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Python在数学建模当中的应用（未完）_python 数学建模 pdf

作者：小小林熬夜学编程 | 2024-03-10 19:07:53

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python 数学建模 pdf

施法前摇：高等数学、线性代数、概率与数理统计、数值计算等.

1 函数极值与规划模型

1.1 线性规划模型

1.1.1 线性代数预备知识

线性代数的本质

问题是线性的
约束是线性的

线性代数主要用于解决线性关系问题.

行列式（求解线性方程组）

I.二阶行列式与对角线法则

$\left | \begin{matrix} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{matrix} \right | =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

II.逆序数

设 $p_1p_2\cdots p_n$ 是 $1,2,\cdots,n$ 这 $n$ 个自然数的任意排列，并规定从小到大为标准次序.

先看有多少个比 $p_1$ 大的数排在 $p_1$ 前面，记为 $t_1$ ；
再看有多少个比 $p_2$ 大的数排在 $p_2$ 前面，记为 $t_2$ ；
......
最后看有多少个比 $p_n$ 大的数排在 $p_n$ 前面，记为 $t_n$ ；
则此排列的逆序数为 $t=t_1+t_2+\cdots+t_n.$

III.n阶行列式

$D=\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | =\sum_{p_1p_2\cdots p_n}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} = \det(a_{ij})$

其中 $a_{ij}$ 为行列式 $D$ 的 $(i,j)$ 元.

注意：

一阶行列式 $|-1|=-1$

IV.行列式的性质

行列式与它的转置行列式相等
互换行列式的两行（列），行列式变号
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零；即：若存在一个常数 $k$ ，使 $a_{i1}=ka_{j1},a_{i2}=ka_{j2},\cdots,a_{in}=a_{jn}$ ，则 $D=0$
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则等于对应的两个行列式之和

V.行列式的计算

VI.方阵的行列式

注意区分行列式、方阵、矩阵、方阵的行列式.

方阵是一个二维数组，其中每个元素是一个一维数组，其行数与列数相同，即方阵是“ $n^2$ 个数按照一定方式排成的数表”；

矩阵

I.矩阵与线性变换：系数矩阵

II.矩阵的运算：矩阵的加法（同型矩阵）、数乘矩阵、矩阵与矩阵相乘

III.转置矩阵运算规律

把矩阵 $\mathbf{A}$ 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫作 $\mathbf{A}$ 的转置矩阵，记为 $\mathbf{A^T}.$

$\mathbf (1)(A^T)^T=A\\ (2)(A+B)^T=A^T+B^T\\ (3)(\lambda A)^T=\lambda A^T\\ (4)(AB)^{T}=B^TA^T$

IV.单位矩阵、纯量阵

单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即：

$E_m A_{m\times n} = A_{m\times n}E^{n}=A$

特征值与特征向量

1.1.2 Python预备知识

线性规划及Python实现 - 知乎

1.1.3 运用python进行矩阵的运算


#引入numpy库
import numpy as np
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
c = np.array([[1,2,3]])
d = np.array([[9,8,7],[3,2,1]])
 
#矩阵加法
sum  = a + d
 
#矩阵放缩
e = 3*a
 
#数乘，矩阵乘
e = np.dot(a,b)
 
#元素乘
e = a*d 
 
#转置
e = c.T
e = np.array([[1,2],[3,4]])
 
#逆矩阵
result = np.linalg.det(e)
 
#矩阵的秩
e = np.linalg.matrix_rank(d)

1.1.4 线性规划标准形式

存在不等约束时变换可应用松弛变量
规划问题的核心在于决策变量，目标函数和约束条件

松弛变量用于将约束条件转化为等式，是简化问题的一种方式.

在线性规划问题中，每个问题都可以表示为一个等式，若出现需要将小于等于的约束条件转化为等式的情况，就需要引入松弛变量.

引入松弛变量后，我们可以在更大的可行域内求解问题，同时保持问题的凸性.

举个栗子：

若有 $eq?g%28x%29%5Cleq0$ ，令 $eq?g%28x%29%20+%20s%20%3D%200$ ，其中 $eq?s$ 即为松弛变量，其取值范围为非负实数.

什么时候需要引入松弛变量？

需要将线性规划化成标准形式
遇到绝对值问题
不等式过多，甚至出现非线性不等关系

标准形式之一（规范式）：

$eq?%5Cmin%20c%5ET%5C%5C%20%5C%5C%20s.t.%5Cbegin%7Bcases%7D%20Ax%5Cleq%20b%5C%20%26%5B1%5D%5C%5C%20Aeq%5Ccdot%20x%3Dbeq%5C%20%26%5B2%5D%5C%5C%20Ib%5Cleq%20x%5Cleq%20ub%5C%20%26%5B3%5D%20%5Cend%7Bcases%7D$

把方程组改写成矩阵形式.

决策变量，目标函数，约束条件

不等式组条件的矩阵化 [1]
方程组条件的矩阵化 [2]
每个变量自己的取值范围 [3]
目标函数的向量化
取极值

标准形式之二（一般式）：

$eq?%5Cmax%20z%20%3D%20c%5ETX%5C%5C%20%5C%5C%20s.t.%5Cbegin%7Bcases%7D%20A%5Cwidetilde%7BX%7D%20%3D%20b%5C%5C%20%5Cwidetilde%7BX%7D%5Cgeq%200%20%5Cend%7Bcases%7D$

1.1.5 图解法（找出凸集的顶点）

图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。

注意图解法只适用于有两个决策变量的问题.

可行域一定是凸集.

