【数据结构-JAVA】堆和优先级队列

前面介绍过队列，队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队 列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。 在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

JDK1.8中的 PriorityQueue 底层使用了堆这种数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。 下面将详细介绍堆。

1. 堆

1.1 堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一 个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大 堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质： 1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。 2. 堆总是一棵完全二叉树。

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储，而对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节 点，就会导致空间利用率比较低。 将元素存储到数组中后，假设 i 为节点在数组中的下标，则有： 如果 i 为0，则 i 表示的节点为根节点，否则 i 节点的双亲节点为 (i - 1)/2 如果 2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为 2 * i + 1 ，否则没有左孩子 如果 2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为 2 * i + 2 ，否则没有右孩子

1.2 堆的创建

堆是存储在一个一维数组中的，那么怎么用通过一个数组，让其变成一个堆呢？先简单介绍一下向下调整形成大根堆的思路：由于输入的数组是随机的，其对应的二叉树，也并不总是父亲节点的值大于孩子节点，所以我们要做的就是调整位置，让父亲节点的值与左右孩子节点的最大值做比较，小了，就与孩子节点交换位置，而大了，不做改变，从而让这个二叉树变成大根堆。

1.2.1 堆向下调整

public class TextHeap {
    public int[] elem;
    public int usedSized;
 
    public TextHeap() {
        this.elem = new int[10];
    }
    
    public void initElem(int[] arr){
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            elem[i] = arr[i];
            usedSized++;
        }
    }
 
    /*
    //创建大根堆
     */
    public void createHeap(){
        //找到这个完全二叉树中，最后一个父亲节点的下标：
        //最后一个节点的父亲节点，也是该二叉树的最后一个父亲节点，以此开始
        for (int parent = (usedSized - 1 - 1 )/ 2;  parent >= 0 ; parent--) {
            //使用 usedSize 作为向下调整的最大边界
            shiftDown(parent,usedSized);
        }
    }
 
    private void shiftDown(int parent,int len){
        //最起码有左孩子
        int child = 2 * parent + 1;
 
        // 可能需要多次向下调整：
        while(child < len){
            //如果有右孩子时，得让 child 这个下标对应左右孩子最大值的下标
            if(child + 1 < len && elem[child] < elem[child + 1]){
                child++;
            }
 
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int temp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = temp;
                parent = child;
                child = 2 * parent + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
}

1.3 堆向下调整创建堆的时间复杂度

按照最坏的情况来看，即创建一棵高度为 h 的满二叉树的话，这样的堆的时间复杂度该如何计算呢？

高度为 h ，那么最后一层就是第 h 层，该层的节点总数为 ，这一层都是叶子节点，并不需要向下调整。而倒数第二层，即 h - 1 层，该层的节点总数为 ，而这里的每一个节点都需要向下调整 1 次。以此类推到第一层。

①

②

由② - ① 得：

化简得：

又因为总节点数 n 满足：

所以有

所以时间复杂度为

1.4 堆向上调整创建堆的时间复杂度

①

②

② - ① 得

化简得：

最后：

因此时间复杂度为：

1.5 堆的插入

将要插入的元素放在堆的最后位置，向上调整，时间复杂度为二叉树的高度，只需一路向上，跟父亲节点比较交换即可。

   private void shiftUp(int child){
        int parent = (child - 1)/2;
        while(child > 0){
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int temp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = temp;
                child = parent;
                parent = (child - 1)/2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
 
    //堆的插入
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            //满了就扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,elem.length+5);
        }
        elem[usedSized++] = val;
        shiftUp(usedSized - 1);
    }
 
    private boolean isFull(){
        return usedSized == elem.length;
    }

1.6 堆的删除

堆的删除，只能删除根节点元素。删除的思路：把根节点元素与堆中最后一个元素交换，usedSize--，同时向下调整。

    //堆的删除
    public void pop(){
        if(isEmpty()){
            return;
        }
        elem[0] = elem[usedSized - 1];
        usedSized--;
        //只需从0下标的这个父亲节点去向下调整就可以了
        shiftDown(0,usedSized);
 
 
    }
    private boolean isEmpty(){
        return usedSized == 0;
    }

1.7 堆排序

堆排序：将存储堆的数组里的元素，从小到大或从大到小排序

从小到大，建大堆

public class Text{    
public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1,4,6,235,15,75,123,61,70,13};
        TextHeap heap = new TextHeap();
        heap.initElem(arr);
        heap.createHeap();
        heap.heapSort();
        System.out.println();
    }
}
 
public class TextHeap{
........
//省略的部分可往前文查找
    private void swap(int[] arr,int i ,int j){
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
 
