深度学习常用激活函数_hyperbolic tangent function

神经网络构架过程中常用的激活函数表达式，函数图像和优缺点

激活函数决定输入信号是否或多大程度上应该通过节点（或神经元）传递到下一层。众所周知，神经网络的运算是线性的，引入非线性的激活函数，可以提高神经网络的拟合能力。下面讲解释一些常见的激活函数。

1. Logistic Sigmoid Function (逻辑S形函数）

数学表达式：$$\sigma (x)=\frac{1}{1+exp(-x)}$$
函数图像：
Sigmoid函数将输入数据转化到 0~1 之间的输出。具体而言，当输入为负数时，输入越小，输出越接近0；当输入为正数时，输入越大，输出越接近1；
缺点：（1）造成梯度消失，靠近1和0两端时，梯度几乎为0，无法更新参数；
   （2）输出不是以0为均值，导致下一层输入为非0均值，影响更新参数。

2. Hyperbolic Tangent Function (双曲正切函数）

数学表达式：$$tanh(x)=\frac{2}{1+exp(-2x)}-1=2\cdot \sigma (2x)-1$$
函数图像：

tanh函数是Sigmoid函数的变形，将输入数据转化到 -1~1 之间，具体的输入与输出趋势可以从图像中观察。总之，这两个激活函数，面临着相同的饱和问题，即当输入是非常大的正数或者非常小的负数的时候，它们的梯度都无限趋近于0，只有当输入在0附近时，两个激活函数才比较敏感，这极大影响了梯度训练方法的实用性。也正是由于这个原因，使得Sigmoid和tanh函数在激活函数中的受欢迎程度越来越低。
缺点：解决了Sigmoid函数的第二个问题，即输出不以0为均值，但仍然存在梯度消失问题。

3. Rectifier Linear Unit (ReLU , 整流线性单元）

整流函数(Rectifier Function)类似于线性函数，唯一的区别是当输入是负数时，其输出为0。在神经网络中，采用这种激活函数的单元被称为整流线性单元(Rectifier Linear Unit )
数学表达式： R e L U ( x ) = m a x { 0 , x } ReLU(x)=max\{ 0,x\} ReLU(x)=max{0,x}
函数图像：

当输入是正值时，整流函数的输出和输入是相等的，当时输入是负值时，函数的输出为0。在神经网络的每一层中，一般只有少数节点被激活，这确保了计算的高效性。
优点：（1）相比于sigmoid 和 tanh 函数而言，加速梯度下降的收敛速度，不存在梯度消失的问题 ；
   （2）计算方法更加简单，只需一个阈值过滤就可得到结果。
缺点：
训练时“脆弱”，函数本质上是不可逆的，直接去掉输入小于0的部分，会使梯度为 0 ，导致参数无法更新。但是可以通过设置较小的学习率来避免这个小问题，因此，ReLU函数也成为神经网络结构普遍常用的函数。

4. LeakyReLU (带泄露整流线性单元）

数学表达式：$$LeakyReLU(x)=\{\begin{array}{ll}\alpha x& \text{x<0}\\ x& \text{x≥0}\end{array}$$
函数图像：

LeakyReLU是ReLU函数的变体，当输入为负值时，该单元会对输入进行一个小幅度的现象变换。
优点：修复了ReLU函数训练“脆弱”的缺点，不将$x<0$部分变为0，而是变得很小。
注意：这里并不是说，LeakyReLU $\gg$ ReLU，只是说，LeakyReLU函数在训练过程中，不会显得那么“脆弱”，具体在神经网络的搭建中，选取激活函数，还是要根据特定的任务来选择。

5. Exponential Linear Unit (ELU , 指数线性单元）

数学表达式：$$ELU(x)=\{\begin{array}{ll}c(exp(x)-1)& \text{x<0}\\ x& \text{x≥0}\end{array}$$
其中，$c\in (0,1)$ 表示一个正值的常数，决定了当输入为负数时，对应指数函数的斜率。
函数图像：

优点：通过减少偏置偏移的影响，使得训练梯度更接近于单位自然梯度，从而使均值向0加速学习。
缺点：含有幂运算，会使得计算成本增加。

补充： Maxout 函数

这里再补充一个maxout函数，这个函数其实很好理解，先看表达式
数学表达式： M a x o u t ( x ) = m a x { w 1 x + b 1 , w 2 x + b 2 } Maxout(x)=max\{ w_{1}x+b_{1},w_{2}x+b_{2}\} Maxout(x)=max{w1​x+b1​,w2​x+b2​}
可以发现，当$w_1,b_1=0$的时候，就是ReLU函数。
优点方面和ReLU函数是一样的，作为一个“部分”线性函数，解决了梯度消失问题，但是也存在最致命的缺点就是，相比于ReLU函数训练模型的参数加倍，导致模型的存储变大。

这里给出一个不官方的激活函数排名

ReLU > Maxout > ELU > Tanh > Sigmoid

一般在同一网络中，我们都使用同一类型的激活函数。当然，通俗来讲，是一个模型一般使用一个激活函数，具体到VAE,
AAE, GANs这样会存在两个模型结合的情况，就会存在两个不一样的激活函数了。
但是大家都知道的，任何的激活函数使用都是需要根据自己构建模型的任务需求来的，所以具体问题具体分析了。

#函数可视化的代码也附一下
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

plt.rc('font',family='Times New Roman', size=15)

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

def tanh(x):
    result = (math.e ** (x) - math.e ** (-x)) / (math.e ** (x) + math.e ** (-x))
    return result

def relu(x):
    return np.where(x < 0, 0, x)

def leaky_relu(x):
    a = x[x > 0]
    b = 0.1 * x[x < 0]
    result = np.concatenate((b, a), axis=0)
    return result

def elu(x, alpha=1):
    a = x[x > 0]
    b = alpha * (math.e ** (x[x < 0]) - 1)
    result = np.concatenate((b, a), axis=0)
    return result

# 举例sigmoid函数，其他的使用matplotlib可视化就行
x = np.arange(-10, 10, 0.1)
#y = sigmoid(x)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
ax.plot(x, y,color="black", lw=1.5)
plt.xticks(fontsize=15)
plt.yticks(fontsize=15)
plt.xlim([-10.05, 10.05])
plt.ylim([-0.02, 1.02])
plt.text(-9, 0.6, '—Sigmoid Function',)
plt.tight_layout()
plt.show()
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