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【从零开始数学建模（2）】简单优化-存贮模型_存贮模型的模型检验

作者：小小林熬夜学编程 | 2024-04-18 09:57:07

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存贮模型的模型检验

前言

简单的优化模型，归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。

用数学建模方法处理一个优化问题

确定优化目标是什么，寻求决策是什么，决策受到哪些条件限制
对实际问题作若干合理的简化假设、用数学工具（变量、常数、函数等）表示他们
在用微分法求出最优决策后，要对结果作出一些定性、定量分析和必要检验

不允许缺货存储模型

问题情境：配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费用，现在已知某一部件的日需求量100键，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元，如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可以使总费用最小。

问题分析

若每天生产1次，每次100件，无贮存费，生产准备费5000元，每天费用5000元；
若10天生产1次，每次1000件，贮存费 $900+800+...+100=4500$ 元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；
若50天生产1次，每次5000件，贮存费 $4900+4800+...+100=122500$ 元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元；

从上面的计算来看，生产周期端、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。所以必然存在一个最佳的周期，使总费用最小。

一般地，考察这样的不允许缺货的存贮模型：产品的需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货，确定生产周期和产量，使得总费用最小。

模型假设

时间和产量为离散量，为了处理方便我们考虑连续模型，即设生产周期T与产量Q均为连续量。根据问题性质作出以下假设：

产品每天的需求量为常数 $r$ .
每次生产准备费 $c_{1}$ ，每天每件产品的贮存费 $c_{2}$ .
生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降为零时， $Q$ 件产品立即生产出来供给需求，即不允许出现断货。

模型建立

将贮存量表示为时间t的函数 $q(t)$ ， $t=0$ 生产 $Q$ 件，贮存量 $q(0)=Q$ ， $q(t)$ 以需求速率 $r$ 递减，直到 $q(T)=Q$ ，如图1，显然有

$Q=rT$

（1）

一个周期内的贮存费是 $c_{2}\int_{0}^{T}q(t)dt$ ，其中的积分恰等于图1中三角形A的面积 $QT/2$ ，因为一个周期的准备费是 $c_{1}$ ，再注意到（1）式，等到一个周期的总费用为

$\bar{C}=c_{1}+c_{2}QT/2=c_{1}+c_{2}rT^{2}/2$

（2）

于是每天的费用为：

$C(T)=\bar{C}/T=c_{1}/T+c_{2}rT/2$

（3）

（3）式为这个优化模型的目标函数。

模型求解

求 $T$ 使得（3）式的 $C$ 最小，容易得到

$T=\sqrt{\frac{2c_{1}}{c_{2}r}}$

（4）

代入（1）式可得

$Q=\sqrt{\frac{2c_{1}r}{c_{2}}}$

（5）

由（3）式算出最小的总费用为

$C=\sqrt{{2c_{1}}{c_{2}r}}$

（6）

（4）、（5）式是经济学中著名的经济订货批量公式（EOQ公式）

结果解释

由（4）、（5）式可以看到，当准备费 $c_{1}$ 增加时，生产周期和产量都变得大；当贮存费 $c_{2}$ 增加时，生产周期和产量都变得小；当需求量 $r$ 增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果都是符合常识的。

用得到的模型计算开始的问题：以 $c_{1}=5000,c_{2}=1,r=100$ 代入（4）（6）式可得到 $T=10$ 天， $C=1000$ 元，这里得到的 $C$ 与之前计算的 $C=950$ 有微小的误差的原因来自于将离散模型简化成连续模型，当各变量取较大数值时，误差会越来越小。

敏感性分析

讨论参数 $c_{1},c_{2},r$ 有微小变化时对生产周期 $T$ 的影响。

用相对该变量衡量结果对参数的敏感程度， $T$ 对 $c_{1}$ 的敏感度记作 $S(T,c_{1})$ ，定义为

$S(T,c_{1})=\frac{\Delta T/T}{\Delta c_{1}/c_{1}}\approx \frac{dT}{dc_{1}}\frac{c_{1}}{T}$

（7）

由（4）式容易得到 $S(T,c_{1})=1/2$ . 类似的可得到 $S(T,c_{2})=-1/2$ ， $S(T,r)=-1/2$ .

