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第五章：神经网络

作者：小桥流水78 | 2024-08-06 01:52:02

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第五章：神经网络

5.1神经元模型

"神经网络是由具有适应性的简单单元组成的广泛并行互连的网络，它的组织能够模拟生物神经系统对真实世界物体所作出的交互反应”

神经网络是一个很大的学科领域，本课程仅讨论神经网络与机器学习的交集，即“神经网络学习”亦称“连接主义(connectionism)”学习

M-P神经神经元模型：（如下图所示）

神经元会接收外界的n个输入信号，这些输入会与权重相结合，再通过“激活函数”对信号进行一定的修改，以得到我们自己想要的数据

权重：决定模型如何根据输入数据产生输出，可通过优化算法进行调整，最小化模型预测与实际结果之间的差异。

作用：

提高模型性能
加速训练过程
改善泛化能力
避免过拟合

理想激活函数：阶跃函数,0表示抑制神经元而1表示激活神经元

阶跃函数具有不连续、不光滑等不好的性质,常用的是 Sigmoid函数

（a)函数是理想情况，对于小于0的信号直接过滤掉，（b）函数则是对小于0的信号进行过滤，而在0的信号，则为一定的值。

把许多个这样的神经元按一定的层次结构连接起来,就得到了神经网络.、

5.2感知机与多层网络

感知机：由两层神经元组成，如图5.2所示，输入层接收外界输入信号后传递给输出层，输出层是M-P神经元，亦称“阈值逻辑单元”.

更一般地,给定训练数据集,权重 $w_i$ (i= 1,2,...,n)以及阈值 $\theta$ 可通过学习得到.

感知机的学习：

$\Delta w_i=\eta (y-\widehat{y})x_i$ , $w_i\leftarrow w_i+\Delta w_i$

$\eta$ 是学习率，若感知机对训练样例(x, y)预测正确,即 $y=\widehat{y}$ ,则感知机不发生变化,否则将根据错误的程度进行权重调整.

感知机只有输出层神经元进行激活函数处理,即只拥有一层功能神经元,其学习能力非常有限，只能处理线性问题，对于非线性问题，学习过程会发生振荡，w难以稳定下来，求不出解

要解决非线性可分问题,需使用多层功能神经元.

多层神经元：简单的两层感知机，输出层与输入层之间的一层神经元,被称为隐层或隐含层(hidden layer)，隐含层和输出层神经元都是拥有激活函数的功能神经元.

多层前馈神经网络：常见的神经网络是形如图5.2.2所示的层级结构,每层神经元与下一层神经元全互连,神经元之间不存在同层连接,也不存在跨层连接.这样的神经网络结构通常称为“多层前馈神经网络”

多层前馈网络有强大的表示能力(“万有逼近性”)

仅需一个包含足够多神经元的隐层，多层前馈神经网络就能以任意精度逼近任意复杂度的连续函数

5.3 误差逆传播算法

误差逆传播算法（BP算法）：迄今最成功、最常用的神经网络算法，可用于多种任务(不仅限于分类)

给定训练集 $D=\left \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_m,,y_m), \right \},x_i\in R^d,y_i\in R^l$

输入:d维特征向量输出:l个输出值

隐层:假定使用q个隐层神经元

假定功能单元均使用Sigmoid函数

对于训练例 $(x_k,y_k)$ ,假定网络的实际输出为 $\widehat{y}_k=(\widehat{y}_1^k,\widehat{y}_2^k,...\widehat{y}_l^k)$

$\widehat{y}_j^k=f(\beta _j-\theta _j)$

则网络在 $(x_k,y_k)$ 上的均方误差为:

$E_k=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{1}(\widehat{y}_j^k-y_j^k)^2$

需通过学习确定的参数数目:(d＋l+ 1)q+l
BP是一个迭代学习算法，在迭代的每一轮中采用广义感知机学习规则:

$v\leftarrow v+\Delta v$

BP算法基于梯度下降策略,以目标的负梯度方向对参数进行调整,以 $w_{hj}$ 为例，对误差 $E_k$ 给定学习率 $\eta$ ，有:

$\Delta w_{hj}=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}}$

注意到 $w_{hj}$ 先影响到 $\beta _j$ ，再影响到 $\widehat{y}_j^k,$ ，然后才影响到 $E_k$ .,有:

$\frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}}=\frac{\partial E_k}{\partial \widehat{y}_j^k}\cdot \frac{\partial \widehat{y}_j^k,}{\partial \beta _j}\cdot \frac{\partial \beta _j}{\partial w_{hj}}$

根据 $\beta _j$ 的定义，显然有

$\frac{\partial \beta _j}{\partial w_{hj}}=b_h$

Sigmoid函数有一个很好的性质:

f' (x)= f(x)(1 - f (x)) ，

于是有

$g_j=\widehat{y}_j^k(1-\widehat{y}_j^k)({y}_j^k-\widehat{y}_j^k)$

$\Delta w_{hj}=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}}=\eta g_jb_h$

类似地，有：

$\Delta \theta=- \eta g_j$

$\Delta v_{ih}=\eta e_hx_i$

$\Delta \gamma h=-\eta e_h$

其中：

$e_h=b_h(1-b_h)\sum_{j=1}^{1}w_{hj}g_j$

学习率 $\eta$ 不能太大，也不能太小。

推导出基于累积误差最小化的更新规则,就得到了累积误差逆传播算法.

