论文《Learning the quantum algorithm for state overlap 》阅读笔记

前言：

1.论文内容介绍
2.论文疑点记录
3.论文主要收获

1.论文内容介绍

本篇论文的主要思想就是借助机器学习实现已有算法的优化，或者发现一个未知的算法，并且优化它。已有算法的优化，优化的是电路使用门的数量、深度、或者是比特数目，这是一个task-oriented的优化过程，借助cost function 寻找更优的电路。

但是本文的算法思想只适合比特数目比较少的情况，因为所需要门的个数随着比特数目的增加而呈现指数级增长，并不能完全覆盖到每一种情况，所以这是一个弊端；对于多量子比特的电路，是在实现 n qubits 较少情况下再手动推算出n数值比较大的情况下，电路是怎么样的，所以说这又是另一个弊端。

作者通过swap-test电路来说明他们算法的优越性，提出了ABA 、BBA两种算法，这两种算法就是之前笔记《论文《SWAP test and Hong-Ou-Mandel effect are equivalent》阅读笔记（关于swap-test and destructive swap test）》里提到的有辅助比特和无辅助比特的两种电路演化而来的。

ABA电路的演化原型：

BBA电路的演化原型：

本文的主要贡献就是通过后处理的方式解释了ABA 、BBA算法它们两者之间效果的等价性，详细推导过程我们在本文的第3部分再进行总结。

2.论文的疑点记录

（1）优化的参数有哪些？是如何实现优化过程的？

A.优化的参数：

a. quantum resources:

ancilla qubits and data qubits 、measurements

b.algorithm parameters:

algorithm, including gate sequence and classical post-processing

备注：

The former(quantum resources ) are fixed as hyper parameters while we optimize the latter(algorithm parameters).

when we change the gate sequence or the vector of classical post processing,we must also reoptimize the θ.

B.对于swap-test电路，如何实现优化过程:

a. x(i)：

b. gate sequence

c. y(i)
y(xi) is the actual output,f(xi) is desired output, we define the cost function to balance the distinguish between y(xi) and f(xi).

我们首先要实现resources的优化，再找使得cost function 最小的gate sequence and classical post-processing.

For general circuit,the θ of gates is not fixed. At anytime, we must adjust the parameter when the gate sequence or classical post-professing change.

（2）使用cost function作为优化标准，是如何避免low lying local minima的？这种算法思想能否用于解决barren plateaus问题呢？

方法1：先优化一个单量子比特门，其他的门固定，当完成这个单量子比特门的优化之后，再进行下一个门的优化，允许改变优化单量子比特门的顺序来避免局部最小值。（是针对同一层的门，还是不同层的门而言呢？？？）

方法2：通过周期性的压缩，产生包含局部最小值的冗余子序列，通过丢弃冗余子序列丢弃较低的局部最小值；

回顾: barren plateaus 问题的产生往往和电路的搭建有很大的关系，下面给出常见的几种搭建线路的方式：

A.搭建好线路，逐层优化，优化完第P层之后再优化P+1层；（局部最优）

B.电路未搭建好，逐层优化，优化完第P层之后再优化P+1层；（adpated circuit）

C.搭建好电路，所有的层数一起训练。（全局最优）

（3）什么是最速下降算法？

参考文章《一文搞懂最速下降法》

3. ABA and BBA

下面我们来总结一下ABA、BBA算法：

ABA算法：

BBA算法：

The circuit of BBA corresponds to a Bell basis measurement. The post-processing is a bit more complicated, with c=(1,1,1,-1),which corresponds to summing the probabilities for the 00,01 and 10 outcomes and subtracting probability of the 11 outcome. The above post-processing is equivalent to measuring the expectation value of a controlled-Z operator.

在这里我们输入的量子态为纯态，我们所计算出两个量子态的内积就等于两个量子态张量积的迹。即对于纯态ρ、σ，有tr(ρσ)=<ρ|σ|ρ>=<σ|ρ|σ>

利用 classical post-processing,在ABA算法中我们如果测量到|0>，记为1，否则记为-1；N次测量中，有m个1，n个-1，那么<ρ|σ|ρ> =(2m-N)/N;

在BBA算法中，我们如果测得|11>，记为-1，如果测得|00>、|01>、|10>那么记为1，同样的方法求出量子态的内积，由于此时的量子态都是纯态，那么所求内积就是所求tr(ρσ).

如果我们输入的量子态是混合态怎么办？很遗憾这个电路(swap-test电路也是无法判断的)是无法进行判断的两个混合态是否相等的，因为对于混合态而言$tr(\rho \rho )<1$, 就算是两个相同的混合态，我们也不能以100%的概率保证测到的都是|0>，虽然说纯态是一种特殊的混合态，但这里我们说的是混合态，是对应密度矩阵平方的迹小于1的混合态。

如果不清楚swap-test电路中，输入态中含有混合态是如何进行处理的，这里请参考文章《swap-test电路分析》