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数据挖掘基础（数学、统计基础）_已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1

作者：小惠珠哦 | 2024-08-18 04:37:28

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已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1

随机事件、随机试验

概率:随机事件发生的可能性的度量

P=0~1

分数或百分比

随机事件:可能发生可能不发生,大量重复时表现出一定规律的事件

概率: P(A)

观察某种商品的日销量,各种福利彩票的摇奖、某地区夏季暴雨的次数等对随机现象的观察或实验统称为随机试验,简称试验。随机试验的结果称为随机事件(简称事件,用A,BC ..表示)

例掷一颗骰子,观察出现的点数就是一个随机试验.-

例抛一枚硬币,观察正、反面出现的情况也是一个随机试验

基本事件:随机试验中不能再分解的最简单的随机事件

复合事件:由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件

如“出现偶数点”

排列组合

1,不重复的排列:从n个不同的元素中每次抽取m个不同的元素,按照一定的顺序排成一列: m<n,为选排列; m=n为全排列

选排列和全排列的种数分别用Pnm,和Pnn表示,

计算公式分别为Pnn=n! ; Pnm,=n(n-1)…(n-m+1)=n!n-m!

例:10个人选4个人排成一队

2.可重复的排列:从n个不同的元素中每次抽取m个可以相同的元素,按照一定的顺序排成一列

例:某城市的电话号码是7位数字,并且首位不能为零,最多可以安装多少台不同号码的电话机?解是7个数字的可重复排列问题,因首位不能为0,只有9种选择,其余6个位置都有10种选择方法,由乘法原理,最多可以安装9x106台电话机.

例:在一次考试中,某学生应做9道考题中的6道,问他有多少种选法?如果还要求他至少回答前5道题中的3道题,有多少种选法?

解本题为组合问题.在9道考题中选6道,有C96=84种选法.

如果要求至少回答前5道题中的3道题,包括3种情况:

(1)在前5题中选3个, 后4题中选3,有CC=40种选法;

(2)在前5题中选4个,后4题中选2个,有C,C2=30种选法;

(3)前5题全选,后4题中选1个,有C55C41=4种选法;再由加法原理,共有40+30+4-74种选法

概型（概率的定义）

描述事件发生可能性大小的数量指标称为事件发生的概率,记作P(A)

统计定义,古典定义,公理化定义,几何定义;也称为**概型

统计定义:

记n(A)为n次试验中事件A出现的次数,称为A的频数,记fn(A)为n次试验中事件出现的次数与试验总次数的比值,称为的频率,即

fnA=n(A)n

频率也可以反映事件发生的可能性大小,它是从多次试验的结果来考察随机事件发生的可能性大小,因而有随机性,它的数值依赖于试验对于同一事件,不仅试验次数不同可以得出不同的频率,就是试验次数相同,得到的频率也可能不同.

概率是固有和客观存在的

大量重复试验的条件下,随机事件出现的频率将会随着试验次数n的增大而逐渐趋于稳定

严格地讲,概率的统计定义只是一种描述性的定义，在大多数情况下,定义中提到的客观存在的数值P无法具体地确定一般只是在大量重复试验的条件下,通过频率值或一系列频率的均值作为概率P(A)的近似值

古典定义:

定义在古典概型中,随机事件A发生的概率为

PA=#A#π

其中#A、#π分别表示A包含的基本事件个数和试验的基本事件总数.

例：一个五位数字的号码锁,每位上都有0,1,.9个数码,若不知道该锁的号码,问开一次锁就能将锁打开的概率有多大?

解设A=“开一次就把锁打开”

则#A=1,#2=105

于是 P(A)= #A#π=1105= 0.00001

例:求n个人种至少两个人生日同天的概率(n小于等于365 )

解:生日各不相同的概率为

365x364x...x(365-n+1)365n

至少两人同天生日的概率为

p=1-365x364x...x(365-n+1)365n

至少两人生日同天的概率

几何概型:

把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型-等可能随机试验模型

在面积为S(Ω)(S(π) <+∞在此处键入公式。)区域Ω中等可能地随机投点点落入Ω中任意区域的可能性大小与A的面积S(A)成正比,而与其位置或形状无关。

P(A)=S(A)S(Ω) 平面区域Ω上A的几何概率

P(A)=m(A)m(Ω)

(其中m(Ω)是样本空间的度量m(A)是构成事件A的子区域的度量)这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概率

例某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时,假定电台每小时正点报时一次,求他等待的时间短于10分钟的概率。

解:因为电台每小时报时一次,我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间,

例如(13:00,14:00),而且取各点的可能性一样,要遇到等待时间短于10分钟,只有当他打开收音机的时间正好处于13:50至14:00之间才有可能,相应的概率是10/60-1/6.

例(会面问题) :甲、乙两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率

解: 以x, y分别表示甲、乙两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为x-y s20

x-y≤20

P(A)=S(A)S(Ω)=602-402602=59

条件概率和贝叶斯公式

概率：条件概率

q是在事件已经发生的条件下,事件A发生的概率.一般情况下,它与事件A发生的概率P(A)是不相同的称之为“在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率",记为P(A|B)。事件AB与事件A|B可用图表示.

