的标准Gumbel分布的随机变量，标准Gumbel分布的CDF为F(x)=e−e−x。
  这就是Gumbel-Max trick。可以看到由于这中间有一个argmax操作，这是不可导的，所以用softmax函数代替之，也就是Gumbel-Softmax Trick，而Gi可以通过Gumbel分布求逆从均匀分布生成，即Gi=−log(−log(Ui)),Ui∼U(0,1)

,这样就搞定了。

  具体实践是这样操作的,

• 对于网络输出的一个n

维向量v,生成n个服从均匀分布U(0,1)的独立样本ϵ1,...,ϵn

•  
• 通过Gi=−log(−log(ϵi))
• 计算得到Gi
•  
• 对应相加得到新的值向量v′=[v1+G1,v2+G2,...,vn+Gn]

•  
• 通过softmax函数

 

στ(v′i)=ev′i/τ∑j=1nev′j/τ

 

  计算概率大小得到最终的类别。其中τ

是温度参数。

  直观上感觉，对于强化学习来说，在选择动作之前加一个扰动，相当于增加探索度，感觉上是合理的。对于深度学习的任务来说，添加随机性去模拟分布的样本生成，也是合情合理的。

二、Gumbel分布采样效果

  为什么使用Gumbel分布生成随机数，就能模拟离散概率分布的样本呢？这部分使用代码模拟来感受它的优越性。这部分例子和代码来自这里。

  首先Gumbel分布的概率密度函数长这样：

 

p(x)=1βe−z−e−z

 

  其中z=x−μβ

。

  Gumbel分布是一类极值分布，那么它表示什么含义呢？原链接举了一个ice cream的例子，没有get到点。这里举一个类似的喝水的例子。
  比如你每天都会喝很多次水(比如100次)，每次喝水的量也不一样。假设每次喝水的量服从正态分布N(μ,σ2)

(其实也有点不合理，毕竟喝水的多少不能取为负值，不过无伤大雅能理解就好，假设均值为5)，那么每天100次喝水里总会有一个最大值，这个最大值服从的分布就是Gumbel分布。实际上，只要是指数族分布，它的极值分布都服从Gumbel分布。那么上面这个例子的分布长什么样子呢，作图有

from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mean_hunger = 5
samples_per_day = 100
n_days = 10000
samples = np.random.normal(loc=mean_hunger, size=(n_days, samples_per_day))
daily_maxes = np.max(samples, axis=1)
 
def gumbel_pdf(prob,loc,scale):
    z = (prob-loc)/scale
    return np.exp(-z-np.exp(-z))/scale
 
def plot_maxes(daily_maxes):
    probs,hungers,_=plt.hist(daily_maxes,density=True,bins=100)
    plt.xlabel('Volume')
    plt.ylabel('Probability of Volume being daily maximum')
    (loc,scale),_=curve_fit(gumbel_pdf,hungers[:-1],probs)
    #curve_fit用于曲线拟合
    #接受需要拟合的函数（函数的第一个参数是输入，后面的是要拟合的函数的参数）、输入数据、输出数据
    #返回的是函数需要拟合的参数
    # https://blog.csdn.net/guduruyu/article/details/70313176
    plt.plot(hungers,gumbel_pdf(hungers,loc,scale))
    
plt.figure()
plot_maxes(daily_maxes)

  那么gumbel分布在离散分布的采样中效果如何呢？可以作图比较一下。先定义一个多项分布，作出真实的概率密度图。再通过采样的方式比较各种方法的效果。

  如下代码定义了一个7类别的多项分布，其真实的密度函数如下图

n_cats = 7
cats = np.arange(n_cats)
probs = np.random.randint(low=1, high=20, size=n_cats)
probs = probs / sum(probs)
logits = np.log(probs)
def plot_probs():
    plt.bar(cats, probs)
    plt.xlabel("Category")
    plt.ylabel("Probability")
plt.figure()
plot_probs()

  首先我们直接根据真实的分布利用np.random.choice函数采样对比效果

n_samples = 1000
def plot_estimated_probs(samples,ylabel=''):
    n_cats = np.max(samples)+1
    estd_probs,_,_ = plt.hist(samples,bins=np.arange(n_cats+1),align='left',edgecolor='white',density=True)
    plt.xlabel('Category')
    plt.ylabel(ylabel+'Estimated probability')
    return estd_probs
def print_probs(probs):
    print('  '.join(['{:.2f}']`len(probs)).format(`probs))
 
samples = np.random.choice(cats,p=probs,size=n_samples) 
 
plt.figure()
plt.subplot(1,2,1)
plot_probs()
plt.subplot(1,2,2)
estd_probs = plot_estimated_probs(samples)
plt.tight_layout()#紧凑显示图片
 
print('Original probabilities:\t\t',end='')
print_probs(probs)
print('Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(estd_probs)

Original probabilities:  0.11 0.05 0.12 0.21 0.12 0.26 0.14
Estimated probabilities: 0.12 0.04 0.12 0.23 0.10 0.26 0.13

  效果意料之中的好。可以想到要是没有不能求梯度这个问题，直接从原分布采样是再好不过的。

  接着通过前述的方法添加Gumbel噪声采样，同时也添加正态分布和均匀分布的噪声作对比

def sample_gumbel(logits):
    noise = np.random.gumbel(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
gumbel_samples = [sample_gumbel(logits) for _ in range(n_samples)]
 
def sample_uniform(logits):
    noise = np.random.uniform(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
uniform_samples = [sample_uniform(logits) for _ in range(n_samples)]
 
def sample_normal(logits):
    noise = np.random.normal(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
normal_samples = [sample_normal(logits) for _ in range(n_samples)]
 
