2024年华中杯数学建模竞赛ABC题思路分析

简单分析一下各个题目可能需要用到的方法和模型，完整代码和成品论文见文末

A题 太阳能路灯光伏板的朝向设计问题:

1. 球面几何、天文学相关知识,如赤纬角、太阳高度角、时角等概念和公式

2. 太阳辐射模型,根据太阳能辐射强度、大气衰减系数等计算地表太阳辐射强度

3. 能量计算,根据光伏板朝向、面积、太阳直射强度计算接收的太阳辐射总能量

4. 优化模型,建立目标函数(如日均总能量最大、接收有效辐射时间最长等),求解最优的光伏板朝向角度

B题 使用行车轨迹估计交通信号灯周期问题:

1. 数据处理,对轨迹坐标数据进行清洗、归一化等预处理

2. 周期估计,通过分析车辆通过路口的时间间隔规律来估计信号灯红绿灯时长

3. 统计方法,分析车流量、采样频率、样本比例对估计精度的影响

4. 异常检测,通过车辆通过路口的时间变化,判断信号灯周期是否发生改变

5. 优化算法,如果有多个路口的数据,可建立优化模型来求解所有路口的信号灯周期

C题 基于光纤传感器的平面曲线重建算法建模:

1. 几何建模,根据传感器布设间距、光纤弯曲变形,建立光纤形状的几何模型

2. 复合梯形公式等数值积分方法,根据离散的曲率数据对曲线进行重建

3. 三次样条插值等拟合方法,根据离散采样点的曲率光滑拟合出连续曲线

4. 误差分析,分析采样间隔、测量误差等因素对重建算法精度的影响

5. 优化算法,可建立优化模型求解最佳的重建参数,如采样间距、积分步长等

这三个题目都需要将实际问题抽象成几何模型,利用优化、插值、统计等数学方法求解,并对算法的精度和影响因素进行分析。

• A 题太阳能路灯光伏板的朝向设计问题

太阳能路灯由太阳能电池板组件部分（包括支架）、LED 灯头、控制箱（包含控制器、蓄电池）、市电辅助器和灯杆几部分构成。太阳能电池板通过支架固定在灯杆上端。太阳能电池板也叫光伏板， 它利用光伏效应接收太阳辐射能并转化为电能输出，经过充放电控制器储存在蓄电池中。

太阳能辐射由直射辐射和散射辐射组成，其中直射辐射对聚集太阳能系统起到了至关重要的影响。大气层对太阳能直射辐射的衰减变化量与其辐射强度、所穿过的大气层厚度成正比，其中衰减系数（W/(m2km)）反映了一个地区大气层的透光性能。通常地球表面大气层厚度按1000 公里计算，大气层可视为包裹地球的球壳。太阳光到达大气层外层上的平均太阳能辐射强度I0 为1353W/m2。受地球运行轨道及太阳光传播的距离影响，大气层外层太阳能辐射强度随时间发生改变。附件sheet2 给出了1-12 月份大气层外层太阳能辐射强度具体数值。

安装光伏板的朝向直接影响到光伏板获得太阳辐射能量的多少。光伏板的朝向包括方位角和水平仰角，方位角为光伏板的法线在水平面上的投影与正南方向的夹角。并按如下方法规定：如果一个光伏板朝向正南，那么它的方位角为零；如果一个光伏板朝向正东，那么它的方位角为90º ；如果一个光伏板朝向正西，那么它的方位角为−90 º；水平仰角为光伏电池板平面与水平面的夹角。当太阳光线和光伏板的法线方向一致时，光伏板瞬时受到的太阳照射能量最大，否则会有余弦损失。

某城区地处北纬3035，东经11419，附件sheet1 给出了该城区2023年5 月23 日晴天状况下测得地表水平面受到的太阳直射强度值。关于赤纬角、太阳高度角、太阳时角等相关概念，可参见全国大学生数学建模竞赛2012B 题附件6、2015A 题讲解和2023A 题附录。请在仅考虑太阳直射辐射的情况下建立数模，回答如下问题：

1. 请计算2025 年每月15 日，在晴天条件下，该城区一块面积为1m2 的光伏板朝向正南方且水平倾角分别为20、40、60时受到的最大太阳直射强度和太阳直射辐射总能量；

2. 如果光伏板受到的太阳直射辐射总能量最大时，可使路灯蓄电池储电量最大。请设计该城区固定安装太阳能光伏板的朝向，使光伏板在晴天条件下受到的太阳直射辐射日均总能量最大；