PAB=P(AB)P(B)

全概率公式设事件 A1,A2,…,An是一个完备事件组,并且它们的概率都大于零,则对任意一个事件B,有 PB=i=1nP(Ai.P(B|Ai)称之为全概率公式

A1,A2,…,An是一个完备事件组，即A1,A2,…,An两两互不相容且i=1nAi=Ω

例:有朋自远方来,乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.30.2 , 0.1 ,0.4 ,迟到的概率分别为0.25 , 0.3 ,0.1 , 0;求他迟到的概率

解:设A1=乘火车, A2=乘船, A3=乘汽车, A4=乘飞机,B=迟到.A1, A2,4, 4,构成一个完备事件组,由全概率公式得

PB=i=14P(Ai.P(B|Ai)

=0.3×0.25+ 0.2 ×0.3+0.1 ×0.1+ 0.4X0

=0.145

概率：贝叶斯公式

设事件A1,A2,…,An构成一个完备事件组,并且它们的概率都大于零,则对于任意一个概率大于零的事件B,有

PAmB=P(AmB)P(B)=PAm.PBAmi=1nPAiPBAi (m=1,2,…,n)

称之为贝叶斯公式,又称逆概率公式.

Ai(i=1,2, …,n)视为导致事件发生B的"因素",

P(Ai)为"因素"的验前概率.

相反,事件B发生了,求各"因素"发生的条件概率P(A|B)

称P(Ai|B)为"因素"Ai的验后概率.

独立试验概率

设随机事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与B相互独立,简称A与B独立.

设A, B为两个事件, P(A)P(B) >0,则A与B独立的充分必要条件是

P(AB)=P(A)或P(B|A)=P(B)

事件A与B相互独立,是指其中任一事件发生的概率都不受另外一事件发生的影响.

定义如果试验满足下面两个条件:

(1)这n次试验相互独立;

(2)每次试验只有两种可能结果,即事件A发生或A发生,且每次试验中,事件A发生的概率都相等,即P(A)=p.则称这n个试验为n重贝努利概型.

定理如果在n重贝努利概型中,事件A发生的概率为p(0<p<1),则事件A在n次试验中恰好发生k(0≤k≤n)的概率P(Bk)为P(Bk)=Cnkpkqn-k

其中q=1-p,又称为贝努利公式.

例一位医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25.为试验一种新药是否有效,他将该药给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有4个被医治好,则认为该药有效,反之则认为无效,

求:

(1)虽然新药有效,且将痊愈率提高到0.35,但通过实验被认为无效的概率;

(2)新药完全无效,但通过实验被认为有效的概率.

解将10个病人服用此药视为10次重复试验,每次试验只有两种可能结果:痊愈或不痊愈,而且每个人痊愈与否彼此独立这是一个10重贝努利概型.

令A="新药有效且将痊愈率提高到0.35但被认为无效",

A发生当且仅当"10个病人中至多有3人被治好”从而

P(A)=k=03C10k0.35k(1-.035)10-k

=C100 x0.350 x0.6510 +C101 x0.351 x0.659+ C102 x0.352 x0.658+C103 x0.353 x0.657

≈0.514.

*例某居民区共有居民n人,设有一个银行,开有c个窗口,设每个窗口都办理所有业务,假定n个人在每一指定时刻是否到银行是独立的,每个人到银行的概率都是p.

问:至少要设多少窗口才能以不小于a(0<a<1)的概率保证在每一时刻在每个窗口排队人数(包括正在被服务的那个人)不超过m?

解设A="每个窗口排队人数不超过m",为使每个窗口排队人数不超过m,在每一时刻到银行的人数至多为cm,所以P(A)=k=0cmCnkpk(1-p)n-k≥a

解上述不等式,求出最小自然数c即可.

随机变量及其分布

随机变量

随机变量的概念

例掷两颗骰子,观察出现的点数之和.

解用X表示掷两颗骰子出现的点数之和,则X的取,值可能为2, 3, 4.., 12等这11个值.

例从某电子元件厂生产的电子元件中,任意抽取一个电子元件,检查它的使用寿命.

解用X表示其使用寿命,则X的可能取值应为非负实数即{XIX≥0}.

例观察某网站在单位时间内的点击次数.

解用X表示某网站在单位时间内收到的点击次,则X的可能取值是0,1，…,n….

上述例子可看出,有些随机试验的结果表现为x的取值,,有些随机试验的结果不直接表现为数字,但也能和数字建立对应关系.

例掷一枚硬币,观察正反面出现的情况.

解令x={1，正面向上0，反面向上

1,变异性:随试验结果而变的量

2.随机性:出现结果随机,试验前无法预测

3.随机变量的每一种取值,就是一个随机事件.

