数据结构与算法笔记-----动态规划简述（以Coin change为例图示+C语言实现）_coinchange控制流图

什么是动态规划

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

动态规划的常见分类

编号动态规划：最大不下降子序列
划分动态规划：矩阵链乘、凸多边形三角剖分
数轴动态规划：0-1背包
前缀动态规划：最长公共子序列
树形动态规划：最优二分搜索树

或者

线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；
区域动规：石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；
树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等；
背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶等

或者

计数：如选出k个数使得和是sum
求最大最小值：最大上升子序列
求存在性：博弈

算法原理

基本思想：问题的最优解如果可以由子问题的最优解推导得到，则可以先求解子问题的最优解，在构造原问题的最优解；若子问题有较多的重复出现，则可以自底向上从最终子问题向原问题逐步求解。
使用条件：可分为多个相关子问题，子问题的解被重复使用

动态规划算法的设计步骤：
分析优化解的结构
递归地定义最优解的代价
自底向上地计算优化解的代价保存之，并获取构造最优解的信息
根据构造最优解的信息构造优化解

动态规划特点：
把原始问题划分成一系列子问题；
求解每个子问题仅一次，并将其结果保存在一个表中，以后用到时直接存取，不重复计算，节省计算时间
自底向上地计算。
整体问题最优解取决于子问题的最优解（状态转移方程）（将子问题称为状态，最终状态的求解归结为其他状态的求解）

动态规划与分治法的区别：
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。

1=例题Coin change

有银币面值2元，5元，7元无限，求最少的银币数量，刚好付清，如输入27，输出5（7+5+5+5+5）

（1）确定状态
最后一步：
K枚银币面值总和是27
一定有最后的一枚硬币：a
前面总面额是27-a

（我们不关心前面有多少种拼法）
（27-a的硬币数量一定要最少）（最优策略）
子问题：
最少用多少枚硬币可以拼出27-a（规模更小）
如果a = 2， f（27） = f（27-2）+1
如果a = 5， f（27） = f（27-5）+1
如果a = 7， f（27） = f（27-7）+1
f（27） =min{f（25）+1，f（22）+1，f（20）+1}
（2）转移方程
f【27】 =min{f【25】+1，f【22】+1，f【20】+1}
（3）初始条件和边界情况
边界条件
Q1 x-2，x-5，x-7 小于0怎么办？
Q2 什么时候停下来？
Q3 拼不出来怎么办？
返回正无穷
初始条件 f[0]=0
（4）计算顺序；从小到大
算法复杂度O（n*m）

#include <stdio.h>
#include <math.h>
//Coin change
//有银币面值2元，5元，7元无限，求最少的银币，刚好付清，如输入27，输出5
#define max 10000
int min(int x,int y){
	if(x>y) return y;
	else return x;
}
int coinChange(int v[],int M){
		int f[M+1];
		f[0]=0;
		for(int i = 1;i<= M;i++){
			f[i] = max;
			for(int j = 0;j<3;j++){
				if(i>=v[j]&&f[i-v[j]]!=max){
					f[i]= min(f[i-v[j]]+1,f[i]);
				}
			}
		}
		if(f[M]==max){
			return -1;
		}
		return f[M];
}

int main(){
	int m;
	int v[3] = {2,5,7};
	scanf("%d",&m);
    printf("%d",coinChange(v,m));
	return 0;
} 
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