贝叶斯条件概率/贝叶斯网络_多元贝叶斯公式

一、TL;DL

条件概率的公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)；即事件A和事件B同时发生的概率等于在发生A的条件下B发生的概率乘以A的概率。

贝叶斯公式：由条件概率公式推导出 P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)

全概率公式：假设B是由相互独立的事件组成的概率空间{B1,b2，...bn}，P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+..P(A|Bn)P(Bn)

两个事件的独立性：意味着P(A|B)=P(A)；P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)

结合全概率公式后，贝叶斯公式：

常常把P(Bi|A)称作后验概率（Posterior），而P(A|Bn)P(Bn)为先验概率（Prior）。而P(Bi)又叫做基础概率。

多元贝叶斯：P(A|B,C) = P(A,B,C)/P(B,C)= P(C|A,B)*P(A,B)/P(B,C) = P(C|A,B)*P(B|A)*P(A)/P(C|B)*P(B)

联合概率分布（joint probability distribution）：同时考虑多个随机变数的概率分布

贝叶斯网络：贝叶斯信念网络或有向无环图模型，是一种概率图模型

二、贝叶斯法则

在贝叶斯法则中，每个名词都有约定俗成的名称：

Pr(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。

Pr(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。

Pr(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。

Pr(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）。

按这些术语，Bayes法则可表述为：

后验概率 = (似然度 * 先验概率)/标准化常量 也就是说，后验概率与先验概率和似然度的乘积成正比。

另外，比例Pr(B|A)/Pr(B)也有时被称作标准似然度（standardised likelihood），Bayes法则可表述为：

后验概率 = 标准似然度 * 先验概率

直观理解贝叶斯原理：

三、全概率公式

B_i之间两两互斥且在每次试验中至少发生其中一个（互相独立），计算A可以使用全概率公式，从对B的条件概率入手

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+..P(A|Bn)P(Bn)

四、贝叶斯网络

贝叶斯网络(Bayesian network)，又称信念网络(Belief Network)，或有向无环图模型(directed acyclic graphical model)，是一种概率图模型。它是一种模拟人类推理过程中因果关系的不确定性处理模型，其网络拓朴结构是一个有向无环图(DAG)。

贝叶斯网络中的节点表示随机变量，有向边表示变量之间有因果关系(非条件独立)，两个用箭头连接的节点就会产生一个条件概率值。

A Bayesian network is a directed graph in which each node is annotated with quantitative probability information. The full specification is as follows:

1. A set of random variables makes up the nodes of the network. Variables may be discrete or continuous.

2. A set of directed links or arrows connects pairs of nodes. If there is an arrow from node X to node Y, X is said to be a parent of Y

3. Each node X_i has a conditional probability distribution P(Xi| Parents(Xi)) that quantifies the effect of the parents on the node.

4. The graph has no directed cycles (and hence is a directed, acyclic graph, or DAG).

许多经典的多元概率模型都是贝叶斯网络的特例，例如朴素贝叶斯模型、马尔科夫链、隐马尔科夫模型、卡尔曼滤波器、条件随机场等等。

1.概率流动的影响性

概率流动的影响性（Flow of Probabilistic Influence）指的是在一定的观测条件下，变量间的取值改变是否会有相互影响，这里给出两个概念：

• 观测变量：变量取值可观测，或变量取值已经确定

• 隐变量：变量取值未知，通常根据观测变量的取值，对隐变量的取值概率进行推理。

1.1独立的概念

• 变量独立性

随机变量X,Y若满足如下关系中的任意一个：

P ( X , Y ) = P ( X ) P ( Y )

P ( X ∣ Y ) = P ( X )

P ( Y ∣ X ) = P ( Y )

那么我们就称随机变量X和Y相互独立

• 条件独立性

随机变量X,Y在Z给定条件下满足：

P ( X , Y ∣ Z ) = P ( X ∣ Z ) P ( Y ∣ Z )

P ( X ∣ Y , Z ) = P ( X ∣ Z )

P ( Y ∣ X , Z ) = P ( Y ∣ Z )

那么我们同样可以认为随机变量X和Y满足独立关系。

2. 4种经典的信息流动结构

3. 贝叶斯网络中的条件独立关系

3.1 d-separation

3.2 d分离的推论

• A node is conditionally independent of its non-descendants, given its parents.

• A node is conditionally independent of all other nodes in the network, given its parents, children, and children's parents - that is, given its Markov blanket.

五、贝叶斯应用

References

贝叶斯网络 Bayesian Network -知乎

https://zhuanlan.zhihu.com/p/543845338