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[JAVA数据结构] 二叉树 - 详解_java中二叉树

作者：小小林熬夜学编程 | 2024-04-20 11:55:58

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java中二叉树

目录

(一) 树形结构

1. 树的概念与结构

2. 树的表示形式

(二) 二叉树

1. 二叉树的概念

2. 两种特殊的二叉树

3. 二叉树的性质

4. 二叉树的存储

5. 二叉树的遍历

(1) 前序遍历

(2)中序遍历

(3)后序遍历

6. 二叉树的基本操作 - 模拟实现

(一) 树形结构

1. 树的概念与结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

  • 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
  • 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
  • 树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

  • 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3
  • 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3
  • 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：J、F、K、L...等节点为叶结点
  • 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

  • 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

  • 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

  • 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推,, 上图为4层

  • 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

  • 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

  • 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：F、G互为堂兄弟结点

  • 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

  • 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

  • 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林 

2. 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {

   int value; // 树中存储的数据

   Node firstChild; // 第一个孩子引用

   Node nextBrother; // 下一个兄弟引用

}

(二) 二叉树

1. 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

  • 或者为空
  • 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

如图:

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

这也是二叉树的五种基本形态

2. 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3. 二叉树的性质
  • 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)(i>0)个结点
  • 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^(k) -1(k>=0)
  •  对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
  • 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整

                    (1)若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

                    (2)若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

                    (3)若2i+2>n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

练习题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解释: n0 = n2 + 1 = 199+1=200

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

解释:完全二叉树中，有n2 = n0 - 1,再根据题设条件，得n0 + n1 + n2 = 2n

则可得：2n0 + n1 - 1 = 2n

完全二叉树中，n1只能为0或1，由于2n为偶数，故n1 = 1

因此，n0 = n

一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）

A 383

B 384

C 385

D 386

解释: n为奇数 n1=0 n0=（n+1）/2 n为偶数 n1=1 n0=n/2

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（B）

A 11

B 10

C 8

D 12

解释: 一个n层的完全二叉树最多有2^n-1个结点, 2^10 - 1 = 1023, 最少为512, 531在此区间内，故只有B满足

4. 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表（数组）存储二叉树。需要注意的是，顺序存储只适用于完全二叉树。换句话说，只有完全二叉树才可以使用顺序表存储。因此，如果我们想顺序存储普通二叉树，需要提前将普通二叉树转化为完全二叉树。

普通二叉树转完全二叉树的方法很简单，只需给二叉树额外添加一些节点，将其"拼凑"成完全二叉树即可。如图 1所示：

完全二叉树的顺序存储，仅需从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组即可。

二叉树的顺序存储，通过学习你会发现，其实二叉树并不适合用数组存储，因为并不是每个二叉树都是完全二叉树，普通二叉树使用顺序表存储或多或少会存在空间浪费的现象。

这时就有了链式存储, 如图

采用链式存储二叉树时，其节点结构由 3 部分构成, 如图 3：

  • 指向左孩子节点的指针（Lchild）；
  • 节点存储的数据（data）；
  • 指向右孩子节点的指针（Rchild）

// 孩子表示法

class Node {

   int val; // 数据域

   Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树

   Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树

}

5. 二叉树的遍历
(1) 前序遍历

若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）访问根结点
（2）先序遍历左子树
（3）先序遍历右子树

如图: 

就是沿着顺序一个一个遍历打印

  1. // 前序遍历
  2.     public void preOrder(TreeNode root) {
  3.         if (root == null) return;
  4.         System.out.print(root.val + " ");
  5.         preOrder(root.left);
  6.         preOrder(root.right);
  7.     }
(2)中序遍历


若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）中序遍历左子树
（2）访问根结点
（3）中序遍历右子树

如图:

(3)后序遍历


若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）后序遍历左子树
（2）后序遍历右子树
（3）访问根结点

  1. // 中序遍历
  2.     void inOrder(TreeNode root) {
  3.         if (root == null) return;
  4.         inOrder(root.left);
  5.         System.out.print(root.val + " ");
  6.         inOrder(root.right);
  7.     }

如图:

