数学建模【粒子群算法】

一、粒子群算法简介

这里通过共享信息的鸟群来引出粒子群算法

• 场景：一群鸟在森林随机寻找食物，目标是找到食物量最多的位置
• 关键：鸟群通过叫声交流，随时共享自己的位置和发现的食物量
• 这样鸟群就知道当前在哪个位置食物的量最多
• 每只鸟根据自己的记录和从鸟群获取的信息调整下一步搜索的方向
• 每只鸟都记录自己经过位置的食物量最多的位置--------个体最优解
• 每只鸟都知道整个鸟群记录过的食物量最多的位置--------群体最优解
• 鸟具有惯性，有保持自身原有方向的趋势。但鸟也会学习
• 鸟学习个体经验，有向个体最优解飞行的趋势
• 鸟学习社会经验，有向群体最优解飞行的趋势
• 惯性、个体经验和社会经验是鸟决策需要的信息

迭代

• 决策信息指导下一步飞行→总有鸟更靠近食物→更新信息指导再下一步飞行
• 如此正反馈，整个鸟群始终在不断靠近食物

用其对比于粒子群

二、适用赛题

多目标优化问题

• 充电站布局优化（美赛）、系泊系统的设计（国赛）、背包问题
• 当目标函数复杂、变量多（维度高），传统求解方法速度很慢
• 粒子群算法的最大优点：快！（尤其是高维度且目标函数复杂的优化问题）

寻优问题

• 复杂函数寻优、神经网络训练、模式分类、模糊系统控制、TSP问题等
• 直接求解，或为这些问题的模型提供初始值或参数优化

算法优缺点

• 优点：收敛快，简单易实现，几乎任何寻优问题都能用其求解
• 缺点：局部搜索能力较差，搜索精度不够高（如何改进?）

三、模型流程

四、流程分析

这里以一个例题贯穿分析：寻优：非线性方程求解

传统方法的局限性

• 物理学和现实中的数学模型常常归结为求解非线性方程
• 传统Newton法等计算量大，经常求导困难，且收敛性与结果很受与初始值的影响
• 避开传统数学方法，启发式算法可以“遍地撒网，重点捞鱼”

二维复杂函数

• Schaffer函数形式简单但具有很强的复杂性
• 有着无数个极小值点，且强烈震荡
• x1，x2 ∈ [-10, 10]

1.参数初始化

本题显而易见有两个变量x1和x2，空间维度是2。 

初始位置和位移是随机的，或作为参数输入

2.变量初始化

①适应度

适应度就是模型的目标函数值

初始时将上一步初始化好的位置带入得到每一个粒子的适应度（函数值）

②最优解

• 最优解对应适应度的最大还是最小值，取决于求解的问题
• 第i只鸟的个体最优解记作pbesti（p表示personal）
• 比较全部鸟的pbest，找出其中最佳的，记作全局最优解gbest（g表示global）
• pbesti：第i只鸟曾经去过的适应度最高的位置，初始时自然为初始值
• Yi：个体最优解对应的适应度
• gbest：每只鸟都有个体最优解，其中对应的适应度Yi最高的解设为全局最优解
• Y：全局最优解对应的适应度
• 适应度最高 = 函数值最优 = 最小化问题求得最小值/最大化问题求得最大值

3.更新粒子速度和位置

①速度

• ：第k次迭代中第i只鸟的速度（位移）
• ：第k-1次迭代中第i只鸟的当前位置
• ：分别表示惯性、个体经验和社会经验的权重
• ：第k次迭代前，第i只鸟记录的个体最优解
• ：第k次迭代前，鸟群的全局最优解
• 除权重系数外，各量都是向量，本式的本质是向量加减
• 位移 = 速度 * 时间，算法中默认时间为1，因此位移 = 速度

公式分析

• C1 = 0时鸟是盲从的，不学习自身经验
• C2 = 0时鸟是自大的，不学习社会经验
• w偏大时，有利于全局搜索，但收敛性差
• w偏小时，有利于局部搜索，但运算更慢

理想情况

• 前期粒子较为分散，进行全局搜索避免过早收敛陷入局部最优，需要w偏大
• 后期粒子较为集中，进行局部搜索，求解更精确，需要w偏小
• 改进方法：权重线性递减、自适应权重、随机权重等

②位置

当前位置 + 位移量（时间默认为1，所以速度 = 位移）

4.更新粒子适应度

将新位置带入目标函数计算得适应度

5.更新最优解

和2类似，最优解对应适应值的最大还是最小值取决于求解的问题

• ：和相比较，取最优
• ：所有鸟的和相比较，取最优

6.迭代与终止

重复3到5，直到满足终止条件或最大迭代次数

输出最终解位置和对应的适应度

至此，求解完成