所以只需一个包含足够多神经元的隐层,多层前馈网络就能以任意精度逼近任意复杂度的连续函数.然而,如何设置隐层神经元的个数仍是个未决问题,实际应用中通常靠“试错法”(trial-by-error)调整.

正是由于其强大的表示能力，BP神经网络经常遭遇过拟合,其训练误差持续降低,但测试误差却可能上升.

缓解过拟合：

“早停”：

若训练误差连续a轮的变化小于b,则停止训练
使用验证集:若训练误差降低、验证误差升高,则停止训练

正则化：

在误差目标函数中增加一项描述网络复杂度

$E=\lambda \frac{1}{m}\sum_{k=1}^{m}E_k+(1-\lambda)\sum_{i}w_i^2$

5.4 全局最小与局部极小

神经网络的训练过程可看作一个参数寻优过程,即在参数空间中,寻找一组最优参数使得E最小.

“最优”:

“局部极小”(local minimum)
“全局最小”(global minimum)

对w*和 $\theta$ *,若存在 $\varepsilon$ >0使得

$\forall (w;\theta )\in \left \{ (w;\theta)|(w;\theta)-(w^*;\theta^*) \leqslant \varepsilon \right \}$

局部极小解: 都有 $E(w;\theta)\geqslant E(w^*;\theta^*)$ 成立

全局最小解: 若对参数空间中的任意(w; $\theta$ )都有 $E(w;\theta)\geqslant E(w^*;\theta^*)$

参数寻优方法:基于梯度的搜索

从某些初始解出发,迭代寻找最优参数值.每次迭代中,我们先计算误差函数在当前点的梯度,然后根据梯度确定搜索方向.
例如，由于负梯度方向是函数值下降最快的方向,因此梯度下降法就是沿着负梯度方向搜索最优解.若误差函数在当前点的梯度为零,则已达到局部极小，更新量将为零,这意味着参数的迭代更新将在此停止.
然而,如果误差函数具有多个局部极小，则不能保证找到的解是全局最小.

可以采取以下策略解决只能找到一个“局部极小”的问题：

以多组不同参数值初始化多个神经网络,按标准方法训练后,取其中误差最小的解作为最终参数.这相当于从多个不同的初始点开始搜索,这样就可能陷入不同的局部极小，从中进行选择有可能获得更接近全局最小的结果.
使用“模拟退火”(simulated annealing)技术[Aarts and Korst，1989].模拟退火在每一步都以一定的概率接受比当前解更差的结果,从而有助于“跳出”局部极小.在每步迭代过程中,接受“次优解”的概率要随着时间的推移而逐渐降低,从而保证算法稳定.
使用随机梯度下降.与标准梯度下降法精确计算梯度不同,随机梯度下降法在计算梯度时加入了随机因素.于是,即便陷入局部极小点,它计算出的梯度仍可能不为零,这样就有机会跳出局部极小继续搜索.

5.5 其他常见神经网络

RBF网络
ART网络
SOM网络
级联相关网络
Elman网络
Boltzmann机

5.6 深度学习

复杂模型的训练效率低,易陷入过拟合,因此难以受到人们青睐.而“深度学习”是一种优秀的复杂模型

深度学习模型：深层的神经网络

通过增加隐层数量来提升模型性能，但BP算法不适用于此，不能够“收敛”

无监督逐层训练：多隐层网络训练的有效手段,

基本思想：“预训练+微调”

每次训练一层隐结点,训练时将上一层隐结点的输出作为输入,而本层隐结点的输出作为下一层隐结点的输入，这称为“预训练”(pre-training);在预训练全部完成后，再对整个网络进行“微调”(fine-tuning)训练.各层预训练完成后，再利用BP算法等对整个网络进行训练.

将大量参数分组,对每组先找到局部看来比较好的设置,然后再基于这些局部较优的结果联合起来进行全局寻优.这样就在利用了模型大量参数所提供的自由度的同时,有效地节省了训练开销.

“权共享”(weight sharing)：让一组神经元使用相同的连接权，另一种节省训练开销的策略

无论是DBN还是CNN,都是通过多层处理,逐渐将初始的“低层”特征表示转化为“高层”特征表示后，用“简单模型”即可完成复杂的分类等学习任务.由此可将深度学习理解为进行“特征学习”(feature learning)或“表示学习”(representation learning).