即 $c_{1}$ 增加1%， $T$ 增加0.5%，而 $c_{2}$ 或 $r$ 增加1%， $T$ 减少0.5%。参数 $c_{1},c_{2},r$ 有微小变化时对生产周期 $T$ 的影响是很小的。

允许缺货存储模型

在某些情况下用户允许短时间的缺货，虽然这会造成一定的损失，但是如果损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费的话，允许缺货模型就应该是可以采取的策略。

模型假设

下面讨论一种简单的允许缺货模型：不允许缺货模型的假设1，2不变，假设3改为：

产品每天的需求量为常数 $r$ .
每次生产准备费 $c_{1}$ ，每天每件产品的贮存费 $c_{2}$ .
生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费为 $c_{3}$ ，但缺货数量在需在下次生产（或订货）时补足。

模型建立

因贮存量不足时造成缺货时，可认为贮存量函数 $q(t)$ 为负值，如图2.周期仍记作 $T$ ， $Q$ 是每周期初的贮存量，当 $t=T_{1}$ 时 $q(t)=0$ ,于是有

$Q=rT_{1}$

（8）

在 $T_{1}$ 到 $T$ 这段缺货时段内需求率 $r$ 不变， $q(t)$ 按原斜率继续下降。由于规定缺货量需补足，所以在 $t=T$ 时数量为 $R$ 的产品立即到达，使下周初的贮存量恢复到 $Q$ 。

与建立不允许缺货模型时类似，一个周期内的贮存费是 $c_{2}$ 乘以图二三角形A的面积，缺货损失费则是 $c_{3}$ 乘以图2中三角形B的面积。计算这两块面积，并加上准备费 $c_{1}$ ，得到一个周期内的总费用为

$\bar{C}=c_{1}+c_{2}QT_{1}/2+c_{3}r(T-T_{1})^2/2$

（9）

利用（8）式将模型的目标函数——每天的平均费用——记作 $T$ 和 $Q$ 的二元函数

$C(T,Q)=\frac{c_{1}}{T}+\frac{c_{2}Q^2}{2rT}+\frac{c_{3}r(T-T_{1})^2}{2rT}$

（10）

模型求解

利用微分法求 $T$ 和 $Q$ 使 $C(T,Q)$ 最小，令 $\frac{\partial C}{\partial T}=0,\frac{\partial C}{\partial Q}=0$ 可得（区分不允许缺货，最优解记作 ${T}'$ ， ${Q}'$ ）

${T}'=\sqrt{\frac{2c_{1}}{c_{2}r}\frac{c_{2}+c_{3}}{c_{3}}}$ ， ${Q}'=\sqrt{\frac{2c_{1}r}{c_{2}}\frac{c_{3}}{c_{2}+c_{3}}}$

（11）

注意到每个周期的供货量 $R=r{T}'$ ，有

$R=\sqrt{\frac{2c_{1}r}{c_{2}}\frac{c_{2}+c_{3}}{c_{3}}}$

（12）

记

$\lambda =\sqrt{\frac{c_{2}+c_{3}}{c_{3}}}$

（13）

与不允许缺货模型（3）（4）比较不难得到

${T}'=\lambda T , {Q}'=Q/\lambda , R=\lambda Q$

（14）

结果解释

由（13）式， $\lambda>1$ ，故（14）式给出 ${T}'> T , {Q}'<Q , R> Q$ ，即允许缺货时周期及供货量的增加，周期初的贮存量减少，缺货损失费 $c_{3}$ 越大（相对于贮存费 $c_{2}$ ）， $\lambda$ 越小， ${T}'$ 越接近 $T$ ， ${Q}'$ ， $R$ 越接近 $Q$ 。

特别的当 $c_{3}\rightarrow \infty$ 时 $\lambda\rightarrow 1$ ，于是 ${T}'\rightarrow T$ ， ${Q}'\rightarrow Q$ ， $R\rightarrow Q$ ，缺货损失费 $c_{3}$ 为无限大即是缺货的代价无限大，即可认为是第一种情况——不允许缺货存储模型。

由此可知不允许缺货模型可视作允许缺货模型的特例。

模型拓展

1）若在存贮模型中增加购买货物本身的费用，重新确定的最优订货周期和订货批量与原来保持一致，不论可否允许缺货，在（3）（10）两式只多了成本这个常数，不影响最值。
2）模型可拓展为生产销售模型，即开始的一段时间一边生产一边销售，后一段时间只销售不生产，（设第两阶段从T0开始，销售速率为r，生产速率为k）

参考文献：姜启源《数学模型》（第四版）

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