贝塞尔曲线曲面原理及推导过程_贝塞尔曲面

贝塞尔曲线曲面推导

1.曲线曲面的参数表达

曲线曲面可以用显示方程、隐式方程和参数方程表达

显示方程表示形式如下所示：

y = f(x)

隐式方程表示形式如下：

F(x,y) = 0

显式或隐式方法可以非常直观的表示初等解析曲线曲面，曲线曲面的特性也可以通过表示形式清楚的表现出来。

但对于高等曲面，显式和隐式表示方法就具有很大的局限性：

①坐标的关系不能用简单的显示或隐式来表示，即便能够表示，他们也与坐标系严格相关。当坐标系发生变化，那么函数关系也会随之发生变化；

②不利于计算机编程，会出现斜率无穷大的情况，造成程序的不稳定。

而用参数方程就会避免这些，并且还具有以下优点:

①可以满足几何不变性的要求，和坐标系无关；

②有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；

③对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换；

④便于处理斜率无穷大的情形，不会因此而中断计算；

⑤便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间中去；

⑥规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界；

⑦易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算。

假定用t表示参数，平面上任意一点P可表示为

P(t) = [x(t),y(t)]

空间曲线上任一三维点P可表示为

P(t) = [x(t),y(t),z(t)]

2.曲线曲面的连续性以及构造方法

假定参数曲线段Pi以参数形式进行描述：

pi = pi(t)，t∈[ti0，ti1]

0阶参数连续性——两个相邻的曲线段在首末点相连；

1阶参数连续性——两个相邻的曲线段在首末点相连处具有相同的一阶导数；

2阶参数连续性——两个相邻的曲线段在首末点相连处具有相同的一阶导数和二阶导数。

由上图可知，当组合的曲线达到2阶连续性的时候，曲线之间就已经有了非常好的光滑连接。

用数学方法构造自由曲线和曲面有三种方式：

①插值：用光滑的曲线或曲面把给定的若干个离散点连接起来，即由型值点构造的曲线或曲面通过所有的型值点；

②拟合：仅要求比较贴近给定的型值点来构造曲线，并不要求曲线或曲面通过所有的型值点；

③逼近：先给定由若干个型值点勾画的一条折线轮廓，然后要求用曲线、曲面逼近这个折线轮廓，折一折线轮廓构成的多边形称为控制多边形。

3.贝塞尔曲线、曲面

二次贝塞尔曲线推导过程如下：

三次贝塞尔曲线推导如下：