两数之差的补码等于被减数的补码与减数相反数的补码。_硬件探析之补码

一、前言

——摘自《FPGA那些事--时序篇》

二、正文

我们先看一下数电课本的一般性介绍：

以上介绍简单粗暴，对于正数 ：原码 = 反码 = 补码 = 该数的二进制表示再加上符号位0

对于负数：原码 = {1, 该数的二进制表示} 这里使用了verilog里面拼接符，就是在最左边添加"1"作为符号位。 反码 = {1, 二进制表示按位取反} 补码 = {1, 二进制表示按位取反+1}

上面的介绍，其实对做题帮助很大，毕竟以前读书就是为了做题，类似：将下列十进制有符号数转换成补码表示，假设计算机字长为8。

下面我们来探讨下补码的其他方面。

1. 何为代码，编码?

在计算机内部，各种各样的信息，数据、指令和字符等都是用0和1来表示。数值信息用二进制数来表示，其余很多信息，均用二进制数码来表示，这些特定的二进制数码并不代表数量的大小，仅仅用于区别不同的事物而已，特定的二进制数码称为代码。

通俗来讲，计算机内部有一些01序列，并不代表数值，可能代表一条指令，一个字符等等。我们在设计有限状态机时，01序列可以代表一些状态。当然你也可以自己做一些规定，用01代表一头猪，11代表一只羊。

以一定的规则吧编制代码，用以表示十进制数的值、字母、符号等信息的过程，称为编码。将代码还原成十进制数的值、字母、符号等信息的过程称为译码。

原码，反码，补码其实都是上述的代码，和二进制数有本质的区别，它们仅仅是以不同的形式，表示了二进制数的值。类似的还有BCD码，格雷码等等。

编码，实际上是一种人为规定的映射。

2. 开始编码

我们先考虑4位二进制数的特点，上面的各个数据，是关于红线 “对称”的，“对称”就是说对称位置是按位取反的，比如第8行取反得到第7行，第0行取反，得到第15行。

下面进行编码，我们强加个人的意志到4位二进制数上，规定他们所代表的数值，如第三列所示。此时，这些二进制数便应该称为代码，即补码。

n位补码转化为十进制数：

正数：

负数：

从上图可知，补码转换成十进制数，和二进制数转换为十进制数很类似。

区别就是符号位所占的“比重”是负的。例如：

1011[补码] = (-1) * 8 + 0 * 4 +1 *2 + 1* 1 = -5

3. 加法和减法运算

下面我们来讨论补码的可加性，在不考虑溢出的情况下，因为4位的补码只能表示 -8 ~ +7。若 A + B = C，那么判断： A的补码 + B的补码 != C的补码 ?

验证三种情况：

2的补码 + 4的补码 = 6的补码 -6的补码 + (-1)补码 = (-7)的补码

4的补码 + (-7)的补码 = (-3)的补码

这时我们可以说 ：若 A + B = C，则: A的补码 + B的补码 = C的补码

若我们设计了一个无符号数、4位2进制数的加法器，则可以用两个数的补码作为输入，输出两数和的补码，此时加法器便成为有符号数加法器。

下面我们来考虑减法运算，考虑补码的规律性，有：若一个数的补码为X，~X为X按位取反，则有 X + ~X = -1，即 -X = ~X + 1。如图3，第6行加第9行等于 -1。

若A和B为两个数的补码，则有 A - B = A + ~B + 1 。使用这个公式，我们将：

正数 - 正数 转换为 正数 + 负数

正数 - 负数 转换为 正数 + 正数

负数 - 负数 转换为 负数 + 正数

因此我们可以设计补码减法器如图，A，B，C分别代表被减数，减数和差的补码表示。

对于乘法运算，依然可以使用补码作为输入输出。则输入输出的符号位满足:

我们可以发现被乘数，乘数和积的符号，满足“异或”的关系。我们可以把所有的正数和负数等乘法，全部转换为正数的乘法，积的符号由上表的异或关系确定。伪代码如下：

这样我们就将无符号数的乘法器转换为有符号数的乘法器。

三、结束语

在数字系统设计中，使用补码来代表有符号数，可以简化硬件，因而广泛使用。

参考资料：
《FPGA那些事时序篇》作者 akuei2
《Computer Organization and Design_ The Hardware Software Interface
[RISC-V Edition]》