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易错知识点（数学一）

作者：小小林熬夜学编程 | 2024-03-29 08:15:16

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易错知识点（数学一）

一、高数部分

一、反常积分判敛

1、构造 $lim_{x\rightarrow\alpha} (x-\alpha)^pf(x)$ 使其极限等于一个大于0的常数

1）前者通过：化等价无穷小 or 泰勒展开

2）若存在p>1使得等式成立，则收敛

考察形式：1、已知收敛，求f(x)中的幂次取值范围

主要思想：比较判敛法的极限形式

2、若上限为∞，则构造 $\frac{1}{x^{\alpha-\sigma}}\frac{f(x)}{x^{\sigma}},\sigma\rightarrow0$ ，判断 $lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{\sigma}}$ 的极限值，若为0则收敛，此时 $\alpha > 1$

二、欧拉微分方程

y``(t)+(p-1)y`(t)+qy(t) = 0

（1）化特征方程（2）讨论解的个数（3）求C！！

三、曲率and曲率半径

$K = \frac{|y``|}{(1+y`^{2})^{\frac{3}{2}}},R= \frac{1}{K}$

四、场论初步

1、 $grad \textbf{u}= \frac{\partial{u}}{\partial{x}}i+ \frac{\partial{u}}{\partial{y}}j$

2、 $\frac{\partial{l}}{\partial{u}}|_M = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}cos\alpha+ \frac{\partial{u}}{\partial{y}}cos\theta$

注1：角度通过，给定的方向l求，若题目说与梯度方向相同则取1

注2: 可以和多元微分结合，f(x,y)沿任何方向的方向导数都存在，且方向导数大于0，则取极小值

3、 $div \textbf{u} = \frac{\partial{P}}{\partial{x}} + \frac{\partial{Q}}{\partial{y}} + \frac{\partial{R}}{\partial{z}}$

4、 $rot \textbf{u} = \begin{bmatrix} i & j& k\\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ P&Q &R \end{bmatrix}$

注：若问在某一点的xx，则直接代入数

五、线面积分

1、积分与路径无关的隐含条件

1） $du = Pdx + Qdy$

六、多元微分方程

1、已知 $lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{g(x,y)} =a$ ，讨论（0,0)的极值问题

1）保号性，脱帽**

2）根据a*g(x,y)的正负可以判断，f(x,y)与f(0,0)的大小关系

e.g g(x,y)>0,a<0，则f(x,y)-f(0,0)<0

2、可微、偏导连续、偏导存在、导数存在、函数连续

a.偏导连续➡️可微➡️偏导存在

➡️函数连续

b.偏导都存在不代表极限存在

1）判断偏导存在（可微？极限存在？）

1️⃣让x或y确定为某一个数，再讨论另一个自变量对函数的影响

e.g $lim_{x\rightarrow0}f(x,0)$

2)已知某极限，形如 $lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}{\frac{\delta f-df}{\sqrt{x^2+y^2}}}$ ,若极限等于0，则可微

七、傅立叶级数

解题思路：

1、判断奇偶性：通过S(x)含有什么三角函数判断

2、判断周期性：通过积分上下限或题目给出

3、若未给出函数，求出函数（隐含在积分之中，bn或者an）。可能为分段函数

4、求具体的值：狄利克雷收敛定理，连续时收敛于f(x)，发散时收敛于 $\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$

八、无穷级数求和函数

1、简易泰勒展开形式

2、跳项形式，跳项变号(选填时快速解题，大题节省步骤）

不变号： $\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{2n+1}x^{2n+1} = \frac{ln(1+x)-ln(1-x)}{2}$

变号： $\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^{n}*\frac{x^{2n+1}}{2n+1} = arctanx$

大题步骤：

1）对求和函数，求导，得到非跳项的S(x)再转为找泰勒展开式

3、微分方程结合

给定 an与an-1 的关系式，利用S(x)，S`(x)，S``(x)中的关系求出S(x)

e.g.