“特征工程”：描述样本的特征由人类专家来设计

二、实验

1. 感知机的实现

利用Python实现感知机算法的原始形式。


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
def perception(data,label,n,inter):
     raw,col = np.shape(data)
  w = np.random.randn(1,col)
  b = np.random.randn(1)
  x1 = -1
  y1 = (-1/w[:,1])*(np.dot(w[:,0],x1)+b)
  x2 = 2
  y2 = (-1/w[:,1])*(np.dot(w[:,0],x2)+b)
  plt.plot([x1,x2],[y1,y2],color='red')
  plt.scatter(data[1:15,0],data[1:15,1],color='blue',marker='x')
  plt.scatter(data[16:,0],data[16:,1],color='red',marker='o')
  plt.show()
  for times in range(inter):
    for i in range(raw):
      if -label[i-1]*(np.dot(w,(data[:][i-1]))+b) < 0:
        w -= n*label[i-1]*data[:][i-1]
        b -= n*label[i-1]
      elif -label[i-1]*(np.dot(w,(data[:][i-1]))+b) == 0:
        break
  return w,b
    
if __name__ == '__main__':
  data = np.array([
      [-0.6508, 0.1097],[-1.4492, 0.8896],[2.0850, 0.6876],[0.2626, 1.1476],[0.6418, 1.0234],[0.2569, 0.6730],[1.1155, 0.6043],[0.0914, 0.3399],[0.0121, 0.5256],[-0.0429, 0.4660],[0.4340, 0.6870],[0.2735, 1.0287],[0.4839, 0.4851],[0.4089, -0.1267],[1.4391, 0.1614],[2.9115, 2.1973],[2.3654, 2.0475],[2.2144, 2.7515],[2.2013, 2.0014],[2.6483, 2.2183],[2.1147, 2.2242],[2.7970, 2.8795],[2.0625, 2.6366],[2.5307, 2.1285],[2.2200, 2.7777],[2.3957, 2.1076],[2.1013, 2.5989],[2.4482, 2.9455],[2.0149, 2.6192],[2.2012, 2.2611]])
  label = np.array([-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])
  w,b = perception(data,label,0.5,1000)
  x1 = -2
  y1 = (-1/w[:,1])*(np.dot(w[:,0],x1)+b)
  x2 = 3
  y2 = (-1/w[:,1])*(np.dot(w[:,0],x2)+b)
  plt.plot([x1,x2],[y1,y2],color='red')
  plt.scatter(data[1:15,0],data[1:15,1],color='blue',marker='x')
  plt.scatter(data[16:,0],data[16:,1],color='red',marker='o')
  plt.show()

2.对偶形式


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
def perception_an(data,label,n,inter):
   a = np.random.randn(len(data))
   b = 0
   Gram = np.dot(data,data.T)
   for k in range(inter):
     for i in range(len(data)):
       tmp = 0
       for j in range(len(data)):
         tmp += a[j]*label[j]*Gram[i][j]
       tmp += b
       if (label[i]*tmp <= 0):
         a[i] += n
         b += n*label[i]
   w = 0
   for i in range(len(a)):
     w += a[i]*label[i]*data[i,:]      
   return w,b
  
if __name__ == '__main__':
  data = np.array([
      [-0.6508, 0.1097],[-1.4492, 0.8896],[2.0850, 0.6876],[0.2626, 1.1476],[0.6418, 1.0234],[0.2569, 0.6730],[1.1155, 0.6043],[0.0914, 0.3399],[0.0121, 0.5256],[-0.0429, 0.4660],[0.4340, 0.6870],[0.2735, 1.0287],[0.4839, 0.4851],[0.4089, -0.1267],[1.4391, 0.1614],[2.9115, 2.1973],[2.3654, 2.0475],[2.2144, 2.7515],[2.2013, 2.0014],[2.6483, 2.2183],[2.1147, 2.2242],[2.7970, 2.8795],[2.0625, 2.6366],[2.5307, 2.1285],[2.2200, 2.7777],[2.3957, 2.1076],[2.1013, 2.5989],[2.4482, 2.9455],[2.0149, 2.6192],[2.2012, 2.2611]])
  label = np.array([-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])
  w,b = perception_an(data,label,0.5,1)
  x1 = -2
  y1 = (-1/w[1])*(np.dot(w[0],x1)+b)
  x2 = 3
  y2 = (-1/w[1])*(np.dot(w[0],x2)+b)
  plt.plot([x1,x2],[y1,y2],color='red')
  plt.scatter(data[1:15,0],data[1:15,1],color='blue',marker='x')
  plt.scatter(data[16:,0],data[16:,1],color='red',marker='o')
  plt.show()