3. 当光板受到太阳直射强度过低时，它转换电能的效率也很低；而当光伏板受到太阳直射强度过高时，它转换电能实现储电的效率也会受到限制。理想的情况是，光伏板受到太阳直射强度上午大于150 W/m2、下午大于100 W/m2 的时间尽可能长，这样可以使路灯蓄电池的储电效率更高。综合考虑路灯蓄电池的储电效率高和储电量大这两个目标，请设计出光伏板固定安装的最优朝向，并计算晴天条件下光伏板受到的太阳直射辐射日均总能量和太阳直射辐射（上午大于150 W/m2、下午大于100W/m2）时长。

1. 1. A题总体分析

这个题目主要探讨了太阳能路灯光伏板的朝向设计问题，目的是通过优化光伏板的方位角和水平仰角，在不同的条件下最大化光伏板受到的太阳直射辐射能量，从而提高路灯蓄电池的储电量和储电效率。题目提供了该城区的地理位置信息、2023年5月23日晴天条件下的太阳直射强度测量数据，以及一些与太阳位置相关的概念和计算方法的参考资料。在此基础上，题目要求建立数学模型，分别计算2025年每月15日光伏板在不同朝向和倾角下的最大直射强度和总辐射能量，设计出在晴天条件下日均总辐射能量最大的固定安装朝向，并综合考虑储电效率和储电量两个目标，得出一个光伏板固定安装的最优朝向设计，使其在特定直射强度条件下的照射时长最长，同时计算此朝向下的日均总辐射能量。题目涉及了光伏发电、太阳辐射、天文学等多个学科的知识，需要运用数学建模的方法，通过分析计算和优化求解，得出满足实际需求的最佳设计方案。

1. 1. A题各小问分析

第一小问的目标是计算2025年每月15日，在晴天条件下，该城区一块面积为1平方米的光伏板在朝向正南且倾角分别为20°、40°、60°时受到的最大太阳直射强度和太阳直射辐射总能量。这需要利用题目提供的地理位置信息、太阳直射强度测量数据，以及太阳位置相关的计算公式，建立太阳直射辐射强度与时间、光伏板朝向和倾角之间的数学关系，从而得出每个给定日期和光伏板朝向下的最大直射强度和总辐射能量。

第二小问要求设计出该城区光伏板固定安装的最优南北朝向和倾角，使其在晴天条件下受到的太阳直射辐射日均总能量最大化。这需要在第一问的基础上，将光伏板的方位角和水平倾角作为决策变量，建立一个以日均总辐射能量为目标函数的优化模型，通过求解模型得到最优的光伏板固定安装朝向参数。

第三小问综合考虑了路灯蓄电池的储电效率和储电量两个目标，要求设计出光伏板固定安装的最优朝向，使其在满足特定直射强度条件（上午大于150 W/m²，下午大于100 W/m²）的时长最长，同时计算该朝向下的日均总辐射能量。这需要在第二问的基础上，引入新的目标函数和约束条件，建立一个多目标优化模型。其中，目标函数一是特定直射强度条件下的照射时长最大化，目标函数二是日均总辐射能量最大化，约束条件是光伏板的安装朝向参数。通过求解该多目标优化模型，可以得到光伏板固定安装的最优朝向设计，并计算相应的照射时长和日均总辐射能量。

• B 题使用行车轨迹估计交通信号灯周期问题

某电子地图服务商希望获取城市路网中所有交通信号灯的红绿周期，以便为司机提供更好的导航服务。由于许多信号灯未接入网络，无法直接从交通管理部门获取所有信号灯的数据，也不可能在所有路口安排人工读取信号灯周期信息。所以，该公司计划使用大量客户的行车轨迹数据估计交通信号灯的周期。请帮助该公司解决这一问题，完成以下任务。已知所有信号灯只有红、绿两种状态。

1. 若信号灯周期固定不变，且已知所有车辆的行车轨迹，建立模型，利用车辆行车轨迹数据估计信号灯的红绿周期。附件1 中是5 个不相关路口各自一个方向连续1 小时内车辆的轨迹数据，尝试求出这些路口相应方向的信号灯周期，并按格式要求填入表1。

2. 实际上，只有部分用户使用该公司的产品，即只能获取部分样本车辆的行车轨迹。同时，受各种因素的影响，轨迹数据存在定位误差，误差大小未知。讨论样本车辆比例、车流量、定位误差等因素对上述模型估计精度的影响。附件2 中是另外5 个不相关路口各自一个方向连续1 小时内样本车辆的轨迹数据，尝试求出这些路口相应方向的信号灯周期，按同样的格式要求填入表2。

3. 如果信号灯周期有可能发生变化，能否尽快检测出这种变化，以及变化后的新周期？附件3 中是另外6 个不相关路口各自一个方向连续2 小时内样本车辆的轨迹数据，判断这些路口相应方向的信号灯周期在这段时间内是否有变化，尝试求出周期切换的时刻，以及新旧周期参数，按格式要求填入表3，并指明识别出周期变化所需的时间和条件。

