通俗易懂说“张量”_三阶张量

Dan Fleisch的这段视频堪称经典，用极简单的语言与道具，为我们展示了——曾帮助爱因斯坦证明相对论，又帮助Ｇoogle使Tensorflow流行天下的张量到底是什么。视频有点长，12分钟，但弄懂一个伟大的方法，还是值得的。

张量是一种表示物理量的方式，这个方式就是用

基向量

与

分量

组合表示物理量（Combinationof basis vector and component）。

由于基向量可以有丰富的组合，张量可以表示非常丰富的物理量。

此外，

张量所描述的物理量是不随观察者或者说参照系而变化的

，当参照系变化时（其实就是基向量变化），其分量也会相应变化，最后结果就是基向量与分量的组合（也就是张量）保持不变。这一点对于我们

构造数据对象，进而展开分析建模，有着至关重要的意义

。

回顾过去我们对“量”的认识过程，我们都懂得用“一个数”来表示数量（标量），用“一个数组”（列矩阵或行矩阵）来表示一个向量，这都属于代数手法。

如果采用几何手法，标量中的实数可以表示为一维坐标系（如数轴）上的一个点，复数可以表示为二维坐标系（如复平面）上的一个点。向量通常可以表示为二维、三维或更高维坐标系中的一个空间点或有向线段。

如果我们把代数手法和几何手法结合起来即采用解析几何的手法，向量又可以表示为某种坐标基向量和坐标分量的线性组合。

那么现在，我们接触的张量该如何表示呢？让我们逐“阶”而上，看看

张量的数据结构形象

1、一阶张量（向量）

不妨首先假定在三维空间中，则一个一阶张量（向量）有3个分量，可以表示为一个有序3元数组或1×3阶的行矩阵

Tj = [T1 T2 T3]

在n维空间中，一个一阶张量（向量）有n个分量，可以表示为一个有序n元数组，或表示为一个1×n阶行矩阵

Tj = [T1 T2 ...... Tn]

也就是说，一个一阶张量（向量）可以用一个行矩阵表示，似乎构成“一条直线”。

2、二阶张量

在三维空间中，一个二阶张量则有9个分量，可以表示为一个有序9元数组或3×3阶的矩阵

一般地，在n维空间中，一个二阶张量有n2个分量，可以表示为一个有序n2元数组，或表示为一个n×n阶矩阵

也就是说，一个二阶张量可以用一个矩阵表示，似乎构成“一张平面”。如下图所示： 图：二阶张量矩阵平面

3、三阶张量

在三维空间中一个三阶张量

有27个分量，似乎可以构成一组3个矩阵，每个矩阵都是3×3个元素。设想“三张平面”构成一个“立方体”。如下图所示：

图1：三阶张量数据

如果在n维空间，一个三阶张量

有n^3个分量，也可以构成n个矩阵，每个矩阵都是n×n个元素。设想“n张平面”构成一个“立方体”，好像一块积木。如下图所示：

图2：三阶张量立方体积木

4、四阶张量

继续探讨我们的“积木游戏”。在三维空间中一个四阶张量

有81个分量，似乎可以构成一组9个矩阵，每个矩阵都是3×3个元素。设想每“三张平面”构成一个“立方体”，共有3个“立方体”或曰3块“积木”。3块“积木”排成一列，好像由矩阵构成的“阵列”。

如果在n维空间，一个四阶张量

有n^4个分量，也可以构成n^2个矩阵，每个矩阵都是n×n个元素。设想每“n张平面”构成一个“立方体”（一块积木），n块积木排成一列。我们把这样相互关联的一组矩阵叫做“阵列”。如下图所示：

图3：四阶张量数据阵列

5、五阶张量

如果是n维空间中的一个五阶张量

，共有n^5个分量，则可以构成n^3个矩阵。设想每n张平面（矩阵）构成一块积木，每n块积木构成一条阵列，共有n条阵列，可以垒成“一堵墙”。假如以元素（张量的分量）为单位，这堵“墙”的高和长都是n^2，厚度是n。以3维空间为例，如下图所示：

图4：五阶张量阵列墙（设n＝3）

6、六阶张量

对于6阶张量，n^6个分量可以组成n^4张矩阵平面，构成n^3块积木，再排成n^2条阵列，垒成n堵墙，最后拼成一个方垛。以3维空间为例，如下图所示：

图5：六阶张量数据方垛（设n＝3）

7、M阶张量

一般地，在n维空间中的一个M阶张量共有

个分量，可以组成

张矩阵平面，构成

块积木，再排成

条阵列，垒成

堵墙，最后拼成

个方垛，再排成

条方垛阵列，......依此类推。

我的天啊！太恐怖啦！不要怕，计算机最擅长作这类数据结构的运算和处理。这就是在计算机时代的今天为什么要研究和普及张量算法的原因。

我们在探讨张量理论时，通常拿少维空间中的低阶张量作例子，除了采用数组、矩阵等代数手法表示张量外，还可以采用并矢的线性组合等解析几何的手法来表示张量。至于几何手法，除了在少维空间中一阶张量还具有几何意义之外，其它张量的几何意义也就苦无良策了。不过今天有了计算机处理张量，几何意义也就无关紧要了。