3. BP神经网络


# initialize parameters randomly
h = 100 # size of hidden layer
W = 0.01 * np.random.randn(D,h)
b = np.zeros((1,h))
W2 = 0.01 * np.random.randn(h,K)
b2 = np.zeros((1,K))
 
# some hyperparameters
step_size = 1e-0
reg = 1e-3 # regularization strength
 
# gradient descent loop
num_examples = X.shape[0]
for i in range(10000):
 
  # evaluate class scores, [N x K]
    hidden_layer = np.maximum(0, np.dot(X, W) + b) # note, ReLU activation
    scores = np.dot(hidden_layer, W2) + b2
 
    # compute the class probabilities
    exp_scores = np.exp(scores)
    probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True) # [N x K]
 
    # compute the loss: average cross-entropy loss and regularization
    corect_logprobs = -np.log(probs[range(num_examples),y])
    data_loss = np.sum(corect_logprobs)/num_examples
    reg_loss = 0.5 * reg * np.sum(W * W) + 0.5 * reg * np.sum(W2 * W2)
    loss = data_loss + reg_loss
    if i % 1000 == 0:
        print("iteration %d: loss %f" % (i, loss))
 
    # compute the gradient on scores
    dscores = probs
    dscores[range(num_examples),y] -= 1
    dscores /= num_examples
 
    # backpropate the gradient to the parameters
    # first backprop into parameters W2 and b2
    dW2 = np.dot(hidden_layer.T, dscores)
    db2 = np.sum(dscores, axis=0, keepdims=True)
    # next backprop into hidden layer
    dhidden = np.dot(dscores, W2.T)
    # backprop the ReLU non-linearity
    dhidden[hidden_layer <= 0] = 0
    # finally into W,b
    dW = np.dot(X.T, dhidden)
    db = np.sum(dhidden, axis=0, keepdims=True)
 
    # add regularization gradient contribution
    dW2 += reg * W2
    dW += reg * W
 
    # perform a parameter update
    W += -step_size * dW
    b += -step_size * db
    W2 += -step_size * dW2
    b2 += -step_size * db2

对图所示的非线性数据，迭代了10000次，最后的损失降低为0.249384，最后得到的精度为：0.98。可以说最终得到了比较理想的精确度，事实证明BP神经网络在某些情况下比单纯的线性分类器的效果要好的多

4. 径向基网络

第一步，确定神经元中心；

第二步，利用BP算法等来确定参数。


from scipy import *
from scipy.linalg import norm, pinv
from matplotlib import pyplot as plt
 
class RBF:
    def __init__(self, indim, numCenters, outdim):
        self.indim = indim
        self.outdim = outdim
        self.numCenters = numCenters
        self.centers = [random.uniform(-1, 1, indim) for i in range(numCenters)]
        self.beta = 8
        self.W = random.random((self.numCenters, self.outdim))
 
    def _basisfunc(self, c, d):
        assert len(d) == self.indim
        return exp(-self.beta * norm(c-d)**2)
 
    def _calcAct(self, X):
        # 计算RBFs的激活函数值
        G = zeros((X.shape[0], self.numCenters), float)
        for ci, c in enumerate(self.centers):
            for xi, x in enumerate(X):
                G[xi,ci] = self._basisfunc(c, x)
        return G
 
    def train(self, X, Y):
        """ X: n x indim维的矩阵
            y: n x 1维的列向量"""
 
        # 从训练集随机选择中心向量
        rnd_idx = random.permutation(X.shape[0])[:self.numCenters]
        self.centers = [X[i,:] for i in rnd_idx]
 
        print("center", self.centers)
        # 计算RBFs的激活函数值
        G = self._calcAct(X)
        print(G)
 
        # 计算输出层的权值
        self.W = dot(pinv(G), Y)
 
    def test(self, X):
        """ X: n x indim维的矩阵 """
 
        G = self._calcAct(X)
        Y = dot(G, self.W)
        return Y
 
if __name__ == '__main__':
    n = 100
    x = mgrid[-1:1:complex(0,n)].reshape(n, 1) #设置x的值
    y = sin(3*(x+0.5)**3 - 1) # 设置y的值
 
    rbf = RBF(1, 10, 1)
    rbf.train(x, y)
    z = rbf.test(x)
    plt.figure(figsize=(12, 8))
    plt.plot(x, y, 'k-')
    plt.plot(x, z, 'r-', linewidth=2)
 
    plt.plot(rbf.centers, zeros(rbf.numCenters), 'gs')
    for c in rbf.centers:
        cx = arange(c-0.7, c+0.7, 0.01)
        cy = [rbf._basisfunc(array([cx_]), array([c])) for cx_ in cx]
        plt.plot(cx, cy, '-', color='gray', linewidth=0.2)
    plt.xlim(-1.2, 1.2)
    plt.show()

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