4. 附件4 是某路口连续2 小时内所有方向样本车辆的轨迹数据，请尝试识别出该路口信号灯的周期。

 附件1：路口A1、A2、A3、A4、A5 各自一个方向连续1 小时内车辆轨迹数据 附件2：路口B1、B2、B3、B4、B5 各自一个方向连续1 小时内样本车辆轨迹数据 附件3：路口C1、C2、C3、C4、C5、C6 各自一个方向连续2 小时内样本车辆轨迹数据 附件4：路口D 所有方向连续2 小时内样本车辆轨迹数据 附件5：数据文件说明及结果表格1、轨迹数据文件格式。适用于附件1-附件4 所有轨迹数据文件。纯文本文件，第一行为标题行，各列以英文逗号分隔，共5 列，分别为时间点、车辆ID、当前位置X 坐标、当前位置Y 坐标。时间点单位为秒，第0 秒开始，每1 秒采样一次。坐标单位为米。车辆ID 仅用于区分同一个文件中的不同车辆。

车辆ID 不一定是连续编号。不同文件中，相同ID 的车辆没有任何联系。同一车道可能只允许一个方向前进，也可能允许两个方向前进，如直行或左转、直行或右转等。

1. 1. B题总体分析

这是一道关于利用车辆行车轨迹数据估计交通信号灯红绿灯周期的问题。题目分为四个任务：第一，在已知所有车辆行车轨迹的情况下，建立模型估计固定周期的信号灯红绿灯时长；第二，讨论在只获取部分样本车辆行车轨迹且存在定位误差的情况下，样本比例、车流量、定位误差等因素对模型估计精度的影响；第三，探讨如何检测信号灯周期的变化，并估计变化后的新周期参数；第四，尝试识别某个路口（即附件4所示）所有方向的信号灯周期。

题目给出了四个附件数据，分别对应不同任务：附件1和2是在固定周期下不同路口车辆轨迹数据，用于任务一和二；附件3是周期可能发生变化情况下的轨迹数据，用于任务三；附件4是某路口所有方向的轨迹数据，用于任务四。同时，题目还提供了结果表格的填写要求。

这是一个实际应用性很强的问题，对于缓解交通拥堵、优化交通网络、提升导航服务有重要意义。但同时，由于需要处理大量车辆轨迹数据，还要考虑到数据缺失、误差等因素的影响，以及信号灯周期可能动态变化的情况，对建模和算法提出了较高要求。

1. 1. B题各小问分析

1. 已知所有车辆行车轨迹的情况下估计固定周期信号灯红绿灯时长：   这是一个相对简单的情况。可以利用车辆轨迹数据中的时间和位置信息，分析车辆在路口处停止和通过的规律，从而推断出红绿灯的时长。比如，可以统计车辆停止时间的分布，停止时间的峰值可能对应红灯时长；或者利用车辆通过路口的时间差估计绿灯时长。

2. 只获取部分车辆轨迹且存在定位误差时，讨论各因素对模型估计精度的影响：   这种情况下，由于数据不完整且存在噪声，估计的难度加大。样本比例越高，可用于推断的车辆数据就越多，估计结果可能越准确。车流量会影响估计难易程度，通常车流量大时，可获得的有效信息较多。而定位误差会给车辆位置和速度带来偏差，对估计精度有负面影响。可考虑采取一些策略，如数据清洗、异常点去除等，来降低误差影响。

3. 检测信号灯周期的变化，估计变化后新周期：   这需要建立一个能适应动态变化的模型。可以尝试采用滑动窗口的方法，即每隔一段时间估计一次周期，通过比较前后两个窗口期内的周期差异，判断是否发生变化。一旦监测到变化，就重新估计变化后的新周期参数。另外，还可考虑利用一些变化点检测的算法，如cumSUM算法等。

4. 识别某路口所有方向信号灯周期：   这需要在各个方向分别估计周期后，综合考虑各方向之间的关系，进行整体的周期识别。通常情况下，四个方向的信号灯配时方案是关联的，如南北同时为绿灯，东西同时为红灯。因此，可利用各方向的估计结果，构建约束条件，求解整体的最优周期组合。

在解题过程中，可能还需要考虑一些其他因素，如车道数、交通规则、潮汐车流等，这些都会影响到建模的细节和估计效果。同时，模型的评估和验证也很关键，需要构建合理的评价指标，并在多个场景下进行测试。