  1. // 后序遍历
  2.     void postOrder(TreeNode root) {
  3.         if (root == null) return;
  4.         postOrder(root.left);
  5.         postOrder(root.right);
  6.         System.out.print(root.val + " ");
  7.     }
6. 二叉树的基本操作 - 模拟实现
  1. import java.util.*;
  2.  
  3. public class BinaryTree {
  4.  
  5.     static class TreeNode {
  6.         public char val;
  7.         public TreeNode left;//左孩子的引用
  8.         public TreeNode right;//右孩子的引用
  9.  
  10.         public TreeNode(char val) {
  11.             this.val = val;
  12.         }
  13.     }
  14.  
  15.     /**
  16.      * 创建一棵二叉树 返回这棵树的根节点 ,为了下面能正常先是这样创建
  17.      *
  18.      * @return
  19.      */
  20.     public TreeNode createTree() {
  21.         TreeNode A = new TreeNode('A');
  22.         TreeNode B = new TreeNode('B');
  23.         TreeNode C = new TreeNode('C');
  24.         TreeNode D = new TreeNode('D');
  25.         TreeNode E = new TreeNode('E');
  26.         TreeNode F = new TreeNode('F');
  27.         A.left = B;
  28.         A.right = C;
  29.         B.left = D;
  30.         B.right = F;
  31.         C.right = E;
  32.         return A;
  33.     }
  34.  
  35.     // 前序遍历
  36.     public void preOrder(TreeNode root) {
  37.         if (root == null) return;
  38.         System.out.print(root.val + " ");
  39.         preOrder(root.left);
  40.         preOrder(root.right);
  41.     }
  42.  
  43.     // 中序遍历
  44.     void inOrder(TreeNode root) {
  45.         if (root == null) return;
  46.         inOrder(root.left);
  47.         System.out.print(root.val + " ");
  48.         inOrder(root.right);
  49.     }
  50.  
  51.     // 后序遍历
  52.     void postOrder(TreeNode root) {
  53.         if (root == null) return;
  54.         postOrder(root.left);
  55.         postOrder(root.right);
  56.         System.out.print(root.val + " ");
  57.     }
  58.  
  59.     public static int nodeSize;
  60.  
  61.     /**
  62.      * 获取树中节点的个数：遍历思路
  63.      */
  64.     public static int count = 0;
  65.  
  66.     void size(TreeNode root) {
  67.         if (root == null) return;
  68.         count++;
  69.         size(root.left);
  70.         size(root.right);
  71.  
  72.     }
  73.  
  74.     /**
  75.      * 获取节点的个数：子问题的思路
  76.      *
  77.      * @param root
  78.      * @return
  79.      */
  80.     int size2(TreeNode root) {
  81.         if (root == null) return 0;
  82.         return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;
  83.     }
  84.  
  85.  
  86.     /*
  87.      获取叶子节点的个数：遍历思路
  88.      */
  89.     public static int leafSize = 0;
  90.  
  91.     void getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
  92.         if (root == null) return;
  93.         if (root.left == null && root.right == null) {
  94.             leafSize++;
  95.         }
  96.         getLeafNodeCount1(root.left);
  97.         getLeafNodeCount1(root.right);
  98.     }
  99.  
  100.     /*
  101.      获取叶子节点的个数：子问题
  102.      */
  103.     int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
  104.         if (root == null) return 0;
  105.  
  106.         if (root.left == null && root.right == null) {
  107.             return 1;
  108.         }
  109.         return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
  110.  
  111.     }
  112.  
  113.     /*
  114.     获取第K层节点的个数
  115.      */
  116.     int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
  117.         if (root == null) return 0;
  118.         if (k - 1 == 0) {
  119.             return 1;
  120.         }
  121.         return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
  122.     }
  123.  
  124.     /*
  125.      获取二叉树的高度
  126.      */
  127.     int getHeight(TreeNode root) {
  128.         if (root == null) return 0;
  129.         int left = getHeight(root.left);
  130.         int right = getHeight(root.right);
  131.         return left > right ? left + 1 : right + 1;
  132.     }
  133.  
  134.  
  135.     // 检测值为value的元素是否存在
  136.     TreeNode find(TreeNode root, char val) {
  137.         if (root == null) return null;
  138.         if (root.val == val) {
  139.             return root;
  140.         }
  141.         TreeNode ret1 = find(root.left, val);
  142.         if (ret1 != null) {
  143.             return ret1;
  144.         }
  145.         TreeNode ret2 = find(root.right, val);
  146.         if (ret2 != null) {
  147.             return ret2;
  148.         }
  149.         return null;
  150.     }
  151.  
  152.     //层序遍历
  153.     void levelOrder(TreeNode root) {
  154.         if (root == null) return;
  155.         Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
  156.         queue.offer(root);
  157.         while (!queue.isEmpty()) {
  158.             TreeNode cur = queue.poll();
  159.             System.out.print(cur.val + " ");
  160.             if (cur.left != null) {
  161.                 queue.offer(cur.left);
  162.             }
  163.             if (cur.right != null) {
  164.                 queue.offer(cur.right);
  165.             }
  166.         }
  167.     }
  168.  
  169.  
  170.     // 判断一棵树是不是完全二叉树
  171.     boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
  172.         if (root == null) return true;
  173.         Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
  174.         queue.offer(root);
  175.         while (!queue.isEmpty()) {
  176.             TreeNode cur = queue.poll();
  177.             //判断结点不为空,就把当前结点的左右孩子(null结点也要)加入队列中
  178.             if (cur != null) {
  179.                 queue.offer(cur.left);
  180.                 queue.offer(cur.right);
  181.             } else {
  182.                 break;
  183.             }
  184.         }
  185.         //到这里还不空, 把为null的结点弹出,如果还有结点不为null的,证明不是完全二叉树
  186.         while (!queue.isEmpty()) {
  187.             TreeNode cur = queue.peek();
  188.             if (cur != null) {
  189.                 return false;
  190.             } else {
  191.                 queue.poll();
  192.             }
  193.         }
  194.         return true;
  195.     }
  196.  
  197.    }

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