【运筹学】课程精讲 |1.1 线性规划问题-图解法_哔哩哔哩_bilibili

图解法求解步骤（以存在唯一最优解的情况为例）

由全部约束条件作图求出可行域（绘制约束条件的函数图线，找出满足所有约束条件的平面区域）
作目标函数等值线，确定使目标函数最优的移动方向（赋予目标函数一个值，绘制等值线的函数图像，作出移动方向的法线）
平移目标函数的等值线，找出最优点，算出最优值（将目标函数图线沿着法线平移，直到与可行域有且仅有一个交点）

如果不能通过平移使目标函数与可行域有且仅有一个交点，那么就不存在唯一最优解，而存在无穷多最优解.

如果无论如何平移目标函数都始终与可行域交点数量相同，那么就存在无界解，出现这种情况时，建模是不完备的，需要找出更多约束条件.

当可行域为空集时，存在无解或无可行解，出现这种情况时，往往是在建模时写下了两个相互矛盾的约束条件.

1.1.6 康-希表上作业法（运输问题）

某商品有 $m$ 个产地、 $n$ 个销地，各产地的产量分别为 $a_1,\cdots,a_m$ ，各销地的需求量分别为 $b_1,\cdots,b_n$ .若该商品由 $i$ 产地运到 $j$ 销地的单位运价为 $c_{ij}$ ，问应该如何调运才能使总运费最省？

解：引入变量 $x_{ij}$ ，其取值为由 $i$ 产地运往 $j$ 销地的该商品数量，数学模型为

$\min \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{ij}\\ s.t. \begin{cases} \sum_{n}^{j=1}x_{ij} = a_i,i=1,\cdots,m\\ \sum_{i=1}^{m}x_{ij}=b_j,j=1,2,\cdots,n\\ x_{ij}\geq0 \end{cases}$

1.1.7 单纯形法（向量和基分解）

固定变量，变换基向量求方程组带入，检验是否为最优解.

单纯形法要求约束条件都为等式，因此需要引入松弛变量

$eq?maximize%3Az%3Dx_1+2x_2%5C%5C%20subject%5C%20to%3A%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20-3x_1%20+2x_2%5Cleq%203%5C%5C%20x_1%20+x_2%5Cleq%202%5C%5C%20x_1-x_2%5Cleq1%5C%5C%20x_1%2Cx_2%5Cgeq0%20%5Cend%7Bcases%7D%5CRightarrow$ $eq?maximize%3Az%3Dx_1+2x_2%5C%5C%20subject%5C%20to%3A%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x_3%3D3+3x_1%20-2x_2%5C%5C%20x_4%3D2-x_1%20-x_2%5C%5C%20x_5%3D1-x_1-x_2%5C%5C%20x_1%2Cx_2%2Cx_3%2Cx_4%2Cx_5%5Cgeq0%20%5Cend%7Bcases%7D$

1.1.8 蒙特卡洛法（以频率估计概率）

在可行域范围内生成大批量随机数据点，观测这些数据点在什么位置取得近似最优；但由于线性问题可以得到准确解，因此蒙特卡洛法更适用于解非线性问题.

1.2 整数规划模型

1.2.1 0−1型整数规划

0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量 $x_{j}$ 仅取值0或1；这时 $x_{j}$ 称
为0-1变量，或称二进制变量； $x_{j}$ 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件： $0\leq x_{j}\leq1$ ，整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的.

1.2.2 分枝定界法（可求纯或混合整数线性规划）

求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等.

1.2.3 割平面法（可求纯或混合整数线性规划）

1.2.4 隐枚举法（求解0-1整数规划）

过滤隐枚举法
分枝隐枚举法

1.2.5 匈牙利法（解决指派问题）

1.2.6 蒙特卡洛法（求解各种类型规划）

1.3 非线性规划模型

在线性规划的基础上，目标函数可以非线性，限制条件可以非线性，包括非线性的不等式和非线性的等式.

太地狱了，这是matlab的代码，不是python的.

$eq?%5Cmin%20f%28x%29%5C%5C%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20Ax%5Cleq%20B%5C%5C%20Aeq%5Ccdot%20x%20%3D%20Beq%5C%5C%20C%28x%29%5Cleq%200%20%5C%5C%20Ceq%28x%29%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

1.3.1 高等数学预备知识

多元函数

多元函数的微分
多元函数的极值

拉格朗日乘子法与KKT

类比松弛变量的思想.

1.3.2 二次规划基本形式

目标函数形式如果是一个二次函数，那么就是一个二次规划.

$eq?%5Cmin%20f%3D2x_1%5E2+3x_1x_3-x_2%5E2%5C%5C%20s.t.%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x_1%5E2%20-2x_2+3x_3%3D4%5C%5C%20x_1+x_2-x_3%5Cleq6%5C%5C%202x_1-x_2+x_3%5Cleq15%5C%5C%20x_1%2Cx_2%2Cx_3%3E0%20%5Cend%7Bcases%7D$

附录：相关文章，书籍与课程（本文参考）

职责分工

建模手

熟悉数学和统计知识：包括微积分、线性代数、概率论等
学习建模技巧：包括问题抽象和建模、模型求解和结果分析等
阅读优秀的建模作品：阅读一些获奖或者优秀的建模作品，了解别人在建模过程中的思路和方法

写作手

论文要力图通俗易懂，能让人明白你用什么方法解决了什么问题，结果如何，有什么特点。为此，应尽可能使论文的表述清晰、主题明确、论述严密、层次分明、重点突出、符合科技论文的写作规范。同时，要注意论文的写作工作是贯穿始终的，在建模的每个阶段都应该把你的主要思路和工作写下来，这是论文写作时的第一手材料。

——《数学建模方法及其应用》

【LaTeX中文学习教程（用于论文或稿件排版，15集全）-哔哩哔哩】

编程手

基于Python的数学建模课程

【数学建模导论：基于Python语言（2022年秋季学期）-哔哩哔哩】

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