机器人运动学（四）：逆向运动学

系列文章目录

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前言

网课：台大机器人运动学课程
书籍：机器人导论

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一、引言

回顾之前学的手臂顺向运行学forward kinematics（FK）
给予${\theta }_i$，求得{H}或${}^{W}P$
$$\begin{gathered} {}_H^{W}T=f({\theta }_1...,{\theta }_i,...{\theta }_n...) \\ {}^{W}P={}_H^W{T}^{H}P \end{gathered}$$
今天要学的逆向运动学Inverse Kinematics（IK）
给予{H}或${}^{W}P$，求得${\theta }_i$
$$[{\theta }_1...,{\theta }_i,...{\theta }_n...]=f^{-1}{(}_H^{W}T)$$

二、求解概念

2.1.分析

1. 假设手臂有6DOFs
   则有6个未知的joint angles（${\theta }_i$或者$d_i$，i=1，2，……6）
   
2. 在${}_H^{W}T$中摘取出含未知数的${}_0^{6}T$
   含有16个数字，除去构成homogeneous transformation matrix的最后一行四个数字，其余十二表示了所有位姿参数。其中左上的九个即为world frame到hand frame的rotation matrix，我们知道旋转只有三个自由度，所有在rotation matrix中有六个限制条件，首先，我们知道rotation Matrix的三个columns即为frame{B}的basis:$X_B,Y_B,Z_B$在{A}上的表示，所以前三个的条件为矩阵的每一个columns的范数为1， 由于都是basis，所以后三个限制条件为三个columns两两垂直。在rotation matrix右边的三个为{W}原点到{H}原点的向量，也就是移动的三个自由度。
   
3. 求解
   十二个nonlinear transcendtal equations方程式
   六个未知数，六个限制条件
4. Reachable workspace
   对空间中手臂可以用一种以上的姿态到达的点的集合。
5. Dexterous workspace
   对空间中手臂可以用任意姿态到达的点的集合。
   Ex：A RR manipulator
   

图中，只有$l_1=l_2$时的原点是Dexterous workspace

6. Subspace
   手臂在定义头尾的T所能达到的变动范围。T（可以理解为空间中的位姿）本身在空间中，可以包含的移动和转动可以包含的非常多，但是手臂不是每个都能到得了，可以到的那一些称为这个手臂的Subspace。

Ex：A PRmanipulator

要达到空间中某个（第二个关节的平面上）$(x,y)$坐标点上，当我们决定了x，y后，事实上我们也决定了到达这个点的姿态。

在式中${}^0{P}_{org}$是{2}原点在{W}的向量坐标，可以看出，当机械臂到达坐标（x，y）后，{2}Z轴已经确定了，因为只有两个关节，没有多的参数可以调控姿态，所有没办法可以使手臂在（x，y）上有各种姿态到达。换句话说，如式中所示，随着x，y变化的只有第一个和第三个columns的前两个参数，rotation tmatrix剩下的五个参数已经固定，在这个手臂上，与这五个参数不一样的姿态手臂都到达不了。
所以，当手臂的自由度不够的时候，事实上手臂的subspace是非常有限的。所以，在我们对一个手臂的预想某一个位姿，这个手臂到不到得了，可以做一个初步的判断。

二、多重解

2.1.解的数目

以6DOFs为例，由于是nonlinear transcendtal equations，六个未知数六个方程，不一定有唯一解。
解的数目由joint数量和link参数所决定的
Ex：A RRRRRR manipulator

2.2.示例：PUMA（6 rotational joints）

1. 针对特定工作点，有8组解
   前三轴决定了四种姿态 ,每一种姿态中，具有2组手腕转动姿态，但是若手臂本身有限制，并非每一种解都可以运作。
   

2.3 解的选择

三、求解方法

1. 解析法Closed-form solutions
   用代数algebraic或几何geometric方法
2. 数值法Numerical solutions

目前大多数机械手臂设计成具有解析解，求解的速度会快很多。如果将相邻的后三轴设计成相交于一点，那么就很可能有解析解，也就是我们说的Pieper‘s solution。

四、Example

4.1 A RRR Manipulator

4.1.几何法：将空间几何切割成平面几何

Ex：量化计算

4.2.代数解

补充：三角函数方程式求解

4.3. Pieper‘s solution

若6-DOF manipulator具有三个连续的轴交在同一点，则手臂有解析解。一般会把后三轴如此设计。
前三轴：产生移动
后三轴：产生转动
因为后三轴交在一点，即${}^0{P}_{6ORG}{=}^0{P}_{4ORG}$

前三轴：移动

（

后三轴：转动

五、整个流程

情景：将一个杯子拿起来，然后将其挂在墙上，现在暂时只解决拿起来的问题