李宏毅机器学习笔记(二)——欠拟合与过拟合_欠拟合时方差怎么变

一.误差的来源

  这里的误差就是指我们在测试集上的误差，而不是训练集上的损失值。

1.实例——手枪打靶

  我们把每次的打靶看成是独立同分布的样本，中心为我们的目标。我们很容易可以看出，误差来源于两个部分：偏差(bias)和方差(variance)。其中偏差指的是样本的平均位置与中心的距离；而方差则是离散程度，我们可以看出要想有比较小的总误差，这两方面都要兼顾。

2.打靶与回归的联系

  上文的例子好理解，我们如何扩展到我们的回归中呢？老师这里借用了平行宇宙的概念：我们在每个平行宇宙都抓宝可梦来进行预测，固定住模型，只通过梯度下降得到最优解对应的参数，从而得到一系列的预估函数$f$,把每个预估函数当成上文中的一次射击(当然我们要假设这一切都是独立同分布)；那我们就可以用这些"射击点"的分布来评估。
  而在这里，这些函数的方差代表着它们之间是否接近，也就是图像上它们是否比较一致；而函数的偏差，就是指这些函数在所有点得到的值的平均值与真实值的差距。
  从而我们可以得到如下表格，说明打靶问题与回归问题的联系：

3.方差的来源

  根据前文所述，我们去分别作出一次，三次，五次多项式的模型，每次训练随机选取一些点，训练100次。得到如下训练结果。我们显然可以看出，多项式次数越高，得到的这些线就整体越杂乱，之间的差距越大，也就是方差越高。
  因此方差的来源就是参数过多，模型过于复杂。
  至于原因，就是因为参数越多，实际上函数对训练集的预测就可以越精细，既然精细，那就是说每个点都会更好的去照顾，因此每个点的变化相对而言就更会引起函数的变化；反过来如何参数很少，那就更难照顾到具体的点，那其中的点的波动就不太会引起函数的整体波动。然而这些点是随机的，必然存在着扰动，那么参数很多的话，就会将这份扰动进行放大，从而有很大的方差。当然原理也可以参考多项式插值的龙格现象。

4.偏差的来源

  我们做类似的操作，不过是次数增加到5000次，之后我们取做出这5000次的平均函数，为蓝线所示；而黑线则是我们确定的最优解(具体怎么找出来的不用在意，反正信就是了)。我们可以看到，随着函数的参数变多从而变得复杂，方差逐渐增大的同时偏差则在减小。
  因此偏差的来源就是参数过少，模型过于简单。
  原因还是很简单的，函数越复杂，越可以更好的照顾训练集的点；而训练集与测试集独立同分布，因此从期望来看，就越能照顾到测试集的点，也就是得到更精确的解。当然这只是数学期望，方差还是很大的。

5.欠拟合与过拟合的概念

  通过上文我们可以看出，当我们在测试集上的效果很差时，我们可以取看训练集上的效果，来确定到底是由偏差引起的还是方差引起的。
  如果在训练集上效果也很差，说明就是偏差引起的，这时候就是模型太简单了导致的，无法获取到需要的特征，因此也可以说是拟合的程度不够，也就是欠拟合。
  而如果在训练集效果很好，说明就是方差引起的，这时候就是模型太过复杂了导致的，对点太敏感了，也就是拟合的程度太重了，也就是过拟合。

二.减少误差的策略

  面对欠拟合，那就是我们要让我们的模型更复杂：比如增加我们数据的维度(也就是去利用更多的特征)，或者是考虑各特征之间的联系从而使得模型变得更复杂等等。至于具体怎么增加，那只能是具体问题具体分析。
  面对过拟合，我们的模型太复杂了，这时候就有好几种策略。
  1.把模型简单化，最直接的办法。
  2.增加数据，不改变模型。由于参数个数不变而数据量增大，因此对于每个数据，随着数据量增大，受到的照顾肯定会变少，从而可以降低过拟合。
  3.正则化。如果我们没有多余数据了，我们还想利用我们现在的模型，那如何是好呢？比如三次多项式和五次多项式，它们之间的差距就在于五次项和四次项系数，如果这个系数绝对值很小，那么它们就会类似；也就是说，参数趋近于0就会造成模型的简化。因此，我们可以让我们的损失值与系数联系起来，系数绝对值越大则损失值越大；一般我们采用L2正则化，将损失值加上所有除偏置项系数的平方乘一个系数$\lambda$，这个系数可以自己定，总之还是看最终效果。(至于为什么不加偏置值，因为偏置值就是个平移，大小并不会影响模型复杂度)

  如下图所示，上面的两张图是增加数据前后的结果；下面的三张图是调整正则化中系数的大小得到的结果，可见越大的系数越会使得参数整体尽量小，从而减小方差。

  综上我们可以看出，我们其实是无法同时优化偏差和方差的，我们终究是要找到一个折衷的点，最后使得在训练集上的效果尽量好即可。