4,在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量

{离散型(D.r.v):取值有限个或可列个非离散型(N.D.r.v)

其中一种重要的类型为连续型rv.(C.r.v)

离散型随机变量及其分布

定义设X为离散型随机变量,X的一切可能取值为x1,x2,…(有限个或可列个),X取各个可能值的概率为

p=P{X=xi}=P(xi),i=1,2,…

称此式为离散型随机变量X的概率函数或分布律,简称X的分布.

(1)pk≥0,k=1,2,…

(2)k=1∞pk=1

1,0-1分布

定义如果随机变量X的概率函数为

P{X=1}=p, P{X=0}=1-p=q

或P{X=i}=piq1-i,i=0,1. (0<p<l,q=1-p)

则称服从参数p的0-1分布(或两点分布)

0-1分布是最简单的离散型分布,常描述只有两种对立结果的随机试验,

即贝努利试验.称贝努利试验的一种结果为“成功” ,对立结果为“失败"

二项分布

定义如果离散型随机变量X的概率函数为

PiX=h}=Cnkpk(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n.

称X服从参数为n, p的二项分布.

记作X~B(n,p) (0<p<1)

(2)描述对象:

n重伯努利试验中某事件发生的次数.

泊松分布

定义如果离散型随机变量X的概率函数为

PX=n=λnn!e-λ,n=0,1,2,…

其中λ>0,则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X~P(λ)

易证:

(1)P{X=n}=λnn!e-λ>0, n=0,1,2,…

(2)n=0∞P{X=n}=n=0∞λnn!e-λ=e-λn=0∞λnn!=e-λeλ=1

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中泊松分布是常见的分布。例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.

泊松定理在n重贝努利试验中,事件A发生的次数服从二项分布,假设每次试验中事件A发生的概率为pn (0 <pn<1),如果n→∞时, npn,→λ则对任意给定的非负整数k,有

limn→∞PX=k=limn→∞Cnkpnk(1-pn)n-k=λkk!e-λ

在实际情况中, n一般为有限数,因此,若X~B(n,p),当n充分大而p相对较小时,有

P{X=k}=Cnkpnk(1-pn)n-k≈(np)kk!e-np

例某保险公司为了估计企业的利润,需要计算各种各样的概率,下面是较典型的问题之一:若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率均等于0.005,现有1600人参加了这类保险,试求未来一年内在这些保险者中,

有15人死亡的概率; (2)死亡人数不超过20的概率.

解令X表示未来这一年内这些参保者的死亡人数,则

X~B(1600,0.005),np=8-2,所以由泊松定理,有

(1) P{X=15}= C1600150.005150.9951585≈81515!=0.009026

(2)P{X <20 }=k=020C1600k0.005k0.9951600-k≈k=0208kk!e-8=0.999907

连续型随机变量的概率密度

（1）对任意的X，f(x)≥0

(2) -∞∞fxdx=1

(3) Px1<X<x2=x1x2f(x)dx

(4)若f(x)在点x处连续，则有F'x=f(x)

均匀分布

定义如果连续型随即变量X的概率密度函数为

fx={1b-a a≤x≤b0 其他其中a，b∈（-∞，+∞）且a<b,

则称X服从区间[a,b]上的均匀分布(等概率分布).

性质: (1)P{X<a}=P{X>b}=0.

(2)若a≤c≤b,P{c<X<d}=cd1b-adx=d-cb-a

指数分布

定义如果随机变量X的密度函数为

fx={λe-λx,x≥00,x<0

其中A>0,则称X服从参数为λ的指数分布.

例一种电子元件的使用寿命服从参数λ=0.0005的指数分布.试求:

(1)一个电子元件的使用寿命大于2000小时的概率;

(2)独立的对三个这样的电子元件进行检验,

至少有两个使用寿命大于2000小时的概率.

解X的概率分布密度为f(x)={0.0005e-0.0005x,x≥00, x<0

电子元件的使用寿命大于2000小时的概率

P{X> 2000}={2000+∞0.0005e-0.0005xdx=e-1≈0.368

独立的对三个电子元件进行寿命检验,

令Y表示寿命大于2000小时的元件数,·则Y~B(3,0.368).

所以,P{Y>2}=C320.3682.0.6321+C330.3683≈0.307

正态分布

定义如果连续型随机变量X的概率密度函数为

φx=12πσe-(x-μ)22σ2,-∞<x<+∞

其中σ>0,μ为任意常数,则称X服从参数为μ和σ的正态分布.记作X~N(μ,σ2).

当μ=0, σ=1时, X的概率密度为,

φ0x=12πe-x22,-∞<x<+∞

则称X服从标准正态分布,记作X~N (0,1).

正态分布是概率论中最重要的一种分布,一方面,它是自然界中最常见的一种分布,如测量时的误差,人体身高、体重,农作物的收获量,产品的长度、强度,等都近似服从正态分布.一般地说,这种量都可以看成是由大量的、微小的、相互独立的随机因素作用的结果,而每一种因素都不能起压倒一切的主导作用,则这个指标往往近似服从正态分布,这可由中心极限定理证明.正态分布具有良好的性质,许多分布都可用正态分布来近似，又称高斯分布。