字典学习（Dictionary Learning, KSVD）详解

注：字典学习也是一种数据降维的方法，这里我用到SVD的知识，对SVD不太理解的地方，可以看看这篇博客：《SVD（奇异值分解）小结 》。

1、字典学习思想

字典学习的思想应该源来实际生活中的字典的概念。字典是前辈们学习总结的精华，当我们需要学习新的知识的时候，不必与先辈们一样去学习先辈们所有学习过的知识，我们可以参考先辈们给我们总结的字典，通过查阅这些字典，我们可以大致学会到这些知识。

为了将上述过程用准确的数学语言描述出来，我们需要将“总结字典”、“查阅字典”做出一个更为准确的描述。就从我们的常识出发：

1. 我们通常会要求的我们的字典尽可能全面，也就是说总结出的字典不能漏下关键的知识点。
2. 查字典的时候，我们想要我们查字典的过程尽可能简洁，迅速，准确。即，查字典要快、准、狠。
3. 查到的结果，要尽可能地还原出原来知识。当然，如果要完全还原出来，那么这个字典和查字典的方法会变得非常复杂，所以我们只需要尽可能地还原出原知识点即可。

注： 以上内容，完全是自己的理解，如有不当之处，欢迎各位拍砖。

下面，我们要讨论的就是如何将上述问题抽象成一个数学问题，并解决这个问题。

2、字典学习数学模型

2.1 数学描述

我们将上面的所提到的关键点用几个数学符号表示一下：

• “以前的知识”，更专业一点，我们称之为原始样本，用矩阵$\mathbf{Y}$表示；
• “字典”，我们称之为字典矩阵，用$\mathbf{D}$表示，“字典”中的词条，我们称之为原子（atom），用列向量$\mathbf{d}_k$表示；
• “查字典的方法”，我们称为稀疏矩阵，用$\mathbf{X}$；
• “查字典的过程”，我们可以用矩阵的乘法来表示，即$\mathbf{DX}$。

用数学语言描述，字典学习的主要思想是，利用包含$K$个原子$\mathbf{d}_k$的字典矩阵$\mathbf{D}\in \mathbf{R}^{m \times K}$，稀疏线性表示原始样本$\mathbf{Y} \in \mathbf{R}^{m \times n}$（其中$m$表示样本数，$n$表示样本的属性），即有$\mathbf{Y=DX}$（这只是我们理想的情况），其中$\mathbf{X} \in \mathbf{R}^{K \times n}$为稀疏矩阵，可以将上述问题用数学语言描述为如下优化问题

\[ \min_{\mathbf{D,\ X}}{\