三维视觉之数字图像处理基础（六） 图像频域滤波_图形采样的滤波实例

图像频域滤波

1 傅里叶基础

任何可积的函数都可以被展开成正弦函数的形式。

1.1 傅里叶级数

上图c称为频谱图。
三角函数系及其正交性：0，1，cos，sinx，cos2x，sin2x，...，cosnx，sinnx... 在区间[-π,π]上正交，即三角函数系中的任何两个不同的函数的乘积在[-π,π]上的积分为0。
正交性证明：
用微分的思想拆解函数（微元函数）：
设f(x)在区间[a,b]上有定义，且f(x)为微元函数，则：

即：当Δx→0时，函数f(x)在区间[a,b]上的每个点可以构成n维向量F。这时函数f(x)与向量F等价。所以：

这样看来，如有两个这样的函数f(x),g(x)，其在区间[a,b]上正交。就有：两个函数在[a,b]上每一个点的函数值的乘积之和为0。所以：



积化和差公式展开。

由于正交性，所以sinnx和coskx乘积的积分为0。

1.2 傅里叶变换

傅里叶级数的频谱是离散的，傅里叶变换是连续的

1.3 离散傅里叶变换

1.3.1 采样（Sampling）

如下图所示，低于奈奎斯特采样率时，在很函数以及图像之中均出线混淆的问题。

带限函数：对于以原点为中心的有限区间（带宽）[-T，T]外的频率值，傅里叶变换为零的函数f(t)。

1.3.2 卷积定理

对于具有连续变量t的两个连续函数f(t)和h(t)的卷积：

令f(t)、h(t)、f(t)*h(t)、f(t)·h(t)的傅里叶变换分别为F(u)、H(u)、G(u)、J(u),可以证明：
在一个域上的乘积等于另一个域上的卷积：在时域上的卷积等于频率上的乘积，在时域上的乘积等于频域的卷积。
G(u)=F(u)·H(u) J(u)=F(u)H(u)

1.3.3 狄拉克(Dirac)函数

将三种无法处理的信号转换成第四种信号：抽样定理：一个域的离散化等于另一个域的周期化

上述图像中，第一三行频域图表示了频域的离散化，对应的时域里面的图像，为周期化；第二四行的时域图，表示了时域的离散化，对应的频域图里面表现了周期化。

1.3.4 有限长傅里叶分析

对于频域内周期且连续的信号，不需要处理太多周期，只对其中的一个周期进行分析处理





如上图所示：第一幅图里面对输入信号采样，采样率为1000Hz，有两个频率（50/80）叠加噪声组合而成，第二幅图为离散的傅里叶变换之后，得到的频谱图可以有效的定位，可以明确的分辨出50和80Hz的信号。
关键词：提取频谱特征

1.4 快速傅里叶变换

1.4.1 快速傅里叶变换概念

1965年，库利和图基的快速算法几经验证，形成了一套高效运算方法，这就是现在的FFT。这种算法使DFT的运算效率得到了极大的提高，并降低了DFT运算带来的累计量化误差
FFTW世界上最快的傅里叶变换库。
Cooley-Tukey提出的FFT算法的基本思想：
将长序列DFT分解为短序列的DFT：

利用旋转因子ω的周期性、对称性、可约性：


如何将旋转因子的特性应用于FFT中：时域抽取法

1.4.2 时域抽取法

将DFT公式中的项目在时域上重新分组，这样就叫做时域抽取，除此之外还有频率抽取法。

上述推导过程可以划分成下面的图：

1.4.2 快速傅里叶变换的计算量分析

FFT计算量分析：将计算过程分解了三次，分解中的每一次进行四次的复数乘法运算，(上面第二个图)自左向右分解的第一次，两个之间进行一次运算得：N/2；乘法运算的时间远大于加法运算的时间，所以计算量分析过程只考虑乘法。

随着点数的增加，FFT相对DFT越快。

1.5 二维离散傅里叶变换

二维离散傅里叶变换主要针对图像进行：


因为傅里叶变换之后的数字是虚数，所以可以有函数的幅度谱、相位角（虚部与实部的夹角），二维的DFT满足线性、比例、平移、卷积、旋转的关系。
由于图像是离散信号，所以其对应的频谱图为周期信号。
如一维情况，二维傅里叶变换及其反变换在u方向和v方向是无限周期，会造成频谱图的低频部分位于频谱图的四周(如案例1图b所示)，为了方便观测，需将其进行中心化(案例1d所示)，即将F(u,v)变换到F(u-M/2,v-N/2)，只需要对图像乘以(-1)^(x+y)，就可以进行中心化和去中心化


实例分析1：


实例分析2：
如下面案例所示：A上图为渐变的图像，竖直方向像素值统一，其频谱图有三个明显的点，如A下图所示，中间点较为明亮对应图片的直流分量（平均值），左右两个点较暗对应正弦波的频率，B图同理，频率越高两点离中心点的距离越远。C图只保留低频部分，删除高频部分；D为保留高频部分，删除低频部分。这也就是频域滤波的原理。

实例分析3：幅度谱和相位谱的重要性（作用）
频谱图有幅度谱、相位谱两种。相位谱决定图像的轮廓，幅度谱决定图像的相位分布。图像的明暗、灰度变化趋势等则取决于幅度谱，即幅度谱反映了图像整体上各个方向的频率分量的相对强度

2 频域滤波

首先，对储物图像进行预处理，即(-1)^(x+y)乘上原图像；
然后，进行快速傅里叶变换；
然后，在频域使用滤波器，对信号相乘；
然后，IFFT返回时域信号；
然后，去中心化

2.1 滤波器

2.1.1 理想滤波器

低通滤波器：设定一个频率点，当信号频率高于这个频率时不能通过，在数字信号中，这个频率点也就是截止频率，当频域高于这个截止频率时，则全部赋值为0。因为在这一处理过程中，让低频信号全部通过。
高通滤波器：设定一个频率点，当信号频率低于这个频率时不能通过，则全部赋值为0，因为在这一处理过程中，让高频信号全部通过。
上图，右侧案例，上面一行为图像的频谱图，下面为图像，第一列为原图，第二列为低通滤波图像，第三列为高通滤波图像。
理想滤波器的边缘比较陡峭，对于傅里叶变换需要更多频率的正弦波叠加拟合这一情况。因此产生振铃现象，所以工程中很少使用。

2.1.2 Butterwoth滤波器

特点：通频带内的频率响应曲线非常的平坦，所以结果没有涟漪，能够把一些高频信号滤除，且不造成涟漪，

通频带：

2.1.3 指数滤波器

指数滤波器的阶数为1的时候为高斯滤波器，高斯滤波器的过渡特征非常平坦，不会产生振铃现象。
实例：
上述三种滤波器的实现代码，右侧还添加了带通滤波器和带阻滤波器的实现方式。