Atcoder ZONe Energy Programming Contest C - MAD TEAM（二分）

题面

你想从 $N$ 个候选人中选 3 个人。

每个人有五个属性 $A_i,B_i,C_i,D_i,E_i$。

一种选人方案假设选了三个人 $x,y,z$ ，那么这个方案的力量Strength就是

min ⁡ { max ⁡ { A x , A y , A z } max ⁡ { B x , B y , B z } max ⁡ { C x , C y , C z } max ⁡ { D x , D y , D z } max ⁡ { E x , E y , E z } } \min\left\{

$$\begin{matrix} \max\{A_x,A_y,A_z\}\\ \max\{B_x,B_y,B_z\}\\ \max\{C_x,C_y,C_z\}\\ \max\{D_x,D_y,D_z\}\\ \max\{E_x,E_y,E_z\} \end{matrix}$$ \right\} min⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​max{Ax​,Ay​,Az​}max{Bx​,By​,Bz​}max{Cx​,Cy​,Cz​}max{Dx​,Dy​,Dz​}max{Ex​,Ey​,Ez​}​⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎫​

求力量Strength最大的方案的力量Strength是多少。

输入分别给出 $N$ 和 $N$ 行整数 $A_i,B_i,C_i,D_i,E_i$。

输出一行一个整数表示答案。

$3\le N\le 3000,1\le A_i,B_i,C_i,D_i,E_i\le 10^9$.

Sample Input

10
6 7 5 18 2
3 8 1 6 3
7 2 8 7 7
6 3 3 4 7
12 8 9 15 9
9 8 6 1 10
12 9 7 8 2
10 3 17 4 10
3 1 3 19 3
3 14 7 13 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Sample output

10
1

题解

首先，我们会想到一种 $N^3$ 的暴力做法。

之所以这样过不了，是因为我们想知道的力量与每个属性都有关，又跟每个属性的最大值有关，属性不同的有 $N$ 个人，因此时间复杂度便上天。

为了消除这些限制，同时发现这道题相当于求最小值前提下的最大值，于是我们不妨想想二分。

我们二分一个答案，表示每项属性的最大值都要大于等于这个值。那么此时，相当于定了一个标准——一个属性大于等于这个值为合格，否则不合格。要求是要让选出的三个人中每项属性都至少有一个人合格。此时，由于我们想知道的是否合法与每个属性的合格与否有关，而每个属性只有两种情况：合格/不合格，因此，把每项属性合格情况(一共 $2^5$ 种)相同的合并到一起，我们相当于只有 $2^5=32$ 位候选人了！然后再随便用一个三次方的暴力(时间 $2^{15}$)就可以解决问题，或者稍加dp优化变成平方，跑到最优解 6~8 ms。

时间复杂度 $O(\log X(5N+2^{10}))$

CODE

#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 3005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int a[MAXN][10];
bool dp[4][1<<5|5];
bool check(int val) {
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		int S = 0;
		for(int j = 1;j <= 5;j ++) {
			if(a[i][j] >= val) S |= (1<<(j-1));
		}
		dp[1][S] = 1;
	}
	dp[1][0] = dp[2][0] = dp[3][0] = 1;
	for(int kk = 1;kk <= 2;kk ++) {
		for(int i = 0;i < (1<<5);i ++) {
			if(dp[kk][i])
				for(int j = 0;j < (1<<5);j ++) {
					dp[kk+1][i|j] |= dp[1][j];
				}
		}
	}
	return dp[3][(1<<5)-1];
}
int main() {
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		for(int j = 1;j <= 5;j ++) {
			a[i][j] = read();
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 30;i >= 0;i --) {
		if(ans+(1<<i) <= 1000000000 && check(ans+(1<<i))) ans += (1<<i);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
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27
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29
30
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32
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36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
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47
48
49
50
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52
53
54
55
56
57

别的做法

暴力

有一个 $15\ast N^2$ 的做法，详见PPL的博客
其核心思想在于：最后的方案中，不可能三个人都贡献了 $\ge 2$ 个最大值，因此一定有一个人贡献了 $\le 1$ 个最大值，那么不妨就令这个人为这个属性中可以选的最大的一个人，于是暴力可以少一维。

Dynamic Programming

官方题解中的第二种做法。

题意可以转化为：你先选三个候选人 $x,y,z$，然后每个属性你都在三个人中选一个人的拿出来，要让这五个数的最小值最大。不难发现这样和原题面（贪心地选最大的）最终答案是一样的。

那么就可以设计出一个 DP：

$dp[i][j][k]$ 表示前 $i$ 个人中选了 $j$ 个人($j\le 3$) ，属性状态为 $k$($k\le 2^5$) 时的最大答案（$k$ 的二进制第 $i$ 位表示第 $i$ 种属性是否已经选了人），转移的时候保证每种属性只选一个人。转移可以 $O(5)$ 。

那么总时间就是 $O(15N\ast 2^5)$。

官方代码