【动态规划】洛谷 - P2196 [NOIP1996 提高组] 挖地雷

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拓扑排序好题 OR 动态规划佳题

题目描述

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在一个地图上有 $N(N\le 20)$ 个地窖，每个地窖中埋有一定数量的地雷。同时，给出地窖之间的连接路径。当地窖及其连接的数据给出之后，某人可以从任一处开始挖地雷，然后可以沿着指出的连接往下挖（仅能选择一条路径），当无连接时挖地雷工作结束。设计一个挖地雷的方案，使某人能挖到最多的地雷。

AC艰难历程

• $0$ 分：暴搜 DFS……
  • 错误原因：自从我建立 DFS 函数时我的思路就与正解分道扬镳……^_^
• $0$ 分：回炉重造了一遍 DP，然后……
  • 错误原因：输入不知道被谁改了: (
• $100$ 分：当我的输入正确了……

题解

思路

考虑 ${\text{Dp}}_{\text{i}}$ 为以 $\text{i}$ 为结尾的最多拆弹数。

推出方程：

Dp i = max ⁡ { Dp son } + a i \text{Dp}_{\text{i}} = \max\{\text{Dp}_{\text{son}}\}+\text{a}_{\text{i}} Dpi​=max{Dpson​}+ai​

循环求解即可

证明

略

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ios                  \
ios::sync_with_stdio(0); \
cin.tie(0);              \
cout.tie(0)
// #pragma GCC Typetimize(2)
#define ll long long
#define pll pair<ll, ll>
#define pii pair<int, int>
#define il inline
#define p_q priority_queue
#define u_m unordered_map
#define r_g register
using namespace std;

namespace Nothing {
	il int read() {
		int f = 1, t = 0;
		char ch = getchar();
		while (ch < '0' || ch > '9') {
			if ( ch == '-' ) {
				f = -1;
			}
			ch = getchar();
		}
		while (ch >= '0' && ch <= '9') {
			t = t * 10 + ch - '0';
			ch = getchar();
		}
		return t * f;
	}
	
	il void write(int x, bool s) {
		if (x < 0) {
			putchar('-');
			write(-x, false);
			return ;
		}
		if (!s && x == 0)
			return ;
		if (s && x == 0) {
			putchar('0');
			return ;
		}
		write(x / 10, false);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}

int n;
int val[205];
int G[205][205];
int Dp[205];
int ans = 0;
int Lst[205];
int Nct[205];

void Put(int t) {
	if (t) {
		Put(Lst[t]);
		cout << (Lst[t] ? "-" : "") << t; 
	}
}

signed main() {
	ios;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> val[i];
	}
	int x, y;
	while (cin >> x >> y) {
		G[x][y] = 1;
	}
	int Last = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (G[j][i] == 0) continue;
			if (Dp[j] > Dp[i]) {
				Dp[i] = Dp[j];
				Lst[i] = j;
				Nct[j] = i;
			}
		}
		Dp[i] += val[i];
		if (Dp[i] > ans) {
			ans = Dp[i];
			Last = max(Last, i);
		}
	}
	Put(Last);
	cout << endl;
	cout << ans;
	return 0;
}
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