A题 钢板最优切割路径问题_最优切割路径要满足空程最短的原则。

提高钢板下料切割过程中的工作效率，是模具加工企业降低成本和增加经济效益的重要途径，其中钢板切割的路径规划是钢板切割过程的一个关键环节。

钢板切割就是使用特殊的切割技术，基于给定的下料切割布局图纸对钢板进行加工。切割过程中设计切割路径至关重要，最优切割路径要满足空程最短的原则。

注：(1) 空程是指在切割设备所进行的一系列操作中不产生切割效果的水平运动路径(垂直运动路径不计入空程)；(2) 本题默认切割起始点均为右下角点(见各图所示)；(3) 本题下料切割布局图中的实线均为切割线。

问题1：给定如图2所示的下料切割布局N1，其中B3-B4为钢板边界线，不用切割，B1为切割起始点。请建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

针对钢板切割问题，我们面临的主要挑战是如何规划切割路径，以最小化在不进行切割的情况下切割头的移动距离，即空程。这可以通过将问题抽象为旅行商问题（TSP）来解决，其中切割点作为城市，需要找到访问所有城市（切割点）一次并返回起点的最短路径。

建模要点：

顶点（V）：定义为切割线的起点和终点。

边（E）：两个顶点之间的直线距离，代表从一个切割点移动到另一个切割点的直线路径。目标：最小化完成所有必需切割后的总移动距离。

数学模型

 3. 解决策略

考虑到实际操作的复杂性，我们将采用一种启发式算法来找到一个近似的最优解：

贪心算法：从起始点开始，每次选择最近的未访问顶点作为下一个访问顶点。

改进策略：使用 2-opt 或 3-opt 技术来进行路径优化，这种技术可以通过局部交换来改进初始贪心解。

Python 代码实现

import numpy as np

from scipy.spatial import distance_matrix

from itertools import permutations

# 定义顶点坐标

coordinates = {

    'B1': (0, 0),

    'B2': (0, 50),

    'B3': (80, 50),

    'B4': (0, 80),

    'A1': (),

    'A2': (),

    'A3': (),

    'A4': ()

}

# 计算距离矩阵

points = list(coordinates.keys())

coords = np.array(list(coordinates.values()))

dist_mat = distance_matrix(coords, coords)

# 贪心算法实现

def greedy_tsp(distances, start=0):

    n = len(distances)

    visited = [False] * n

    visited[start] = True

    path = [start]

    total_distance = 0

# 这里应该怎么做

    current = start

    while （？） :

        next_node = None

        min_distance = float('inf')

        for i in range(n):

            if not visited[i] and distances[current, i] < min_distance:

                next_node = i

                min_distance = distances[current, i]

        path.append(next_node)

        visited[next_node] = True

        total_distance += min_distance

        current = next_node

    total_distance += distances[path[-1], start]

    path.append(start)

    return path, total_distance

# 这里调用贪心算法

# 输出结果

print("最优切割路径：", best_path_labels)

print("最小空程总长度：", min_distance)