• C 题基于光纤传感器的平面曲线重建算法建模

光纤传感技术是伴随着光纤及光通信技术发展起来的一种新型传感器技术。它是以光波为传感信号、光纤为传输载体来感知外界环境中的信号，其基本原理是当外界环境参数发生变化时，会引起光纤传感器中光波参量（如波长、相位、强度等）的变化，即外界信号变化会对光信号产生调制。

光纤传感器具有质地轻、体积小、弯曲性能好，抗电磁干扰能力强，灵敏度高，易于安装使用等优点。光纤传感技术最重要的是实时获得结构实时应变信息，再通过解调出来的应变参数来重构得到结构的形变或位移。

光纤传感器已在许多领域有实际应用，比如能够对结肠部位进行形状重建等。通过光纤传感器解调系统解调出来的应变信息，间接求出曲率等信息，并基于离散曲率信息对曲线进行重构。

图1. 光纤初始状态示意图图2. 光纤在平面内受外力作用变形后示意图为了便于波长测量，在生产光纤时，已在等间距位置布设好传感器，本次传感器间距为0.6 米。在测量时，先在光纤水平状态（即初始状态如图1所示）测量各个传感器位置处信号的波长，然后在受到外力后（如图2 所示）测量各个传感器位置处信号的波长。波长与曲线曲率之间的关系近似为

，其中lambda0是水平光纤在初始状态下测量的波长，λ

是光纤在受到外力后测量的波长，c为某个常数，这里假设为4200。本次实验分别测量了两组不同初始状态下受力前后的波长值，具体数据见表1，并请解决如下问题。

问题1.请根据表1 给出的波长测量数据，构建数学模型，估算平面光栅各个传感点(FBG1-FBG6)的曲率。进一步，假设初始点坐标为原点，初始的水平光纤方向为x轴，垂直方向为y轴，光纤在平面内受力后在初始位置的切线与水平方向的夹角为45，请建立模型估算下列表格中横坐标x轴相应位置处的曲率。

问题2.请根据表1 波长测量数据和问题1 求出的曲率，构建数学模型，分别重构平面曲线，并分析曲线的特点。

问题3.请根据平面曲线方程

，以适当的等间距弧长采样，计算这些采样点的曲率。然后以采样的曲率为基础，构建数学模型，重构平面曲线，并分析重构曲线与原始曲线出现误差的原因。

1. 1. C题总体分析

C题是关于利用光纤传感器的数据来重建平面曲线的数学建模问题。题目首先介绍了光纤传感技术的基本原理和优点,然后说明了光纤传感器在平面内受力变形时,通过测量传感器处波长的变化,可以间接求出曲率等信息,并基于离散曲率信息对曲线进行重构。题目给出了两组不同初始状态下受力前后传感器处的波长测量值,并提出了三个需要解决的问题:

第一,根据波长数据估算平面光栅各传感点的曲率,并在给定一些条件下,估算某些横坐标位置处的曲率;

第二,根据波长数据和第一问求出的曲率,构建数学模型重构平面曲线,并分析曲线特点;

第三,对于一个给定的三次多项式平面曲线方程,以适当弧长等间距采样并计算采样点曲率,然后基于采样曲率重构曲线,分析重构误差产生的原因。

1. 1. C题各小问分析

问题1:这一问需要根据波长测量数据,利用题目中给出的波长与曲率的近似关系式,计算出平面光栅各个传感点(FBG1-FBG6)的曲率。这一步主要是将波长数据转化为曲率信息。接着,在给定一些附加条件(如初始点坐标、方向和某点处切线方向)的情况下,要求估算某些特定横坐标位置处的曲率。这需要根据已知条件,建立适当的插值或拟合模型,来估计任意位置的曲率。

问题2:这一问需要综合利用波长测量数据和问题1求出的曲率信息,构建数学模型来重构平面曲线。重构曲线需要考虑如何从离散的曲率数据出发,通过积分或其他方法得到曲线的解析表达式或离散点坐标。重构完成后,还要对曲线的特点进行分析,可能涉及到曲线的形状、光滑度、对称性等几何特征。

问题3:这一问从一个给定的平面曲线方程出发,考察曲率采样对重构结果的影响。首先需要对给定的三次多项式曲线进行适当的弧长等距采样,计算出采样点处的曲率。然后基于采样曲率重构出曲线,并与原始曲线进行比较,分析重构误差产生的原因。这一问着重分析采样策略对重构效果的影响,可能涉及到采样点数量、采样间隔、数值计算误差等因素。

通过对以上三个问题的分析,可以看出这道题目循序渐进,考察了曲率估计、曲线重构、采样策略对重构的影响等问题。解题过程需要运用光纤传感、数值分析、几何建模等多方面知识,难度较高,是一个综合性很强的数学建模题目。

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