    //堆排序
    public void heapSort(){
        int end = usedSized - 1;
        while(end > 0 ){
            swap(elem,0,end);
            shiftDown(0,end);
            end--;
        }
    }
}

时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(1)。

而从大到小，则建小堆。这里就不再赘述。

2. 优先级队列(Priority Queue)

2.1 优先级队列的性质

Java集合框架中提供了 PriorityQueue 和 PriorityBlockingQueue 两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线 程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue。

关于PriorityQueue的使用要注意： 1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：

import java.util.PriorityQueue;

2. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出 ClassCastException异常

比如以下代码，priorityQueue中存放的是Student的对象，此时这些对象并不能比较大小：

    public static void main(String[] args) {
        Queue<Student> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue.offer(new Student("huahua",15));
        priorityQueue.offer(new Student("liu",34));
        System.out.println(priorityQueue.poll());
    }

因此报错：

3. 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException

4. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容 5. 插入和删除元素的时间复杂度为，也就是二叉树的高度 6. PriorityQueue底层使用了堆数据结构 7. PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素

    //检验一下 PriorityQueue 真的默认为小根堆？
    public static void main(String[] args) {
        Queue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue.offer(1);
        priorityQueue.offer(88);
        System.out.println(priorityQueue.poll());
    }

2.2 top-k 问题

设计一个算法，找出数组中最小或最大的前k个数。以任意顺序返回这k个数均可。

2.2.1 排序思路——效率较低

将这个数组建成小根堆，拿这小根堆的前10个元素，但这种方法效率低下。

    //top-k问题
    //排序思路
    public int[] topK1(int[] arr,int k){
        int[] ret = new int[k];
        if(arr == null || k == 0){
            return ret;
        }
        Queue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            priorityQueue.offer(arr[i]);
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = priorityQueue.poll();
        }
        return ret;
    }

2.2.2 善于利用堆排序解决topk问题

如果是输出数组中前k个最大的元素，其实只要创建容量为k的优先队列即可，而不是像3.2.1那样，创建一个容量为arr.length的优先队列。

此时容量为k的优先队列默认为小根堆，让数组的前k个元素放入优先级队列中，之后让数组从第k+1个元素往后遍历，每一个都与小根堆的堆顶元素做比较。由于是小根堆，堆顶元素就是k个元素中，最小的一个，与数组第k+1个元素及以后的元素作比较，挨个置换比根节点大的元素，那么等数组遍历完之后，小根堆里存储的元素都比数组中其余元素要大，不然的话，还是会被置换出来的。如此一来，小根堆存储的就是数组中前k个最大元素。

    public static int[] topK2(int[] arr,int k){
        int[] ret = new int[k];
        if(arr == null || k == 0){
            return ret;
        }
        Queue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(k);
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            priorityQueue.offer(arr[i]);
        }
        for (int i = k; i < arr.length; i++) {
            if(arr[i] > priorityQueue.peek()){
                priorityQueue.poll();
                priorityQueue.offer(arr[i]);
            }
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = priorityQueue.poll();
        }
        return ret;
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1,6,43,2,7,88,67,17,29,257,35};
        int[] ret = topK2(arr,3);
        System.out.println(Arrays.toString(ret));
    }

输出：

[67, 88, 257]

问题换一换，找第k大的元素？

其实就是堆顶元素啦~~

那如果要求的是前k个最小元素呢？这时候就要用到大根堆，可优先级队列默认是小根堆，那该如何在优先级队列中创建大根堆呢？

2.3 优先级队列构造方法

此处只是列出了PriorityQueue中常见的几种构造方式。

    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11
        Queue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();
 
        // 创建一个空的优先级队列，底层的容量为 100
        Queue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);
 
        // 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象
        // q3中已经包含了三个元素
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        list.add(1);
        list.add(45);
        list.add(23);
        Queue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);
        q3.offer(9);
        System.out.println(q3.size());
    }

输出：

4

2.4 对象的比较方式

优先级队列在插入元素时有个要求：插入的元素不能是null或者元素之间必须要能够 进行比较，为了简单起见，我们只是插入了Integer类型，那优先级队列中能否插入自定义类型对象呢？

优先级队列底层使用堆，而向堆中插入元素时，为了满足堆的性质，必须要进行元素的比较，而在优先级队列的性质那一小节中，优先级队列插入的是引用类型，是没有办 法直接进行比较的，因此抛出异常。因此在这里引出一个问题，对象的比较方式，以下介绍三种方法：

2.4.1 equals方法

   class Student{
    public String name;
    public int age;
 
    public Student(String name, int age) {
        this.name = name;
        this.age = age;
    }
}
 public static void main(String[] args) {
        Student student1 = new Student("shanshan",15);
        Student student2 = new Student("shanshan",15);
        System.out.println(student1==student2);
        System.out.println(student1.equals(student2));
    }

