【leetcode】数组专场，二分查找，左右边界问题_算法边界问题

一、标准的二分查找

直接上正题，什么是二分查找？

顾名思义：二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，标准的折半查找，要求必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列

寻找一个数这个场景，可能也是大家比较熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}
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这就是一个标准二分查找框架，我们来聊一下其中的细节

1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？

• 答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

2、什么时候应该停止搜索呢？

• 当然，找到了目标值的时候可以终止：if(nums[mid] == target) return mid; ，但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。

3、那 while 循环什么时候应该终止？

• 搜索区间为空的时候应该终止，意味着遍历了一遍，没找到对应的值，就停止了。

  • while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，带个具体的数字进去 [6, 5]，因为没有数字既大于等于 6 又小于等于 5 的。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

  • while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，带个具体的数字进去 [5, 5]，这时候还有一个数 5，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [5, 5] 被漏掉了，索引 5 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，只要漏掉的索引判断一下就好了：

    //...
    while(left < right) {
        // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;
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4、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？有的代码是 right = mid 或者 left = mid，怎么判断？

• 答：这也是二分查找的一个细节，刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。

  那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

  当然是去搜索区间 [left, mid-1] 或 [mid+1, right] ，因为 mid 已经搜索过。

至此，我们已经掌握了该算法的大部分细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

• 比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。

  但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

二、寻找左侧边界的二分查找

以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    
    int left = 0, right = nums.length; // 注意
    
    while (left < right) { // 注意
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    return left;
}
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1、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

• 答：先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
  
  对于这个数组，算法会返回索引 1。

  这个索引 1 的含义可以理解为为「nums 中为 2 的元素的最左边索引」。

  • 比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。

  • 再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

  综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

  while (left < right) {
      //...
  }
  // target 比所有数都大
  if (left == nums.length) return -1;
  // 类似之前算法的处理方式
  return nums[left] == target ? left : -1;
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2、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

• 答：因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步应该去 mid 的左侧或者右侧区间搜索，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

3、为什么该算法能够搜索左侧边界？

• 答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

      if (nums[mid] == target)
          right = mid;
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  可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

4、为什么返回 left 而不是 right？

• 答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

5、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

• 答：当然可以，只要明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素。下面我们严格根据逻辑来修改：

  因为要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

  int left_bound(int[] nums, int target) {
      // 搜索区间为 [left, right]
      int left = 0, right = nums.length - 1;
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[mid] < target) {
  	    // 搜索区间变为 [mid+1, right]
  		    left = mid + 1;
  		} else if (nums[mid] > target) {
  		    // 搜索区间变为 [left, mid-1]
  		    right = mid - 1;
  		} else if (nums[mid] == target) {
  		    // 收缩右侧边界
  		    right = mid - 1;
  		}
      }
  }    
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  由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界
  
  所以，只要在循环结束的时候，检查left是否越界就可以了，完整代码如下：

  int left_bound(int[] nums, int target) {
      int left = 0, right = nums.length - 1;
      // 搜索区间为 [left, right]
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[mid] < target) {
              // 搜索区间变为 [mid+1, right]
              left = mid + 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              // 搜索区间变为 [left, mid-1]
              right = mid - 1;
          } else if (nums[mid] == target) {
              // 收缩右侧边界
              right = mid - 1;
          }
      }
      // 检查出界情况
      if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
          return -1;
      }
      return left;
  }
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三、寻找右侧边界的二分查找

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;
    
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}
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1、为什么这个算法能够找到右侧边界？

• 答：类似地，关键点还是这里：if (nums[mid] == target) left = mid + 1;，当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的左边界 left，使得区间不断向右靠拢，达到锁定右侧边界的目的。

2、为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对?

• 答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，那为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在锁定右边界时的这个条件判断：

  // 增大 left，锁定右侧边界
  if (nums[mid] == target) 
      left = mid + 1;  // 这样看: mid = left - 1
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  因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，也就是说 while 循环结束时，nums[left] 不等于 target ，而是 nums[left-1] == target。

3、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

• 答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

  while (left < right) {
      // ...
  }
  if (left == 0) return -1;
  return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
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4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？。

• 答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：

  int right_bound(int[] nums, int target) {
      int left = 0, right = nums.length - 1;
      while (left <= right) {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[mid] < target) {
              left = mid + 1;
          } else if (nums[mid] > target) {
              right = mid - 1;
          } else if (nums[mid] == target) {
              // 这里改成收缩左侧边界即可
              left = mid + 1;
          }
      }
      // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
      if (right < 0 || nums[right] != target) {
          return -1;
      }
      return right;
  }
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  当 target 比所有元素都小时，right 会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：
  

四、统一逻辑，一套代码带走

先来看一下左闭右开区间的思路：

// 第一个，最基本的二分查找
	因为我们初始化 right = nums.length - 1
	所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
	所以决定了 while (left <= right)
	同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
	
	因为我们只需找到一个 target 的索引即可
	所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

// 第二个，寻找左侧边界的二分查找
	因为我们初始化 right = nums.length
	所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
	所以决定了 while (left < right)
	同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
	
	因为我们需找到 target 的最左侧索引
	所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
	而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

// 第三个，寻找右侧边界的二分查找
	因为我们初始化 right = nums.length
	所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
	所以决定了 while (left < right)
	同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
	
	因为我们需找到 target 的最右侧索引
	所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
	而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
	
	又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
	所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
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再来看一下左闭右闭区间的思路：

int binary_search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; 
    // <= : 闭区间[left, right]内查找
    // 若一直未找到，left = right + 1，写成区间：[right + 1, right]
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1; 
        } else if(nums[mid] == target) {
            // 直接返回
            return mid;
        }
    }
    // 直接返回
    return -1;
}

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // <=: 闭区间[left, right]内查找
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
        	// 搜索区间变为[mid, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
        	// 搜索区间变为[left, mid - 1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，收缩右边界，锁定左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 最后要检查 left 越界的情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
        return -1;
    }
    return left;
}

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
        	// 搜索区间变为[mid + 1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
        	// 搜索区间变为[left, mid - 1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，收缩左边界，锁定右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后要检查 right 越界的情况
    if (right < 0 || nums[right] != target) {
        return -1;
    }
    return right;
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