关于Eigen库的矩阵分解方法选取与范数_eigen 矩阵范数

作者：小丑西瓜9 | 2024-02-12 17:25:17

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eigen 矩阵范数

在非线性优化中，大多数要构建最小二乘方程组，求解需要进行矩阵分解，判断算法收敛性的时候，需要矩阵(向量)的范数，最常用的库之一当然有Eigen。Eigen提供了多种分解方法，以至于在实际选用的时候不知道用哪种方法好（我也是遇到这种尬的问题，要是只提供一种方法，我想都不想，直接***）。

一、Eigen矩阵分解

Eigen库只有头文件，cmake再使用的时候只需要包含头文件就行了，不需要进行链接。

Eigen主要提供了以下几种分解方法：Cholesky分解（包括LLT、LDLT），QR分解，SVD分解，LU分解（包括ParttialPivLU、FullPivLU）这四种分解法，对应Eigen库的头文件包括：

#include <Eigen/Cholesky>

#include <Eigen/QR>

#include <Eigen/SVD>

#include <Eigen/LU>

下图表示了对于这几种方法分解，对矩阵的最基本要求：比如ParttialPivLU要求矩阵可逆，LLT要求矩阵正定，LDLT要求矩阵可以半正定；

方法的选择主要跟系数矩阵相关：

1、如果系数矩阵是对于非对称、可逆的：则最适合的分解求解方法是partialPivLu；

2、如果系数矩阵是对称、正定的（正定方程组）：则最适合的分解方法是 llt 或ldlt；

3、求解通用的欠定或超定线性方程组的最小二乘解：svd，可以认为BDC是Jacobi的扩展版本，是兼容它的，对于小矩阵 (<16)，最好直接使用JacobiSVD 。对于较大的，强烈建议使用BSDCSVD，它可以快几个数量级；

4、如果矩阵可逆，选用QR分解也比较好，一般使用ColPivHouseholderQR（列旋转，稳定性比较高），速度也介于三个中间；

更具体的可以直接去官网查看：

二、范数及Eigen的调用

1、向量 $v = \begin{Bmatrix} x1, & x2,& x3,& ... \end{Bmatrix}$ 的p范数

表示： $\left \| v \right \|_{p}$ ，注意是右下标

计算： $\sqrt[p]{\left | x1 \right |^{p}+\left | x2 \right |^{p}+\left | x3 \right |^{p}+...}$

===> 于是有：

0-范数，向量中非零元的个数；
1-范数，向量中各个元素绝对值之和；
2-范数，向量中各元素的平方之和再开方；==（向量的模）

(正/负)无穷范数，所有向量元素绝对值最大(小)值；

2、矩阵A的范数

Frobenius范数，矩阵中所有元素平方和再开根；

0范数，矩阵中非0元素的个数；（矩阵稀疏度）；

1范数(列范数)，矩阵中每列元素的绝对值之和的最大值；

2范数(谱范数)，矩阵的最大奇异值（奇异值大于0的）。也等于 $A^{T}A$ 最大特征值的平方根；

无穷范数(行范数)，矩阵中每行元素的绝对值之和的最大值；

3、Eigen计算：

对矩阵、向量计算都适用：

squaredNorm(): 各元素平方之和；等价于向量 $v^{T}v$ ；

norm(): 向量2范数，模长；

模板函数：lpNorm<xx>()

lpNorm<1>(): 向量1范数；

lpNorm<EIgen::Infinity>(): 向量无穷范数；

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