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,4,1)
plot_probs()
plt.subplot(1,4,2)
gumbel_estd_probs = plot_estimated_probs(gumbel_samples,'Gumbel ')
plt.subplot(1,4,3)
normal_estd_probs = plot_estimated_probs(normal_samples,'Normal ')
plt.subplot(1,4,4)
uniform_estd_probs = plot_estimated_probs(uniform_samples,'Uniform ')
plt.tight_layout()
 
print('Original probabilities:\t\t',end='')
print_probs(probs)
print('Gumbel Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(gumbel_estd_probs)
print('Normal Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(normal_estd_probs)
print('Uniform Estimated probabilities:',end='')
print_probs(uniform_estd_probs)

Original probabilities:      0.11 0.05 0.12 0.21 0.12 0.26 0.14
Gumbel Estimated probabilities: 0.11 0.04 0.11 0.23 0.12 0.26 0.14
Normal Estimated probabilities:  0.08 0.02 0.11 0.26 0.11 0.29 0.12
Uniform Estimated probabilities: 0.00 0.00 0.00 0.32 0.01 0.63 0.03

  可以明显看到Gumbel噪声的采样效果是最好的，正态分布其次，均匀分布最差。也就是说可以用Gumbel分布做Re-parameterization使得整个图计算可导，同时样本点最接近真实分布的样本。

三、数学证明

  为什么添加Gumbel噪声有如此效果，下面阐述问题并给出证明。

  假设有一个K

维的输出向量，每个维度的值记为xk

,通过softmax函数可得，取到每个维度的概率为：

 

πk=exk∑Kk′=1exk′

 

  这是直接softmax得到的概率密度函数，如果换一种方式，对每个xk

添加独立的标准Gumbel分布(尺度参数为1，位置参数为0)噪声，并选择值最大的维度作为输出，得到的概率密度同样为πk。

  下面给出Gumbel分布的概率密度函数和分布函数，并证明这件事情。

  尺度参数为1，位置参数为μ

的Gumbel分布的PDF为

 

f(z;μ)=e−(z−μ)−e−(z−μ)

 

  CDF为

 

F(z;μ)=e−e−(z−μ)

 

  假设第k

个Gumbel分布对应xk,加和得到随机变量zk=xk+Gk,即相当于zk服从尺度参数为1，位置参数为μ=xk的Gumbel分布。要证明这样取得的随机变量zk与原随机变量相同，只需证明取到zk的概率为πk。也就是zk比其他所有zk′(k′≠k)大的概率为πk

，即

 

P(zk≥zk′;∀k′≠k|{xk′}Kk′=1)=πk

 

  关于zk

的条件累积概率分布函数为

 

P(zk≥zk′;∀k′≠k|zk,{xk′}Kk′=1)=P(z1≤zk)P(z2≤zk)⋅⋅⋅P(zk−1≤zk)P(zk+1≤zk)⋅⋅⋅P(zK≤zk)

 

  即

 

P(zk≥zk′;∀k′≠k|zk,{xk′}Kk′=1)=∏k′≠ke−e−(zk−xk′)

 

  对zk

求积分可得边缘累积概率分布函数

 

P(zk≥zk′;∀k′≠k|{xk′}Kk′=1)=∫P(zk≥zk′;∀k′≠k|zk,{xk′}Kk′=1)⋅f(zk;xk)dzk

 

  带入式子有

 

P(zk≥zk′;∀k′≠k|{xk′}Kk′=1)=∫∏k′≠ke−e−(zk−xk′)⋅e−(zk−xk)−e−(zk−xk)dzk

 

  化简有

 

P(zk≥zk′;∀k′≠k|{xk′}Kk′=1)=∫∏k′≠ke−e−(zk−xk′)⋅e−(zk−xk)−e−(zk−xk)dzk=∫e−∑k′≠ke−(zk−xk′)−(zk−xk)−e−(zk−xk)dzk=∫e−∑Kk′=1e−(zk−xk′)−(zk−xk)dzk=∫e−(∑Kk′=1exk′)e−zk−zk+xkdzk=∫e−e−zk+ln(∑Kk′=1exk′)−zk+xkdzk=∫e−e−(zk−ln(∑Kk′=1exk′))−(zk−ln(∑Kk′=1exk′))−ln(∑Kk′=1exk′)+xkdzk=e−ln(∑Kk′=1exk′)+xk∫e−e−(zk−ln(∑Kk′=1exk′))−(zk−ln(∑Kk′=1exk′))dzk=exk∑Kk′=1exk′∫e−e−(zk−ln(∑Kk′=1exk′))−(zk−ln(∑Kk′=1exk′))dzk=exk∑Kk′=1exk′∫e−(zk−ln(∑Kk′=1exk′))−e−(zk−ln(∑Kk′=1exk′))dzk

 

  积分里面是μ=ln(∑Kk′=1exk′)

的Gumbel分布，所以整个积分为1。则有

 

P(zk≥zk′;∀k′≠k|{xk′}Kk′=1)=exk∑Kk′=1exk′

 

  这和softmax的结果一致。