因子分析（factor analysis）

因子分析

1. 基本思想
2. 公式推导
3. 基于R的实验
4. 结论

基本思想

在这一讲当中呢，我们谈一谈，因子分析（factor analysis），在上一节当中，我们说了主成分分析，我们说这两种方法有点相似，初学者往往有些搞不清楚。首先从原理上说，主成分分析是试图寻找原有自变量的一个线性组合。这个组合方差要大，那么携带的信息也就多，也就是相当于把原始数据的主要成分给拿了出来。而因子分析呢，是从假设出发，它是假设所有的自变量$x$出现的原因是因为背后存在一个潜变量$f$,也就是我们所说的因子，在这个因子的作用下，$x$可以被观察到。什么意思呢，举个例子，比如一个学生考试，数学，化学 ，物理都考了满分，那么我们认为这个学生理性思维较强，理性思维就是一个因子。在这个因子的作用下，偏理科的成绩才会那么高。这就是因子分析，通过这点，大家就可以感受到，因子分析和主成分分析是明显不一样的。并且因子分析最早就由心理学家提出的。那么因子分析呢，又存在两个方向，一个是探索性因子分析（exploratory factor
analysis）。另一个是验证性因子分析（confirmatory factor
analysis）。探索性因子分析是不确定一堆自变量背后有几个因子，我们通过这种方法试图寻找到这几个因子。而验证性因子分析是已经假设自变量背后有几个因子，试图通过这种方法去验证一下这种假设是否正确。验证性因子分析又和结构方程模型有很大关系。后面我们会专门的介绍，今天先介绍探索性因子分析。

数学推导

因子分析假设自变量$x$背后存在影响它的因子$z$,既然是$z$影响$x$，那么$x$就可以写成$z$的函数了。当然，直接写不行，它有个假设，假设这个$x$是已经中心化的。那么就可以写出下式：

$$x_i-\mu=\sum_{j=1}^{m}a_{ij}z_{j}+\epsilon_{i}~~i=1,2,...l,$$
如果为了方便呢，我们可以把它写成矩阵代数的形式如下：
$$\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}=A\boldsymbol{z}+\epsilon$$
这里呢，需要加一些假设，否则没法求解。首先是无关于误差项 $\epsilon$的，均值为 $0$，协方差矩阵$\sum_{\epsilon}=E(\epsilon\epsilon^T)=diag(\sigma_{1}^2,\sigma_{2}^2,...,\sigma_{l}^2)$.还需要假设因子和误差是独立的。在这种情况下，当我们的数据已经中心化之后，上面的因子分析式子就可以写成下式：
$$\boldsymbol{x}=A\boldsymbol{z}+\epsilon$$
进一步有
$$\boldsymbol{x}^T=(A\boldsymbol{z}+\epsilon)^T$$
所以
$$\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T=(A\boldsymbol{z}+\epsilon)(A\boldsymbol{z}+\epsilon)^T=A\boldsymbol{z}\boldsymbol{z}^TA+\epsilon\boldsymbol{z}^TA^T+A\boldsymbol{z}\epsilon^T+\epsilon\epsilon^T$$
这样的话，对上式两边取数学期望。利用误差项均值为 $0$,我们得到下式：
$$E[xx^T]=AE[zz^T]A^T+E[\epsilon\epsilon^T]$$
这里还需要一个假设，那就是因子的协方差矩阵为单位矩阵。也就可以得到下式
$\sum_x=AA^T+\sum_\epsilon$
这样的话，就简明了一些，我们主要是为了求载荷矩阵 $A$和因子$z$。但是我们在推导过程中先巧妙地把 $z$给去掉了。这样就可以先计算出$A$,再计算 $z$。那么$A$其实就是矩阵 $(\sum_x-\sum_\epsilon)$的一种分解。当然这种分解不是唯一的，因为如果一个矩阵 $C$可以写成$AA^T$，那么 $C=AU(AU)^T$也是成立的。其中 $U$为正交变换。所以才有了因子变换这个东西，经过因子变换，矩阵$A$中一部分数被变的很小，这样就可以看出哪个自变量属于哪个因子了。如果矩阵 $A$计算出来了。那么$z$就好说了. $z=A^T\sum_{x}^{-1}x$。这样就全部计算出来了。
下面给出一个基于R的因子分析