$na_n = \frac{2}{3}a_{n-1} - (n-1)a_{n-1}$

$S(x) = \sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n,S`(x) = \sum^{\infty}_{n=1}na_{n}x^{n-1}$

此时可以将1️⃣式带入S`(x)中

九、泰勒公式在大题中的应用

1、带拉格朗日余项的

$f(x)=f(x_0)+f`(x_0)(x-x_0)+\frac{f``(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+..+\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{n+1!}(x-x_0)^{n+1}$

e.g. 已知二阶导性质，｜f``(x) |<=1，证明：|f`(x)|<=1/2

展开至一阶，利用二阶的拉格朗日余项

2、构造函数

通常可以，通过解微分方程来求得，辅助函数。

一般反解出C，C即为所求的辅助函数。

十、旋转体体积

$V_x=2\pi\int^{a}_{b}f(y)dy,V_y = \pi\int^{a}_{b}xf^2(x)dx$

1、确定坐标轴上的点，具体的图像是如何的不用知道

2、解出关于x的式子（绕y轴），关于y的式子（绕x轴）

3、代入公式

二、线性代数

一、线性方程组同解

1️⃣秩是否相等？2️⃣联立后，秩是否与原来的矩阵的秩相等？

e.g

A为n阶实矩阵，E为n阶单位矩阵

$\begin{pmatrix} E & O\\ O & A^T \end{pmatrix} x =0$ $\begin{pmatrix} E & A^T\\ A & O \end{pmatrix}x=0$

此处矩阵1，与矩阵2的秩都为n+r(A)

联立后， $\begin{pmatrix} E & O\\ O & A^T\\ E & A^T\\ A & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & O\\ O & A^T\\ O & O\\ O & O \end{pmatrix}$ ，秩与原来的矩阵秩相同，所以同解

此处用到了， $r(AA^T)=r(A)$ ,即 $A^TAx=0,Ax=0$ 同解

二、矩阵A、行列式A的n次幂

1、行列式A的n次幂

性质：1、 $|A| = \prod \lambda_i$

2、矩阵A的n次幂

1）可拆解成向量相乘的

        2）相似矩阵 $A^n = PB^nP^{-1}$



3）对角矩阵的n次幂：

         $\Lambda = \begin{vmatrix} a & & \\ & b & \\ & & c \end{vmatrix} , \sqrt{\Lambda} = \begin{vmatrix} \sqrt{a} & & \\ & \sqrt{b} & \\ & & \sqrt{c} \end{vmatrix}$

（2021.数一）对角矩阵的n次幂可用于求C的分解

$\because C^2 = (a+3)E-A\\ \because(a+3)E-A=P^{-1}\Lambda P\\ \therefore C^2 = P^{-1}\sqrt{\Lambda}P\ P^{-1} \sqrt{\Lambda}P\\ \therefore C = P^{-1}\sqrt{\Lambda}P$

三、向量空间

* x = Cy

* 由基 $\alpha_{1} , \alpha_{2},\alpha_{3} ..$ 到基 $\beta_1,\beta_2,\beta_3..$ 的过渡矩阵C

极为重要！：记为 $[\beta_1,\beta_2,\beta_3] = [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]C$

1、证明： $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 为 $R^3$ 的一个基

1）、R中的向量都能由 $\beta$ 线性表出

$x_1\beta_1+x_2\beta_2+x_3\beta_3 = \alpha$

2）、向量 $\beta$ 之间线性无关

2、坐标变换：

已知某向量，在基底 $\alpha$ 下的坐标为(x1,x2,x3)，求基底 $\beta$ 下的坐标(y1,y2,y3)

<过渡矩阵C为，由基 $\alpha_{1} , \alpha_{2},\alpha_{3} ..$ 到基 $\beta_1,\beta_2,\beta_3..$ >

代入坐标变换公式：

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = C\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{bmatrix}$

