神经网络反向传播(BP)公式推导_bp神经网络传播公式

前言（简要）

阅读文本之前，默认您对神经网络的结构有了基本的了解，并且在阅读其他文章后觉得似懂非懂，想弄懂反向传播是如何真正地传导

符号定义

上图中展示了一张最基本的多层神经网络（具有一个隐藏层，多层的思想和这个完全相同，文末点睛）：
输入层是
$$x_k=x_1,...,x_K$$
隐藏层是
$$h_i=h_1,...,h_N$$
输出层是
$$y_j=y_1,...,y_M$$
为了清楚起见，我们使用k、I、j分别作为输入、隐藏和输出层单元的下标。我们用$u_i$和$u_j^{{}^{\prime }}$分别表示隐藏层单元和输出层单元的净输入。
我们想导出更新方程，用于学习输入层和隐藏层之间的权重$w_{ki}$和隐藏层和输出层之间的权重$w_{ij}^{{}^{\prime }}$。我们假设所有的计算单元（图中的隐藏层和输出层）都使用$\sigma (u)$作为激活函数。因此，对于隐藏层中的一个单元$h_i$，它的输出定义为
$$h_i=\sigma (u_i)=\sigma (\sum _{k=1}^K{w}_{ki}{x}_k)$$
类似地，对于输出层中的一个单元$y_j$，它的输出定位为：
$$y_j=\sigma (u_j^{{}^{\prime }})=\sigma (\sum _{i=1}^N{w}_{ij}^{{}^{\prime }}{h}_i)$$
损失函数我们使用平方和损失函数
$$E(x,t,W,W^{{}^{\prime }})=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^M(y_j-t_j{)}^2$$
其中$W=w_{ki},是一个K\ast N的权重矩阵（输入层-隐藏层），W^{{}^{\prime }}=w_{ij}^{{}^{\prime }},一个N\ast M的权重矩阵（隐藏层-输出层），t=t_1,...,t_M,是一个M维的向量，即标签$

重点强调

我们反向传播的目的是获取$w_{ki}$和$w_{ij}^{{}^{\prime }}$的更新方程。我们只需要分别求出误差函数E对权重的导数。为了使推导变得简单，我们需要开始计算最右侧层(即输出层)的导数，对于每一层，我们将计算分为三个步骤，分别计算输出、净输入和权重的误差导数。该过程如下所示：

推导过程

我们从输出层开始。第一步是计算输出误差的导数：
$$\frac{\partial E}{\partial y_j}=y_j-t_j$$
第二步是计算误差相对于输出层净输入的导数。请注意，当对某个事物进行导数时，我们需要保持其他一切不变。还要注意，这个值非常重要，因为它将在后续计算中多次重复使用。我们使用$E{I}_j^{{}^{\prime }}$来表示它，出于简单.
$$\frac{\partial E}{\partial u_j^{{}^{\prime }}}=\frac{\partial E}{\partial y_j}\ast \frac{\partial y_j}{\partial u_j^{{}^{\prime }}}=(y_j-t_j)\ast y_j(1-y_j):=E{I}_j^{{}^{\prime }}(1)$$
:=是定义的意思
第三步是计算关于输出层和隐藏层之间的权重的误差的导数。
$$\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{{}^{\prime }}}=\frac{\partial E}{\partial u_j^{{}^{\prime }}}\ast \frac{\partial u_j^{{}^{\prime }}}{\partial w_{ij}^{{}^{\prime }}}=E{I}_j^{{}^{\prime }}\ast h_i$$
到目前为止，我们已经获得了隐藏层和输出层之间的权重更新方程.
$$w_{ij}^{new}=w_{ij}^{old}-\eta \ast \frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{{}^{\prime }}}=w_{ij}^{old}-\eta \ast E{I}_j^{{}^{\prime }}\ast h_i$$
其中η > 0是学习率。
我们可以重复同样的三个步骤来获得左边一层(前一层)权重的更新方程，这本质上是反向传播的思想。我们重复第一步，计算关于隐藏层输出的误差导数。请注意，隐藏层的输出与输出层中的所有单元相关。
$$\frac{\partial E}{\partial h_i}=\sum _{j=1}^M\frac{\partial E}{\partial u_j^{{}^{\prime }}}\frac{\partial u_j^{{}^{\prime }}}{\partial h_i}=\sum _{j=1}^{M}E{I}_j^{{}^{\prime }}\ast w_{ij}^{{}^{\prime }}$$
然后我们重复上面的第二步，计算关于隐藏层净输入的误差导数。这个值也很重要，我们称之为$E{I}_i$
$$\frac{\partial E}{\partial u_i}=\frac{\partial E}{\partial h_i}\ast \frac{\partial h_i}{\partial u_i}=\sum _{j=1}^{M}E{I}_j^{{}^{\prime }}\ast u_{ij}^{{}^{\prime }}\ast h_i\ast (1-h_i):=E{I}_i(2)$$
接下来，我们重复上面的第三步，计算关于输入层和隐藏层之间的权重的误差导数。
$$\frac{\partial E}{\partial w_{ki}}=\frac{\partial E}{\partial u_i}\ast \frac{\partial u_i}{\partial w_{ki}}=E{I}_i\ast x_k$$
最后，我们可以获得隐藏层和输入层之间的权重更新方程
.$$w_{ki}^{new}=w_{ij}^{old}-\eta \ast E{I}_i\ast x_k$$

点睛

从上面的例子中，我们可以看到，计算一层导数时的中间结果($E{I}_j^{{}^{\prime }}$)可以被前一层重用。假设在输入层之前还有另一层，那么还可以重用$E{I}_i$来继续高效地计算导数链。比较等式(1)和(2)，我们可以发现在(2)中，因子${\sum }_{j=1}^{M}E{I}_j^{{}^{\prime }}{w}_{ij}^{{}^{\prime }}$就像隐藏层单元$h_i$的“误差”。我们可以将这个术语解释为从右边一层“反向传播”的误差，如果网络有更多的隐藏层，这种传播可能会进一步反向。

参考文献

【1】Xin Rong.word2vec Parameter Learning Explained[J].