基于R的因子分析

数据介绍：数据是来自上市公司的财务指标，因此想通过因子分析将财务指标进降维，希望提取出一些反应不同特征的因子出来。最后根据因子对上市公司进行排名。

#设置路径
setwd('D:/Rdata')
#清除空间变量
rm(list = ls())                   
#载入读取excel的包
library(readxl)  
library(psy)     


#读取数据
dat.fact <- read_excel(file='MicEcoData.xlsx')
head(dat.fact)
# A tibble: 6 x 8
  资产负债率 总资产增长率B 基本每股收益增长率B 净利润增长率B 营业利润增长率B 每股收益 每股营业收入
       <dbl>         <dbl>               <dbl>         <dbl>           <dbl>    <dbl>        <dbl>
1   0.950996      0.324008            0.044776      0.026753        0.056436   0.7000     2.054515
2   0.552744      0.473920            0.315789      0.773855        0.799483   0.2500     0.379673
3   0.068507      1.966211            0.417778      1.195843        1.199118   0.1276     0.251927
4   0.580620      0.338351            1.479791      2.792940        2.749402   0.1902     0.296074
5   0.389105      0.083378           -0.250000     -0.224369       -0.177181   0.0600     0.153072
6   0.755508      0.061588           -0.444444      0.435094        0.435804   0.0500     0.206344
# ... with 1 more variables: 销售净利率 <dbl>
#重新命个名 
names(dat.fact) <- paste('x', 1:ncol(dat.fact), sep='')
#进行因子分析，设置因子个数为两个
factor.result <- factanal(x=dat.fact, factor=2, scores="regression")
#查看图
psy::scree.plot(dat.fact)  
#查看因子分析的各种结果   
names(factor.result)
 [1] "converged"    "loadings"     "uniquenesses" "correlation"  "criteria"     "factors"     
 [7] "dof"          "method"       "rotmat"       "scores"       "STATISTIC"    "PVAL"        
[13] "n.obs"        "call"        
print(factor.result)

Call:
factanal(x = dat.fact, factors = 2, scores = "regression")

Uniquenesses:
   x1    x2    x3    x4    x5    x6    x7    x8 
0.508 0.005 0.005 0.005 0.005 0.281 0.507 0.710 

Loadings:
   Factor1 Factor2
x1          0.695 
x2  0.997         
x3  0.997         
x4  0.998         
x5  0.998         
x6          0.846 
x7          0.702 
x8  0.251  -0.476 

               Factor1 Factor2
SS loadings      4.054   1.931
Proportion Var   0.507   0.241
Cumulative Var   0.507   0.748

Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.
The chi square statistic is 357.17 on 13 degrees of freedom.
The p-value is 2.4e-68 
> 
1
2
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效果还可以，哪几个变量属于哪个因子一目了然。

下面呢，我们做个更有意思的分析，现在经过因子分析已经将原来的8个财务指标进行合并，形成了两个因子，那么这两个因子按照加权合并，就形成了一个指标，通过对这一个指标进行排序，就可以得到上市公司的排名。下面是代码实现

# 计算权重
lambdas <- eigen(factor.result$correlation)$value            # 就是特指值所占的比例
(w <- lambdas[1:2]/sum(lambdas[1:2]))
 0.6391052 0.3608948

#计算因子得分
score <- factor.result$scores                                
eva <- score %*% w                                           # 进行排序    
 eva
             [,1]
 [1,]  0.44919649
 [2,] -0.21418681
 [3,] -0.47822650
 [4,] -0.22218907
 [5,] -0.45469601
 [6,] -0.31123904
 [7,] -0.33324507
 [8,] -0.31634880
 [9,]  0.16510054
[10,]  0.19619702
1
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6
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8
9
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结论

本节带领大家了解了一下，因子分析。通过因子分析主要发掘变量背后存在的潜变量。并且提到了主成分分析与因子分析的不同，主成分分析主要是想寻找原始特征的一个线性组合。这个组合方差要最大。方差最大保证了主要成分的提取。为了计算方便，提出了一些假设，使得主成分分析成为了一个约束优化问题。而因子分析呢，是从假设开始入手，假设原始特征是由于因子的影响产生的，因此可以写出$x=Af+\epsilon$,从这个表达式逐步进行假设求解。当然呢，主成分分析和因子分析有相似的地方，主要就是求解过程中，都很巧妙地和特征值，特征向量挂起关系。好，那么这一讲，我们就讲到这里，下一讲继续。