三、概率论部分

一、大数定律、中心极限定理

1、大数定律： $P\{\frac{{}\sum_{1}^{n}X_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma} \leq x\} = \phi(x)$

关键：1）求均值，方差 2）标准化

将左边的关系式，进行标准化，得出的x就是概率

2、中心极限定理

切比雪夫不等式： $P\{|X-Ex| \geq \varepsilon \} \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon}$

关键：1）均值、方差

注1:X可以为比较复杂的形式，但将其看为一个整体

eg. $\mu_k=E(X_{1}^{k}),P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\mu_2| \geq \varepsilon \} \leq ?$ ，此时X等于一整个求和部分，所以要求的方差也是关于这个整体的，即 $D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2})$

二、各分布数字特征

分布期望方差
0-1分布 p p(1-p)
二项分布 np np(1-p)
泊松分布 $\lambda$ $\lambda$
几何分布 $\frac{1}{p}$ $\frac{1-p}{p^2}$
正态分布 $\mu$ $\sigma^2$
均匀分布 $\frac{a+b}{2}$ $\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $\frac{1}{\lambda}$ $\frac{1}{\lambda^2}$

分布	期望	方差
0-1分布	p	p(1-p)
二项分布	np	np(1-p)
泊松分布	$\lambda$	$\lambda$
几何分布	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
正态分布	$\mu$	$\sigma^2$
均匀分布	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$

三、"刚好遇见你"（求分布函数，概率分布）

已知关系式Z=XY Z=X+Y Z=X-Y

1）反解Y，Y = X - Z , Y = Z/X

2）将反解Y 代入取值范围之中，(e.g. 0<y<1 ➡️ 0 < z-x< 1)

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二、欧拉微分方程

三、曲率and曲率半径

四、场论初步

五、线面积分

六、多元微分方程

1、已知，讨论（0,0)的极值问题

2、可微、偏导连续、偏导存在、导数存在、函数连续

1）判断偏导存在（可微？极限存在？）

2)已知某极限，形如,若极限等于0，则可微

七、傅立叶级数

八、无穷级数求和函数

1、简易泰勒展开形式

2、跳项形式，跳项变号(选填时快速解题，大题节省步骤）

大题步骤：

3、微分方程结合

九、泰勒公式在大题中的应用

1、带拉格朗日余项的

十、旋转体体积

二、线性代数

一、线性方程组同解

二、矩阵A、行列式A的n次幂

1、行列式A的n次幂

2、矩阵A的n次幂

（2021.数一）对角矩阵的n次幂可用于求C的分解

三、向量空间

1、证明：为的一个基

2、坐标变换：

已知某向量，在基底下的坐标为(x1,x2,x3)，求基底下的坐标(y1,y2,y3)

三、概率论部分

一、大数定律、中心极限定理

1、大数定律：

2、中心极限定理

二、各分布数字特征

三、"刚好遇见你"（求分布函数，概率分布）

1、构造 $lim_{x\rightarrow\alpha} (x-\alpha)^pf(x)$ 使其极限等于一个大于0的常数

2、若上限为∞，则构造 $\frac{1}{x^{\alpha-\sigma}}\frac{f(x)}{x^{\sigma}},\sigma\rightarrow0$ ，判断 $lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{\sigma}}$ 的极限值，若为0则收敛，此时 $\alpha > 1$

1、已知 $lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{g(x,y)} =a$ ，讨论（0,0)的极值问题

2)已知某极限，形如 $lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}{\frac{\delta f-df}{\sqrt{x^2+y^2}}}$ ,若极限等于0，则可微

1、证明： $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 为 $R^3$ 的一个基

已知某向量，在基底 $\alpha$ 下的坐标为(x1,x2,x3)，求基底 $\beta$ 下的坐标(y1,y2,y3)

1、大数定律： $P\{\frac{{}\sum_{1}^{n}X_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma} \leq x\} = \phi(x)$