输出：

false

false

==比较的是地址，输出是false；而当我们一开始直接就用equals时，返回的依旧是false。这是因为Student类中并无equals方法，而所有类都是Object类的子类，所以调用的就是Object类的equals方法：

我们发现，此处的equals方法也等同于==，比较的是引用变量的地址。

但是此处，我们需要比较的是对象中的内容，那该如何处理呢？基于此，我们可以覆写基类的equals方法。（可右击自动生成）

class Student{
    public String name;
    public int age;
 
    public Student(String name, int age) {
        this.name = name;
        this.age = age;
    }
 
    @Override
    public boolean equals(Object o) {
        if (this == o) return true;
        if (o == null || getClass() != o.getClass()) return false;
        Student student = (Student) o;
        return age == student.age && Objects.equals(name, student.name);
    }
 
    @Override
    public int hashCode() {
        return Objects.hash(name, age);
    }
}

输出：

false

true

覆写基类equal的方式虽然可以比较，但缺陷是：equal只能按照相等进行比较，不能按照大于、小于的方式进行比较。

因此，优先级队列并不采用equals方法。

2.4.2 Compareble接口

Comparble是JDK提供的泛型的比较接口类，源码实现具体如下：

public interface Comparable<T> {
 
    public int compareTo(T o);
}

对用用户自定义类型，如果要想按照大于、小于的方式进行比较时：在定义类时，实现Comparble接口即可，然后在类 中重写compareTo方法，举例如下：

class Student implements Comparable<Student>{
 
......
 
@Override
    public int compareTo(Student o) {
        return this.age - o.age;
    }
}

但这样compareTo就只能比较年龄了，那要是想比较学生的成绩或是其他，该怎么办呢？

2.4.2 基于比较器比较

Comparator部分源代码：

public interface Comparator<T> {
    int compare(T o1, T o2);
 
......
}

按照比较器方式进行比较，具体步骤如下： 用户自定义比较器类，实现Comparator接口并且重写Comparator中的compare方法：

//姓名比较器
class nameComparator implements Comparator<Student>{
    @Override
    public int compare(Student o1, Student o2) {
        return o1.name.compareTo(o2.name);
    }
}
 
//年龄比较器
class AgeComparator implements Comparator<Student>{
    @Override
    public int compare(Student o1, Student o2) {
        return o1.age - o2.age;
    }
}

上面的compareTo方法中，因为name是String类的对象，可以调用String中的compareTo方法，这里比较的是两个字符串的大小。

NameComparator nameComparator = new NameComparator();
System.out.println(nameComparator.compare(student1,student2));

2.5 优先级队列的比较方式

集合框架中的PriorityQueue底层使用堆结构，因此其内部的元素必须要能够比大小，PriorityQueue采用了： Comparble和Comparator两种方式。 1. Comparble是默认的内部比较方式，如果用户插入自定义类型对象时，该类对象必须要实现Comparble接 口，并覆写compareTo方法 2. 用户也可以选择使用比较器对象，如果用户插入自定义类型对象时，必须要提供一个比较器类，让该类实现 Comparator接口并覆写compare方法。

继续用上面Student类的例子，来演示如何将自定义类型对象插入优先级队列，以及如何创建大根堆：

Comparble接口：

class Student implements Comparable<Student>{
    public String name;
    public int age;
 
    public Student(String name, int age) {
        this.name = name;
        this.age = age;
    }
 
 
    //为创建大根堆
    @Override
    public int compareTo(Student o) {
        return o.age - this.age;
    }
}
 
    public static void main(String[] args) {
        Student student1 = new Student("shansan",10);
        Student student2 = new Student("shanan",15);
        PriorityQueue<Student> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue.offer(student1);
        priorityQueue.offer(student2);
 
        System.out.println("sssssssss");
    }

Comparator接口：

    class InCmp implements Comparator<Integer>{
        @Override
        public int compare(Integer o1, Integer o2) {
            //调用了Integer这个类中的compareTo方法
            return o2.compareTo(o1);
            //return o1 - o2;
        }
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        InCmp inCmp = new InCmp();
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(inCmp);
        priorityQueue.offer(5);
        priorityQueue.offer(1);
        priorityQueue.offer(98);
        priorityQueue.offer(23);
        priorityQueue.offer(51);
        System.out.println("2222222222222222222");
    }

还可以使用匿名内部类的方法写：

        //一个实现了Comparator接口的匿名内部类
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                //小根堆
                return o1.compareTo(o2);
            }
        });